Ħin ta' Stabbilizzazzjoni: Xi ħa jkun? (Formola u Kif Tiftakru f'MATLAB)

Electrical4u

Camp: Elektriku Bażiku

China

X’huwa l-ħin tal-aċċertament?

Il-ħin tal-aċċertament tas-sistema dinamika huwa l-ħin neċessarju biex il-output taraġġel u tkun stabili f’banda ta’ tolleranza data. Huwa jingħata bħala Ts. Il-ħin tal-aċċertament ikkumprond id-daħla tad-dilazzjoni u l-ħin neċessarju biex tirriġgħu fil-reġjun tal-valur finali tagħha. Jinkludi wkoll l-ħin biex jirriġgħu mid-dilazzjoni u jiġi stabili ħafna qrib mill-banda ta’ tolleranza.

Il-banda ta’ tolleranza hi l-limit massimu permess biex il-output taraġġel. Ħal jien, il-bandi ta’ tolleranza huma 2% jew 5%.

Il-ħin tal-aċċertament fir-rispons ta’ pass tal-sistema tal-ordni tnejn huwa kif jidher fis-figura hawn taħt.

Ħin tal-Aċċertament

Formola tal-Ħin tal-Aċċertament

Il-ħin tal-aċċertament idependi mill-frekwenza naturali u r-rispons tas-sistema. L-equazzjoni ġenerali tal-ħin tal-aċċertament hi;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Ir-rispons ta’ pass tas-sistema tal-ordni tnejn huwa msemmija bħal;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Din huwa l-mudel jidhru f’żewġ parti;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Biex nirkonu l-kaxxa ta’ stabilità, għandna biss il-komponenti esponenzjali minħabba li dan jaħbel il-parti oskulanti tal-komponenti sinusoidali. U l-frazzjoni tal-tolleranza hija l-istess bħal il-komponenti esponenzjali.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kif tħassil il-Ħin tal-Settling

Biex tħassil il-ħin tal-settling, nikkonsidraw sistema ta' l-ewwel darja mal-risposta ta' pass ta' unità.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Għal risposta ta' pass ta' unità,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Allura,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Issa, kalkula l-valur għal A1 u A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Assumixwa s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Assumixwa s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Għal l-errur ta' 2%, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Din l-ekwazzjoni din tħassil il-ħin ta' stabbiltà għas-sistema tad-darja uffiċjali bl-input ta' pass tax-xogħol.

Għas-sistema tat-tnejn, għandna nikkonsidraw l-ekwazzjoni tal-aħtaram;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Fid-din l-ekwazzjoni, it-term esponenzjali huwa importanti biex jittagħmil il-ħin ta' stabbiltà.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Issa, naghħalqghu 2% tal-errur. Għalhekk, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Il-valur tal-rapport ta' dampening (ξ) jidher mill-tip ta' sistema tad-tieni ordni. Hawn, naghħalqghu sistema tad-tieni ordni mhux dampenata qart. Il-valur ta' ξ jikteb bejn 0 u 1.

Għalhekk, id-denominatur ta' l-iżjied ekwazzjoni huwa qrib 1. U biex nghallelu kalkolu ħalisi, nistgħu noqqghuhu.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Din l-ekwazzjoni hawn taqsam tikseb biss għal band tal-erruri ta' 2% u sustemu ta' ordni tnejn imqassar.

Fl-istess mod, għal band tal-erruri ta' 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Għal sistema ta' l-ordni t-tnejn, qabel li nistgħu nittfittaw il-ħin tal-settling, għandna nkalkulaw ir-rapport ta' damping.

Ħin tas-silġ tal-Radix Locus

Il-ħin tas-silġ jista' jiġi kalkulat bl-użu tal-metodu tal-radix locus. Il-ħin tas-silġ jidher mill-rapport tad-dampening u tal-frequenza naturali.

Dak li qabel jista' jiġi derivat bl-użu tal-metodu tal-radix locus. U nistgħu niffindmu l-ħin tas-silġ.

