Oras ng Pagkakatugon: Ano ito? (Pormula at Paano Ito Makuha sa MATLAB)

Electrical4u

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Settling Time?

Ang settling time ng isang dynamic na sistema ay inilalarawan bilang ang oras na kinakailangan para sa output upang maabot at maging steady sa loob ng isang binigay na tolerance band. Ito ay tinutukoy bilang Ts. Ang settling time ay binubuo ng propagation delay at ang oras na kinakailangan para maabot ang rehiyon ng kanyang huling halaga. Ito ay kasama ang oras para bumawi sa overload condition na may slew at steady malapit sa tolerance band.

Ang tolerance band ay ang pinakamataas na nararapat na range kung saan ang output ay maaaring mag-settle. Karaniwan, ang mga tolerance bands ay 2% o 5%.

Ang settling time sa step response ng isang second-order system ay tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Settling Time

Formula ng Settling Time

Ang settling time ay depende sa natural frequency at response ng sistema. Ang pangkalahatang equation ng settling time ay;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Ang unit step response ng second order system ay ipinahayag bilang;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ang ekwasyon na ito ay nahahati sa dalawang bahagi;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para makalkula ang settling time, kailangan lamang natin ang exponential component dahil ito ang nagpapatalsik ng oscillatory part ng sinusoidal component. At ang tolerance fraction ay katumbas ng exponential component.

$Bahaging Toleransi = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Bahaging Toleransi \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Bahaging Toleransi \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Paano Kalkulahin ang Settling Time

Para kalkulahin ang settling time, inaangkin natin ang first order system na may unit step response.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para sa unit step response,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Kaya,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ngayon, kalkulahin ang halaga para sa A1 at A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Ipaglabas na s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Ipaglabas na s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para sa 2% error, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ang ekwasyon na ito ay nagbibigay ng oras ng pagtakda para sa unang order system na may unit step input.

Para sa ikalawang order system, kailangan nating isaalang-alang ang sumusunod na ekwasyon;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Sa ekwasyong ito, ang exponential term ay mahalaga upang mahanap ang halaga ng oras ng pagtakda.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ngayon, inilalarawan natin ang 2% na error. Kaya, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ang halaga ng damping ratio (ξ) ay depende sa uri ng ikalawang order system. Sa kasong ito, inilalarawan natin ang isang underdamped ikalawang order system. At ang halaga ng ξ ay nasa pagitan ng 0 at 1.

Kaya, ang denominator ng nabanggit na equation ay halos katumbas ng 1. At upang gawing madali ang pagkalkula, maaari nating i-neglect ito.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ang ekwasyon na ito ay maaaring gamitin lamang para sa 2% error band at underdamped second order system.

Kapareho, para sa 5% error band; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para sa sistema ng ikalawang order, bago makalkula ang settling time, kailangan nating kalkulahin ang damping ratio.

Oras ng Pagkakataon sa Root Locus

Ang oras ng pagkakataon ay maaaring makalkula gamit ang paraan ng root locus. Ang oras ng pagkakataon ay depende sa ratio ng damping at natural na frequency.

Ang mga dami na ito ay maaaring matukoy sa tulong ng paraan ng root locus. At maaari nating mahanap ang oras ng pagkakataon.

Unawain natin sa pamamagitan ng isang halimbawa.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

At Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Mula sa root locus plot, maaari mong makita ang dominant poles;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ngayon, mayroon na tayo sa halaga ng ξ at ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Ang plot ng ugat ng locus ay nakuha mula sa MATLAB. Para dito, gamitin ang "sisotool". Dito, maaari kang magdagdag ng isang constraint para sa porsiyento ng overshoot na katumbas ng 20%. At makuha ang mga dominant poles nang madali.

Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng plot ng ugat ng locus mula sa MATLAB.

Halimbawa ng Root Locus

Maaari nating makilala ang oras ng pagkakataon sa tulong ng MATLAB. Ang tugon ng yunit na hakbang ng sistemang ito ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Oras ng Pagkakataon sa MATLAB

Paano Bawasan ang Oras ng Pagkakataon

Ang oras ng pagkakataon ay ang oras na kinakailangan upang matamo ang layunin. At para sa anumang sistema ng kontrol, kailangang i-keep ang oras ng pagkakataon sa minimum.

Hindi madali ang pagbabawas ng oras ng pagkakataon. Kailangan nating mag-disenyo ng controller upang bawasan ang oras ng pagkakataon.

Bilang alam natin, may tatlong controller; proportional (P), integral (I), derivative (D). Sa pamamagitan ng kombinasyon ng mga controller na ito, maaari nating makamit ang aming pangangailangan sa sistema.

Ang gain ng mga controller (KP, KI, KD) ay pinili batay sa pangangailangan ng sistema.

Ang pagtaas ng proportional gain KP, nagresulta sa maliit na pagbabago sa oras ng pagkakataon. Ang pagtaas ng integral gain KI, ang oras ng pagkakataon ay tumataas. At ang pagtaas ng derivative gain KD, ang oras ng pagkakataon ay bumababa.

