เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่: คืออะไร? (สูตรและการหาใน MATLAB)

Electrical4u

ฟิลด์: ไฟฟ้าพื้นฐาน

China

อะไรคือเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่?

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ของระบบไดนามิกถูกกำหนดเป็นเวลาที่ต้องการให้เอาต์พุตเข้าสู่และคงที่ภายในวงเงินความคลาดเคลื่อนที่กำหนด ใช้สัญลักษณ์ Ts เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ประกอบด้วยความหน่วงในการแพร่กระจายและความหน่วงในการเข้าสู่บริเวณค่าสุดท้าย มันรวมถึงเวลาในการฟื้นฟูจากสภาพเกินกำลังทำงานร่วมกับความเร็วในการเปลี่ยนแปลงและการคงที่ใกล้เคียงกับวงเงินความคลาดเคลื่อน

วงเงินความคลาดเคลื่อนคือช่วงที่ยอมรับได้สูงสุดที่เอาต์พุตสามารถเข้าสู่ภาวะคงที่ได้ โดยทั่วไปแล้ววงเงินความคลาดเคลื่อนจะอยู่ที่ 2% หรือ 5%

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ในการตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบอันดับสองแสดงไว้ในรูปด้านล่าง

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่

สูตรเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ขึ้นอยู่กับความถี่ธรรมชาติและการตอบสนองของระบบ สูตรทั่วไปของเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่คือ

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

การตอบสนองแบบขั้นบันไดของระบบอันดับสองแสดงได้ดังนี้

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

สมการนี้แบ่งออกเป็นสองส่วน

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

ในการคำนวณเวลาที่ตั้งตัว เราจำเป็นต้องใช้เฉพาะส่วนประกอบเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจากมันทำให้ส่วนที่แกว่งของส่วนประกอบไซนูโซอิดหายไป และเศษส่วนความอดทนเท่ากับส่วนประกอบเอ็กซ์โพเนนเชียล

$อัตราส่วนความอดทน = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$อัตราส่วนความอดทน \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( อัตราส่วนความอดทน \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

วิธีการคำนวณเวลาคงที่

ในการคำนวณเวลาคงที่ เราพิจารณาระบบอันดับหนึ่งกับการตอบสนองขั้นตอนหน่วย

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

สำหรับการตอบสนองขั้นตอนหน่วย

$R(s) = \frac{1}{s}$

ดังนั้น

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

ต่อไปนี้ คำนวณค่า A1 และ A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

สมมติว่า s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

สมมติว่า s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

สำหรับข้อผิดพลาด 2% ค่า 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

สมการนี้ให้เวลาในการเข้าสู่ภาวะคงที่สำหรับระบบอันดับที่หนึ่งกับอินพุตแบบขั้นบันได

สำหรับระบบอันดับที่สอง เราจำเป็นต้องพิจารณาสมการดังต่อไปนี้;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

ในสมการนี้ คำว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นสิ่งสำคัญในการหาค่าเวลาในการเข้าสู่ภาวะคงที่

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

ตอนนี้ เราพิจารณาความผิดพลาด 2% ดังนั้น 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

ค่าของอัตราส่วนการหน่วง (ξ) ขึ้นอยู่กับประเภทของระบบลำดับที่สอง ในที่นี้ เราพิจารณาระบบลำดับที่สองที่มีการหน่วงต่ำ และค่าของ ξ อยู่ระหว่าง 0 และ 1

ดังนั้น ตัวส่วนของสมการด้านบนจะใกล้เคียงกับ 1 และเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราสามารถละเลยได้

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

สมการนี้สามารถใช้ได้เฉพาะกับวงจรที่มีความคลาดเคลื่อน 2% และระบบลำดับที่สองที่ไม่ถูกยับยั้ง

ในทำนองเดียวกันสำหรับวงจรที่มีความคลาดเคลื่อน 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

สำหรับระบบลำดับที่สอง ก่อนที่จะหาเวลาคงที่ เราต้องคำนวณอัตราส่วนการชลอ

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ของรากลักษณะ

เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีรากลักษณะ เวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนการลดแรงสั่นสะเทือนและความถี่ธรรมชาติ

ค่าเหล่านี้สามารถหาได้ด้วยความช่วยเหลือของวิธีรากลักษณะ และเราสามารถหาเวลาการเข้าสู่ภาวะคงที่ได้

ลองทำความเข้าใจด้วยตัวอย่าง

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

และ Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

จากแผนผังรากลักษณะ; คุณสามารถหาขั้วหลักได้

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

ตอนนี้เรามีค่าของ ξ และ ωn,

$เวลาการตั้งตัว t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 วินาที$

แผนภูมิรากถูกสร้างขึ้นจาก MATLAB สำหรับการใช้งานนี้ให้ใช้ “sisotool” ที่นี่คุณสามารถเพิ่มข้อจำกัดสำหรับเปอร์เซ็นต์การเกินค่าเท่ากับ 20% และได้รับโพลหลักได้อย่างง่ายดาย

