보드 도표, 이득 여유 및 위상 여유 (도해 포함)
Bode Plot이란?
Bode plot은 제어 시스템 공학에서 제어 시스템의 안정성을 결정하기 위해 일반적으로 사용되는 그래프입니다. Bode plot은 Bode 크기 플롯 (데시벨로 크기를 표현)과 Bode 위상 플롯 (도수로 위상 이동을 표현) 두 가지 그래프를 통해 시스템의 주파수 응답을 나타냅니다.
Bode plot은 1930년대에 헨드리크 웨이드 보드가 미국의 벨 연구소에서 일하면서 처음 도입되었습니다. Bode plot은 시스템 안정성을 계산하는 상대적으로 간단한 방법을 제공하지만, 전송 함수의 오른쪽 반평면 특이점을 처리할 수 없습니다 (Nyquist 안정성 기준과는 달리).
Bode plot을 이해하기 위해서는 Gain Margin과 Phase Margin을 이해하는 것이 중요합니다. 아래에 이러한 용어들이 정의되어 있습니다.
Gain Margin
Gain Margin (GM)이 클수록 시스템의 안정성이 높아집니다. Gain Margin은 시스템이 불안정해지지 않도록 증가하거나 감소시킬 수 있는 이득량을 의미합니다. 일반적으로 dB로 표현됩니다.
보통 Bode plot에서 Gain Margin을 직접 읽을 수 있습니다 (위의 다이어그램 참조). 이는 Bode 위상 플롯이 180°일 때 Bode 크기 플롯의 크기 곡선과 x축 사이의 수직 거리를 계산하여 수행됩니다. 이 점은 위상 교차 주파수로 알려져 있습니다.
Gain과 Gain Margin은 같은 것이 아닙니다. 사실, Gain Margin은 이득 (데시벨, dB)의 음수입니다. Gain Margin 공식을 살펴보면 이를 이해할 수 있을 것입니다.
Gain Margin 공식
Gain Margin (GM)의 공식은 다음과 같습니다:
여기서 G는 이득입니다. 이는 위상 교차 주파수에서 크기 플롯의 수직 축에서 읽은 크기 (dB)입니다.
위의 그래프에서 보이는 예제에서 Gain (G)은 20입니다. 따라서 Gain Margin 공식을 사용하면 Gain Margin은 0 – 20 dB = -20 dB (불안정)입니다.
Phase Margin
Phase Margin (PM)이 클수록 시스템의 안정성이 높아집니다. Phase Margin은 시스템이 불안정해지지 않도록 증가하거나 감소시킬 수 있는 위상량을 의미합니다. 일반적으로 도수로 표현됩니다.
보통 Bode plot에서 Phase Margin을 직접 읽을 수 있습니다 (위의 다이어그램 참조). 이는 Bode 크기 플롯이 0 dB일 때 Bode 위상 플롯의 위상 곡선과 x축 사이의 수직 거리를 계산하여 수행됩니다. 이 점은 Gain 교차 주파수로 알려져 있습니다.
위상 지연과 Phase Margin은 같은 것이 아닙니다. Phase Margin 공식을 살펴보면 이를 이해할 수 있을 것입니다.
Phase Margin 공식
Phase Margin (PM)의 공식은 다음과 같습니다:
여기서 
는 위상 지연 (0보다 작은 값)입니다. 이는 Gain 교차 주파수에서 위상 플롯의 수직 축에서 읽은 위상입니다.
위의 그래프에서 보이는 예제에서 위상 지연은 -189°입니다. 따라서 Phase Margin 공식을 사용하면 Phase Margin은 -189° – (-180°) = -9° (불안정)입니다.
다른 예로, 증폭기의 오픈루프 이득이 위상 지연이 -120°인 주파수에서 0 dB를 넘어서면 위상 지연은 -120°입니다. 따라서 이 피드백 시스템의 Phase Margin은 -120° – (-180°) = 60° (안정적)입니다.
Bode Plot 안정성
아래는 Bode plot을 그리는데 (그리고 그 안정성을 계산하는데) 관련된 기준 목록입니다:
Gain Margin: Gain Margin이 클수록 시스템의 안정성이 높아집니다. 이는 시스템이 불안정해지지 않도록 증가하거나 감소시킬 수 있는 이득량을 의미합니다. 일반적으로 dB로 표현됩니다.
Phase Margin: Phase Margin이 클수록 시스템의 안정성이 높아집니다. 이는
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