Lanqra minn esempju.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

U l-Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Minn il-kurva tal-lukus tar-racin; tista' ssib il-poli dominanti;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Issa, għandna l-valur ta’ ξ u ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Il-diagramma ta’ root locus huwa mħalleg minn MATLAB. Għal dan, uża “sisotool”. Hawn, tista’ tżid konstranġ għal l-overshoot tal-perċentwali li huwa 20%. U tgħadil il-poli dominanti b’mod ħalisi.

Il-figura hawn taħt turi l-diagramma ta’ root locus minn MATLAB.

Esempju ta' Root Locus

Nistgħu nifindu l-ħin tal-aċċertar b'mod ta' MATLAB. Ir-rispons għal passi unitar tas-sistema huwa kif jidher fil-figura t-taħt.

Ħin ta' Aċċertar f'MATLAB

Kif Nniżilna l-Ħin ta' Aċċertar

Il-ħin ta' aċċertar huwa l-ħin li saslu biex jiġi raggiunt il-mixja. Għal kull sistema ta' kontrol, il-ħin ta' aċċertar għandu tkun minima.

L-iżilta tal-ħin ta' aċċertar mhux xogħol ħalih. Għandna ndeżignaw controller biex nniżilu l-ħin ta' aċċertar.

Kif nagħmlu, hemm trej controllers; proportional (P), Integral (I), derivative (D). B'kombinazzjoni ta' dawn il-controllers, nistgħu nirriċevu l-irreġimenta tagħna tas-sistema.

Il-gain tal-controllers (KP, KI, KD) jiġi magħżul skond il-reġimenta tas-sistema.

L-iktar għall-gain proportional KP, jilġu xi bidla f'ħin ta' aċċertar. L-iktar għall-gain integral KI, l-ħin ta' aċċertar jiżdied. U l-iktar għall-gain derivative KD, l-ħin ta' aċċertar jiżghal.

Għalhekk, l-ġinu derivativ jżid biex jidminni l-ħin tal-settling. Waqt li tintixxil il-valuri tal-ġinu għall-kontrollur PID, dan jista’ jaffettwa wkoll kwalitajiet oħra bħal rise time, overshoot, u steady-state error.

Kif Tiffa Settling Time f’MATLAB

F’MATLAB, it-tiffa tal-ħin tal-settling tistgħal bil-funzjoni step. Nibdew minn esempju.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Awa, niftakkar l-ħin tal-settling bl-equation. Għal dan, inkella d-din funzjoni ta’ transfer ma’ l-funzjoni ta’ transfer ġenerali tas-sistema ta’ ftit l-ordni.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Għalhekk,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Dan l-avallazz huwa valur approssimat għax nstabban assumturi waqt li nkalkulaw l-equazzjoni tal-avallazz. Iżda f'MATLAB, nitqiegħu l-valur esatt tal-avallazz. Allura dan il-valur jista' jkun diffèrent b'tifla f'kazijiet differenti.

Issa, biex nkalkulaw l-avallazz f'MATLAB, nużaw il-funzzjoni step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

U tgħadil grafik tal-risposta kif tara fil-figura hawn taħt.

Kalkolazzjoni tal-avallazz f'MATLAB

F'MATLAB, default il-band tal-erġa ta' l-errur huwa 2%. Tista' tagħmel din differenti fl-grafiku għal band diversi ta' errur. Għal dan, tklikkja jienklu ġdox fuq il-grafiku > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Editor tal-Aħwaar MATLAB

Mod ieħor biex tintla' il-ħin ta’ tlestil bħala lopp. Kif nafu, għal it-talb ta’ 2% ta’ erġa, nkonsidraw ir-rispons bejn 0.98 u 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Dikjarazzjoni: Tistaqsi lil-lanġas tas-salvagwardja, artikoli ġodda huma waħda li għandhom jiġu ssirw, jekk hemm infracment jekk jogħġbok kontattja biex tilgħaq.