Dahil dito, ang derivative gain ay lumalaki upang mabawasan ang setting time. Habang pinipili ang mga halaga ng gain para sa PID controller, maaari itong makaapekto sa iba pang mga bilang tulad ng rise time, overshoot, at Steady-state error.

Kung Paano Makuha ang Settling Time sa MATLAB

Sa MATLAB, maaaring makuha ang settling time gamit ang step function. Unawain natin sa pamamagitan ng halimbawa.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Una, kalkulahin natin ang settling time gamit ang equation. Para dito, ikumpara ang transfer function na ito sa pangkalahatang transfer function ng second order system.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Kaya,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ang halagang ito ay isang aproksimasyon dahil may mga asumpsiyon tayo na ginamit habang naghahanda ng ekwasyon para sa oras ng pagkakatawan. Ngunit sa MATLAB, nakukuha natin ang eksaktong halaga ng oras ng pagkakatawan. Kaya maaaring maging kaunti ang pagkakaiba ng halaga sa parehong kaso.

Ngayon, upang kalkulahin ang oras ng pagkakatawan sa MATLAB, gumagamit tayo ng step function.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

At makikita mo ang graph ng tugon tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Kalkulasyon ng oras ng pagkakatawan sa MATLAB

Sa MATLAB, ang default na band ng error ay 2%. Maaari kang magpalit ng ito sa graph para sa iba't ibang band ng error. Para dito, i-right-click mo ang graph > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Property Editor MATLAB

Isa pa ring paraan upang makahanap ng settling time sa pamamagitan ng pag-run ng isang loop. Bilang alam natin, para sa 2% error band, itinuturing natin ang tugon sa pagitan ng 0.98 hanggang 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Pahayag: Respeto sa orihinal, mabubuti na artikulo na nagbabahagi, kung may pamamaril ng karapatang-sipi pakiusap na burahin.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng kahusayan

Basic Electrical

Artikulong Propesyonナル専门文章

607

Inirerekomenda

Higit pa

Ano ang mga panuntunan at pagsasanay sa paggamit ng AC load banks?

Ang mga AC load bank ay mga elektrikal na aparato na ginagamit upang simuluhan ang tunay na mga load at malawakang ginagamit sa mga sistema ng enerhiya, sistema ng komunikasyon, sistema ng awtomatikong kontrol, at iba pang larangan. Upang masiguro ang kaligtasan ng personal at kagamitan sa panahon ng paggamit, kailangang sundin ang sumusunod na mga pagsasala at gabay:Pumili ng angkop na AC load bank: Piliin ang AC load bank na tumutugon sa aktwal na pangangailangan, siguraduhing ang kapasidad, r

Echo

11/06/2025

Anong dapat tandaan sa pag-install ng Type K thermocouple?

Ang mga pagsasagawa ng pag-install para sa Type K thermocouples ay mahalaga upang tiyakin ang wastong pagsukat at mapahaba ang serbisyo. Narito ang isang pagpapakilala sa mga gabay sa pag-install para sa Type K thermocouples, na inilapat mula sa mataas na awtoritatibong mga pinagmulan:1. Paggamit at Pagsusuri Pumili ng tamang uri ng thermocouple: Pumili ng tamang thermocouple batay sa saklaw ng temperatura, katangian ng medium, at kinakailangang wasto ng pagsukat sa kapaligiran. Ang Type K therm

James

11/06/2025

Mga Dahilan at Pamamahala ng Pagkalatag at Pagsabog sa mga Oil Circuit Breaker

Mga Dahilan ng Sunog at Pagsabog sa mga Oil Circuit Breaker Kapag ang antas ng langis sa isang oil circuit breaker ay masyadong mababa, ang layer ng langis na nakakalat sa mga contact ay naging masyadong manipis. Sa epekto ng electric arc, ang langis ay nabubulok at naglalabas ng mga flammable gases. Ang mga gas na ito ay lumilitaw sa puwang sa ilalim ng top cover, na nagmumix sa hangin upang bumuo ng isang explosive mixture, na maaaring mag-ignite o magsabog sa mataas na temperatura. Kung ang a

Felix Spark

11/06/2025

Pamantayan ng Pagkakamali sa Pagsukat ng THD para sa mga Sistemang Paggamit ng Kuryente

Pagtanggap ng Error sa Total Harmonic Distortion (THD): Isang Komprehensibong Pagsusuri Batay sa mga Sitwasyon ng Paggamit, Katumpakan ng Kakayahan ng Equipment, at Pamantayan ng IndustriyaAng tanggap na saklaw ng error para sa Total Harmonic Distortion (THD) ay dapat ilarawan batay sa partikular na konteksto ng paggamit, katumpakan ng kakayahan ng equipment, at aplikableng pamantayan ng industriya. Narito ang detalyadong pagsusuri ng mga pangunahing indikador ng pagganap sa mga sistema ng kapan

Edwiin

11/03/2025

Sistema ng Ikalawang Urubin	Rasyo ng Pagdamp (ξ)	Setting Time (TS)
Underdamped	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undamped	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critical damped	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdamp	ξ > 1	Depende sa dominant pole