เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่: คืออะไร? (สูตรและการหาใน MATLAB)

ฟิลด์: ไฟฟ้าพื้นฐาน

China

อะไรคือเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่?

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ของระบบไดนามิกถูกกำหนดเป็นเวลาที่ต้องการให้เอาต์พุตเข้าสู่และคงที่ภายในวงเงินความคลาดเคลื่อนที่กำหนด ใช้สัญลักษณ์ Ts เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ประกอบด้วยความหน่วงในการแพร่กระจายและความหน่วงในการเข้าสู่บริเวณค่าสุดท้าย มันรวมถึงเวลาในการฟื้นฟูจากสภาพเกินกำลังทำงานร่วมกับความเร็วในการเปลี่ยนแปลงและการคงที่ใกล้เคียงกับวงเงินความคลาดเคลื่อน

วงเงินความคลาดเคลื่อนคือช่วงที่ยอมรับได้สูงสุดที่เอาต์พุตสามารถเข้าสู่ภาวะคงที่ได้ โดยทั่วไปแล้ววงเงินความคลาดเคลื่อนจะอยู่ที่ 2% หรือ 5%

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ในการตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบอันดับสองแสดงไว้ในรูปด้านล่าง

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่

สูตรเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ขึ้นอยู่กับความถี่ธรรมชาติและการตอบสนองของระบบ สูตรทั่วไปของเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่คือ

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

การตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบอันดับสองแสดงได้ดังนี้

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

สมการนี้แบ่งออกเป็นสองส่วน

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

ในการคำนวณเวลาที่ตั้งตัว เราจำเป็นต้องใช้เฉพาะส่วนประกอบเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจากมันทำให้ส่วนที่แกว่งของส่วนประกอบไซนูโซอิดหายไป และเศษส่วนความอดทนเท่ากับส่วนประกอบเอ็กซ์โพเนนเชียล

$อัตราส่วนความอดทน = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$อัตราส่วนความอดทน \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( อัตราส่วนความอดทน \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

วิธีการคำนวณเวลาคงที่

ในการคำนวณเวลาคงที่ เราพิจารณาระบบอันดับหนึ่งกับการตอบสนองขั้นตอนหน่วย

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

สำหรับการตอบสนองขั้นตอนหน่วย

$R(s) = \frac{1}{s}$

ดังนั้น

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

ต่อไปนี้ คำนวณค่า A1 และ A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

สมมติว่า s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

สมมติว่า s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

สำหรับข้อผิดพลาด 2% ค่า 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

สมการนี้ให้เวลาในการเข้าสู่ภาวะคงที่สำหรับระบบอันดับที่หนึ่งกับอินพุตแบบขั้นบันได

สำหรับระบบอันดับที่สอง เราจำเป็นต้องพิจารณาสมการดังต่อไปนี้;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

ในสมการนี้ คำว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นสิ่งสำคัญในการหาค่าเวลาในการเข้าสู่ภาวะคงที่

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

ตอนนี้ เราพิจารณาความผิดพลาด 2% ดังนั้น 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

ค่าของอัตราส่วนการหน่วง (ξ) ขึ้นอยู่กับประเภทของระบบลำดับที่สอง ในที่นี้ เราพิจารณาระบบลำดับที่สองที่มีการหน่วงต่ำ และค่าของ ξ อยู่ระหว่าง 0 และ 1

ดังนั้น ตัวส่วนของสมการด้านบนจะใกล้เคียงกับ 1 และเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราสามารถละเลยได้

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

สมการนี้สามารถใช้ได้เฉพาะกับวงจรที่มีความคลาดเคลื่อน 2% และระบบลำดับที่สองที่ไม่ถูกยับยั้ง

ในทำนองเดียวกันสำหรับวงจรที่มีความคลาดเคลื่อน 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

สำหรับระบบลำดับที่สอง ก่อนที่จะหาเวลาคงที่ เราต้องคำนวณอัตราส่วนการชลอ

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ของรากลักษณะ

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีรากลักษณะ เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนการลดแรงสั่นสะเทือนและความถี่ธรรมชาติ

ค่าเหล่านี้สามารถหาได้ด้วยความช่วยเหลือของวิธีรากลักษณะ และเราสามารถหาเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ได้

ลองทำความเข้าใจด้วยตัวอย่าง

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

และ Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

จากแผนผังรากลักษณะ; คุณสามารถหาขั้วหลักได้

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

ตอนนี้เรามีค่าของ ξ และ ωn,

$เวลาการตั้งตัว t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 วินาที$

แผนภูมิรากถูกสร้างขึ้นจาก MATLAB สำหรับการใช้งานนี้ให้ใช้ “sisotool” ที่นี่คุณสามารถเพิ่มข้อจำกัดสำหรับเปอร์เซ็นต์การเกินค่าเท่ากับ 20% และได้รับโพลหลักได้อย่างง่ายดาย