Agħti tipp u inkoraġixxi l-awtur!

Suġġetti:

Sistemi tal-Energija

Sistemi tal-Kontroll

Rigward l-esperji

Electrical4u

China

Area tal-espertizza

Basic Electrical

Artiklu professjonali

607

Mħalless

Aktar

Li minna l-precazzjonijiet u l-linji direttivi għad-diklitarazzjoni ta' sigurtà waqt li tintużaw l-banċi tal-karġa alternativa?

Il-banks ta' karigà AC huma dispositivi elettriku użati biex isimulaw l-karigi reali u huma applikati ampiament f'sistemi tal-enerġija, sistemi ta' komunikazzjoni, sistemi ta' kontroll awtomatiku u ħafna fuq. Biex tassiguraw is-sigurtà personali u tal-materjal fl-użu, għandhom jittoppijaw is-sigurtajji u l-linji ghodda li hemm hawn taħt:Agħżel bank ta' karigà AC appropriate: Agħżel bank ta' karigà AC li jissodisfa r-riqufrimenti reali, billi tassigura li d-daqqa, il-rating tal-voltatt, u paramet

Echo

11/06/2025

Li għandu jittqabbel meta tintallaġġa koppja termoelettrika ta' tip K?

Il-precazzjonijiet għall-instalazzjoni ta' termokoppji ta' tip K huma essenzjali biex is-sigurtà tal-misurament jiġi assicurata u biex il-ħin ta' servizz jkun allungat. Hawn taħt huwa l-introduzzjoni għall-linji ghall-instalazzjoni ta' termokoppji ta' tip K, mikkompilati minn sorsi avvissati:1. Selezzjoni u Ispettar Agħżel it-tip ta' termokoppju opportunu: Agħżel it-termokoppju ġust bsieq għan-nfsu mill-bidu bħala rangu t-teżma, l-karatteristiċi tal-medju, u l-aċċuratizza tal-misurament li hija

James

11/06/2025

L-Ewwel u l-Misjiem tal-Ħarġ u t-Tifliss fil-Breakers tal-Żejt

Kazwi tal-Inċendju u t-Tixxib fil-Ħalqijiet tal-Ħalqa tal-Lanġas Meta l-livell tal-lanġas fl-ħalqija tal-ħalqa tal-lanġas huwa troppo bass, il-strata tal-lanġas li qasmet il-kontatti tissir troppo fiha. Tali effett tal-ark elettriku, il-lanġas tintabba u tirrilascja gasi infiammabbili. Dawn il-gasi jakkumulaw fis-spazju ta' hinn minn fuq, jiżdiedu mal-ħelu biex jagħmlu misħun infiammabbil, li jista’ jisfal u jittixxib meta jsibu temperaturi oħra. Jekk il-livell tal-lanġas ftit il-tank huwa tropp

Felix Spark

11/06/2025

Standardi għall-Erġa' ta' Misurazzjoni tal-THD għas-Sistemi tal-Elettricità

Toleranza tal-erruri ta' l-Distorsjoni Totali Harmonika (THD): Analisi Kompluta Bazata fuq Skenariji tal-Applikazzjoni, Aċċurizza tal-Equiment, u Standardi tad-DinjutIr-ranġ tal-erruri akċettabbli għal l-Distorsjoni Totali Harmonika (THD) għandu jiġi valutat bbażat fuq il-kontesti speċifiċi tal-applikazzjoni, l-aċċurizza tal-equiment tal-misurament, u l-standardi tad-dinjut applikabbli. Hawn taħt hija analisi dettaljata ta' l-indikaturi prinċipali tal-prestazzjoni f'sistemi tal-enerġija, equimen

Edwiin

11/03/2025

Sistema tal-ord tad-tnejn	Rapport ta' Damp (ξ)	Ħin ta' Settjar (TS)
Underdamped	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undamped	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critically damped	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdamped	ξ > 1	Dipendi mill-pulju dominanti