ภาพด้านล่างแสดงแผนภูมิรากจาก MATLAB

ตัวอย่างการหาตำแหน่งศูนย์

เราสามารถหาเวลาคงที่ด้วยความช่วยเหลือของ MATLAB ได้ การตอบสนองแบบขั้นบันไดหนึ่งของระบบมีดังแสดงในรูปด้านล่าง

เวลาคงที่ใน MATLAB

วิธีลดเวลาคงที่

เวลาคงที่คือเวลาที่จำเป็นในการบรรลุเป้าหมาย และสำหรับระบบควบคุมใด ๆ เวลาคงที่ควรถูกจำกัดให้น้อยที่สุด

การลดเวลาคงที่ไม่ใช่เรื่องง่าย เราจำเป็นต้องออกแบบตัวควบคุมเพื่อลดเวลาคงที่

ตามที่ทราบ มีตัวควบคุมสามประเภท คือเชิงสัดส่วน (P), เชิงปริพันธ์ (I), เชิงอนุพันธ์ (D) ด้วยการผสมผสานตัวควบคุมเหล่านี้ เราสามารถบรรลุความต้องการของระบบได้

ค่าเกนของตัวควบคุม (KP, KI, KD) จะเลือกตามความต้องการของระบบ

การเพิ่มค่าเกนเชิงสัดส่วน KP จะทำให้มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเวลาคงที่ การเพิ่มค่าเกนเชิงปริพันธ์ KI จะทำให้เวลาคงที่เพิ่มขึ้น และการเพิ่มค่าเกนเชิงอนุพันธ์ KD จะทำให้เวลาคงที่ลดลง

ดังนั้น การเพิ่มค่าgainของอนุพันธ์จะช่วยลดเวลาการตั้งค่า ในขณะที่เลือกค่าgainของตัวควบคุมPID มันอาจส่งผลต่อปริมาณอื่น ๆ เช่น เวลาขึ้นสู่ระดับคงที่ ความผิดพลาดในการเข้าสู่ภาวะคงที่ และความคลาดเคลื่อนในภาวะคงที่

วิธีการหาเวลาการตั้งค่าในMATLAB

ในMATLAB เวลาการตั้งค่าสามารถหาได้โดยใช้ฟังก์ชันstep ลองทำความเข้าใจผ่านตัวอย่าง

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ก่อนอื่น เราคำนวณเวลาการตั้งค่าโดยใช้สมการ สำหรับนั้น ให้เปรียบเทียบฟังก์ชันถ่ายโอนนี้กับฟังก์ชันถ่ายโอนทั่วไปของระบบลำดับที่สอง

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

ดังนั้น

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

ค่านี้เป็นค่าประมาณเนื่องจากเราได้ทำการตั้งสมมติฐานในการคำนวณสมการของเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ แต่ใน MATLAB เราจะได้ค่าเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ที่แม่นยำ ดังนั้นค่านี้อาจแตกต่างกันเล็กน้อยในทั้งสองกรณี

ต่อไป เพื่อคำนวณเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ใน MATLAB เราใช้ฟังก์ชัน step

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

ผลลัพธ์:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

และคุณจะได้กราฟของความตอบสนองตามที่แสดงในรูปด้านล่าง

การคำนวณเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ใน MATLAB

ใน MATLAB โดยค่าเริ่มต้น มีวงรอบข้อผิดพลาดเป็น 2% คุณสามารถเปลี่ยนแปลงค่านี้ในกราฟสำหรับวงรอบข้อผิดพลาดที่แตกต่างกัน โดยคลิกขวาบนกราฟ > คุณสมบัติ > ตัวเลือก > “แสดงเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่ภายใน ___ %”

ตัวแก้ไขคุณสมบัติ MATLAB

วิธีอื่นในการหาเวลาที่ระบบเข้าสู่ภาวะคงที่โดยการรันลูป เราทราบว่าสำหรับวงจรความผิดพลาด 2% เราพิจารณาการตอบสนองระหว่าง 0.98 ถึง 1.02

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

ผลลัพธ์:

settling_time = 1.1886

คำชี้แจง: เคารพต้นฉบับบทความดีๆ ที่ควรแชร์ หากมีการละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ

ให้ทิปและสนับสนุนผู้เขียน

หัวข้อ:

ระบบไฟฟ้า

ระบบควบคุม

เกี่ยวกับผู้เชี่ยวชาญ

Electrical4u

China

แนะนำ

เพิ่มเติม

อะไรคือข้อควรระวังและแนวทางในการใช้งานโหลดแบงก์ AC

ธนาคารโหลด AC เป็นอุปกรณ์ไฟฟ้าที่ใช้จำลองโหลดในโลกจริงและได้รับการใช้งานอย่างกว้างขวางในระบบพลังงานไฟฟ้า ระบบสื่อสาร ระบบควบคุมอัตโนมัติ และสาขาอื่นๆ เพื่อรักษาความปลอดภัยของบุคลากรและอุปกรณ์ในการใช้งาน ต้องปฏิบัติตามมาตรการความปลอดภัยและการแนะนำดังต่อไปนี้:เลือกธนาคารโหลด AC ที่เหมาะสม: เลือกธนาคารโหลด AC ที่ตรงตามความต้องการจริง ให้มั่นใจว่ากำลัง ระดับแรงดัน และพารามิเตอร์อื่น ๆ ตรงตามการใช้งานที่ต้องการ นอกจากนี้ควรเลือกผลิตภัณฑ์ที่มีการรับประกันคุณภาพและการรับรองความปลอดภัยที่ยอมรับ และหลีกเ

Echo

11/06/2025

สิ่งที่ควรทราบเมื่อติดตั้งเทอร์โมคับเปิลชนิด K

การติดตั้งเทอร์โมคัปเปิลชนิด K อย่างระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญในการรับประกันความแม่นยำของการวัดและยืดอายุการใช้งาน ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำสำหรับการติดตั้งเทอร์โมคัปเปิลชนิด K ที่รวบรวมจากแหล่งข้อมูลที่มีอำนาจเชิงอธิบายสูง:1. การเลือกและการตรวจสอบ เลือกประเภทของเทอร์โมคัปเปิลที่เหมาะสม: เลือกเทอร์โมคัปเปิลที่ถูกต้องตามช่วงอุณหภูมิ คุณสมบัติของสื่อ และความแม่นยำที่จำเป็นในสภาพแวดล้อมการวัด เทอร์โมคัปเปิลชนิด K เหมาะสำหรับอุณหภูมิระหว่าง -200°C ถึง 1372°C และสามารถใช้งานได้ในสภาพแวดล้อมและสื่อที่หลากหล

James

11/06/2025

สาเหตุและมาตรการป้องกันไฟไหม้และการระเบิดในอุปกรณ์ตัดวงจรแบบน้ำมัน

สาเหตุของไฟไหม้และระเบิดในวงจรตัดไฟแบบน้ำมัน เมื่อระดับน้ำมันในวงจรตัดไฟแบบน้ำมันต่ำเกินไป ชั้นน้ำมันที่ปกคลุมตัวต่อจะบางเกินไป ภายใต้ผลของอาร์คไฟฟ้า น้ำมันจะสลายตัวและปล่อยแก๊สที่สามารถติดไฟได้ แก๊สเหล่านี้สะสมอยู่ในพื้นที่ใต้ฝาครอบบน ส่วนผสมกับอากาศเพื่อสร้างเป็นส่วนผสมที่อาจระเบิด และสามารถติดไฟหรือระเบิดได้ภายใต้อุณหภูมิสูง หากระดับน้ำมันภายในถังสูงเกินไป แก๊สที่ปล่อยออกมาจะมีพื้นที่ขยายตัวจำกัด ทำให้ความดันภายในสูงเกินไปจนอาจทำให้ถังแตกหรือระเบิดได้ สิ่งเจือปนและน้ำในน้ำมันมากเกินไปสามารถทำ

Felix Spark

11/06/2025

มาตรฐานความผิดพลาดในการวัด THD สำหรับระบบไฟฟ้า

ความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ของการบิดเบือนฮาร์มอนิกรวม (THD): การวิเคราะห์อย่างครอบคลุมตามสถานการณ์การใช้งาน อุปกรณ์วัด และมาตรฐานอุตสาหกรรมขอบเขตความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้สำหรับการบิดเบือนฮาร์มอนิกรวม (THD) ต้องประเมินตามบริบทการใช้งานเฉพาะ อุปกรณ์วัด และมาตรฐานอุตสาหกรรมที่เกี่ยวข้อง ด้านล่างนี้เป็นการวิเคราะห์รายละเอียดของตัวชี้วัดประสิทธิภาพหลักในระบบพลังงาน อุปกรณ์อุตสาหกรรม และการใช้งานวัดทั่วไป1. มาตรฐานความคลาดเคลื่อนฮาร์มอนิกในระบบพลังงาน1.1 ข้อกำหนดมาตรฐานชาติ (GB/T 14549-1993) THD แรง

Edwiin

11/03/2025

ระบบลำดับที่สอง	อัตราส่วนการหน่วง (ξ)	เวลาตั้งค่า (TS)
ไม่ถูกหน่วงมากพอ	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
ไม่มีการหน่วง	ξ = 0	$T_S = \infty$
หน่วงวิกฤติ	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
หน่วงเกิน	ξ > 1	ขึ้นอยู่กับโพลหลัก