ภาพด้านล่างแสดงแผนภูมิรากจาก MATLAB

ตัวอย่างการหาตำแหน่งศูนย์

เราสามารถหาเวลาคงที่ด้วยความช่วยเหลือของ MATLAB ได้ การตอบสนองแบบขั้นบันไดหนึ่งของระบบมีดังแสดงในรูปด้านล่าง

เวลาคงที่ใน MATLAB

วิธีลดเวลาคงที่

เวลาคงที่คือเวลาที่จำเป็นในการบรรลุเป้าหมาย และสำหรับระบบควบคุมใด ๆ เวลาคงที่ควรถูกจำกัดให้น้อยที่สุด

การลดเวลาคงที่ไม่ใช่เรื่องง่าย เราจำเป็นต้องออกแบบตัวควบคุมเพื่อลดเวลาคงที่

ตามที่ทราบ มีตัวควบคุมสามประเภท คือเชิงสัดส่วน (P), เชิงปริพันธ์ (I), เชิงอนุพันธ์ (D) ด้วยการผสมผสานตัวควบคุมเหล่านี้ เราสามารถบรรลุความต้องการของระบบได้

ค่าเกนของตัวควบคุม (KP, KI, KD) จะเลือกตามความต้องการของระบบ

การเพิ่มค่าเกนเชิงสัดส่วน KP จะทำให้มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเวลาคงที่ การเพิ่มค่าเกนเชิงปริพันธ์ KI จะทำให้เวลาคงที่เพิ่มขึ้น และการเพิ่มค่าเกนเชิงอนุพันธ์ KD จะทำให้เวลาคงที่ลดลง

ดังนั้น การเพิ่มค่าgainของอนุพันธ์จะช่วยลดเวลาการตั้งค่า ในขณะที่เลือกค่าgainของตัวควบคุมPID มันอาจส่งผลต่อปริมาณอื่น ๆ เช่น เวลาขึ้นสู่ระดับคงที่ ความผิดพลาดในการเข้าสู่ภาวะคงที่ และความคลาดเคลื่อนในภาวะคงที่

วิธีการหาเวลาการตั้งค่าในMATLAB

ในMATLAB เวลาการตั้งค่าสามารถหาได้โดยใช้ฟังก์ชันstep ลองทำความเข้าใจผ่านตัวอย่าง

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ก่อนอื่น เราคำนวณเวลาการตั้งค่าโดยใช้สมการ สำหรับนั้น ให้เปรียบเทียบฟังก์ชันถ่ายโอนนี้กับฟังก์ชันถ่ายโอนทั่วไปของระบบลำดับที่สอง

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

ดังนั้น

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

ค่านี้เป็นค่าประมาณเนื่องจากเราได้ทำการตั้งสมมติฐานในการคำนวณสมการของเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ แต่ใน MATLAB เราจะได้ค่าเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ที่แม่นยำ ดังนั้นค่านี้อาจแตกต่างกันเล็กน้อยในทั้งสองกรณี

ต่อไป เพื่อคำนวณเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ใน MATLAB เราใช้ฟังก์ชัน step

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

ผลลัพธ์:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

และคุณจะได้กราฟของความตอบสนองตามที่แสดงในรูปด้านล่าง

การคำนวณเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ใน MATLAB

ใน MATLAB โดยค่าเริ่มต้น มีวงรอบข้อผิดพลาดเป็น 2% คุณสามารถเปลี่ยนแปลงค่านี้ในกราฟสำหรับวงรอบข้อผิดพลาดที่แตกต่างกัน โดยคลิกขวาบนกราฟ > คุณสมบัติ > ตัวเลือก > “แสดงเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ภายใน ___ %”

ตัวแก้ไขคุณสมบัติ MATLAB

วิธีอื่นในการหาเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่โดยการรันลูป เราทราบว่าสำหรับวงจรความผิดพลาด 2% เราพิจารณาการตอบสนองระหว่าง 0.98 ถึง 1.02

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

ผลลัพธ์:

settling_time = 1.1886

คำชี้แจง: เคารพต้นฉบับบทความดีๆ ที่ควรแชร์ หากมีการละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ

ให้ทิปและสนับสนุนผู้เขียน

หัวข้อ:

ระบบไฟฟ้า

ระบบควบคุม

เกี่ยวกับผู้เชี่ยวชาญ

Electrical4u

China

แนะนำ

เพิ่มเติม

ความผิดปกติและการจัดการของวงจรเดี่ยวต่อพื้นในสายส่งไฟฟ้า 10kV

ลักษณะและอุปกรณ์ตรวจจับข้อบกพร่องการต่อพื้นเฟสเดียว1. ลักษณะของข้อบกพร่องการต่อพื้นเฟสเดียวสัญญาณเตือนกลาง:เสียงกริ่งเตือนดังขึ้น และหลอดไฟแสดงสถานะที่ระบุว่า “มีข้อบกพร่องการต่อพื้นบนบัสเซกชัน [X] กิโลโวลต์ หมายเลข [Y]” สว่างขึ้น ในระบบซึ่งใช้คอยล์เปเทอร์เซน (คอยล์ดับอาร์ค) ต่อพื้นจุดศูนย์กลาง หลอดไฟแสดงสถานะ “คอยล์เปเทอร์เซนทำงาน” ก็จะสว่างขึ้นเช่นกันการแสดงผลของมิเตอร์ตรวจสอบฉนวน:แรงดันไฟฟ้าของเฟสที่เกิดข้อบกพร่องลดลง (ในกรณีการต่อพื้นแบบไม่สมบูรณ์) หรือลดลงเป็นศูนย์ (ในกรณีการต่อพื้นแบบแข็ง)

Rockwill

01/30/2026

การดำเนินงานโหมดต่อพื้นจุดกลางสำหรับหม้อแปลงไฟฟ้าในระบบไฟฟ้า 110kV～220kV

การจัดการโหมดการต่อพื้นของจุดกลางสำหรับหม้อแปลงในระบบไฟฟ้าแรงดัน 110kV～220kV ต้องสอดคล้องกับข้อกำหนดการทนทานของฉนวนที่จุดกลางของหม้อแปลง และควรพยายามรักษาค่าความต้านทานลำดับศูนย์ของสถานีไฟฟ้าให้คงที่ โดยมั่นใจว่าค่าความต้านทานรวมลำดับศูนย์ที่จุดเกิดลัดวงจรใด ๆ ในระบบไม่ควรเกินสามเท่าของค่าความต้านทานรวมลำดับบวกสำหรับหม้อแปลงแรงดัน 220kV และ 110kV ในโครงการสร้างใหม่และโครงการปรับปรุงทางเทคนิค โหมดการต่อพื้นของจุดกลางต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดดังต่อไปนี้อย่างเคร่งครัด:1. หม้อแปลงอัตโนมัติจุดกลางของหม้

Vziman

01/29/2026

ทำไมสถานีไฟฟ้าจึงใช้หินกรวดและหินบด

ทำไมสถานีไฟฟ้าจึงใช้หินกรวดและหินปูนบด?ในสถานีไฟฟ้า อุปกรณ์ต่างๆ เช่น หม้อแปลงไฟฟ้าและระบบการกระจายพลังงาน สายส่งไฟฟ้า หม้อแปลงแรงดันไฟฟ้า หม้อแปลงกระแสไฟฟ้า และสวิตช์ตัดวงจร ทั้งหมดต้องมีการต่อพื้นดิน นอกจากการต่อพื้นดินแล้ว เราจะสำรวจอย่างลึกซึ้งว่าทำไมถึงใช้หินกรวดและหินปูนบดในสถานีไฟฟ้า แม้ว่าพวกมันจะดูธรรมดา แต่หินเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการรักษาความปลอดภัยและการทำงานในการออกแบบการต่อพื้นดินของสถานีไฟฟ้า—โดยเฉพาะเมื่อใช้วิธีการต่อพื้นดินหลายวิธี—หินปูนบดหรือหินกรวดจะถูกโรยทั่วบริเวณสนามสำหรับ

Echo

01/29/2026

HECI GCB สำหรับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า – วงจรป้องกันความเร็วสูง SF₆

1. บทนิยามและฟังก์ชัน1.1 บทบาทของเบรกเกอร์วงจรกำเนิดไฟฟ้าเบรกเกอร์วงจรกำเนิดไฟฟ้า (GCB) เป็นจุดตัดที่สามารถควบคุมได้ระหว่างกำเนิดไฟฟ้ากับหม้อแปลงขั้นตอนสูง ทำหน้าที่เป็นส่วนเชื่อมต่อระหว่างกำเนิดไฟฟ้ากับระบบไฟฟ้า การทำงานหลักของ GCB ประกอบด้วยการแยกความผิดปกติทางด้านกำเนิดไฟฟ้าและการควบคุมการทำงานในระหว่างการประสานงานและเชื่อมต่อกับระบบไฟฟ้า หลักการการทำงานของ GCB ไม่แตกต่างจากเบรกเกอร์วงจรมาตรฐานมากนัก แต่เนื่องจากมีส่วนประกอบของกระแสตรงสูงในกระแสความผิดปกติของกำเนิดไฟฟ้า GCB จำเป็นต้องทำงานอย่

Garca

01/06/2026

ระบบลำดับที่สอง	อัตราส่วนการหน่วง (ξ)	เวลาตั้งค่า (TS)
ไม่ถูกหน่วงมากพอ	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
ไม่มีการหน่วง	ξ = 0	$T_S = \infty$
หน่วงวิกฤติ	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
หน่วงเกิน	ξ > 1	ขึ้นอยู่กับโพลหลัก