Tempus Stabilis: Quid est? (Formula et Quomodo in MATLAB Invenitur)

Electrical4u

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est Tempus Stabilizationis?

Tempus stabilizationis systematis dynamicum definitur ut tempus necessarium ut productum ad finem atque intra datam tolerantiam perveniat. Denotatur ut Ts. Tempus stabilizationis includit moram propagationis et tempus necessarium ad regionem valoris finalis attingendum. Includit tempus ad recuperandam conditionem overload cum slew et stabilisatione prope tolerantiam.

Tolerantia est maximus limes in quo productum stabilizari potest. Generaliter, tolerantiae sunt 2% vel 5%.

Tempus stabilizationis in responsu graduali systematis secundi ordinis ut in figura infra demonstratur.

Tempus Stabilizationis

Formula Temporis Stabilizationis

Tempus stabilizationis pendet a frequencia naturali et responsione systematis. Aequatio generalis temporis stabilizationis est;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Responsus unitatis gradalis systematis secundi ordinis exprimitur ut;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Haec aequatio in duas partes dividitur;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Ut tempus stabilis calculandum sit, solummodo pars exponentialis est necessaria, quia oscillationes partis sinusoidalis eliminat. Et fractio tolerantiae aequatur parti exponentiali.

$Fractio \, tolerantiæ = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fractio \, tolerantiæ \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fractio \, tolerantiæ \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Quomodo Tempus Stabilis Calculatur

Ut tempus stabilis calculetur, consideramus systema ordinis primi cum responsione ad gradum unitatis.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Pro responsione ad gradum unitatis,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Ergo,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nunc, calcula valorem pro A1 et A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Ponamus s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Ponamus s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Pro duabus partibus centesimis erroris, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Haec aequatio tempus stabilis pro systemate primi ordinis cum ingressu graduum unitatis dat.

Pro systemate secundi ordinis, oportet nos considerare hanc aequationem;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In hac aequatione, terminus exponentialis est importantis ad inveniendum tempus stabilis.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nunc, consideramus errorem 2%. Itaque, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Valorem rationis amortizationis (ξ) pendet a genere systematis secundi ordinis. Hic, consideramus systema secundi ordinis subamortizatum. Et valorem ξ iacet inter 0 et 1.

Itaque, denominator aequationis supradictae est prope aequalis 1. Et ad faciliorem calculum, eum potest negligere.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Haec aequatio tantum ad bandam erroris duorum percentorum et systema secundi ordinis subdampnum uti potest.

Similiter, ad bandam erroris quinque percentorum; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pro systemate secundi ordinis, antequam tempus stabilisationis inveniatur, ratio amortitionis calculanda est.

Tempus Stabilis Loci Radicis

Tempus stabilis potest calculari per methodum loci radicis. Tempus stabilis dependet a ratione amortizandi et frequencia naturali.

Haec quantitas posse derivari cum adiutorio methodi loci radicis. Et invenire possumus tempus stabilis.

Intelligamus exemplo.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Et Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Ex loco radicis diagrammatis; possis polos dominantes invenire;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nunc habemus valorem ξ et ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Graphicus locus radicis derivatur ex MATLAB. Ad hoc utere “sisotool”. Hic addere potes conditionem pro percentuali excessu aequalem viginti percentum. Et facile obtineas polos dominantes.

Figura subiecta monstrat graphicus locus radicis ex MATLAB.

Exemplum Radicis Locus

Possumus tempus stabilisationis invenire auxilio MATLAB. Responsio ad gradum unitatis huius systematis est sicut figura subiecta ostendit.

Tempus Stabilisationis in MATLAB

Quomodo Tempus Stabilisationis Reducatur

Tempus stabilisationis est tempus necessarium ad finem assequendum. Et pro omni systemate controllo, tempus stabilisationis minime tenendum est.

Reductio temporis stabilisationis non est facile. Oportet controller designare ad tempus stabilisationis reducendum.

Ut scimus, sunt tres controlleres; proportionalis (P), integralis (I), derivativus (D). Cum combinatione horum controllerum, possumus requisitiones nostras systematis assequi.

Ganendi controllerum (KP, KI, KD) secundum requirementa systematis eligitur.

Aumentatio ganendi proportionalis KP, parva mutationem in tempore stabilisationis facit. Aumentatio ganendi integralis KI, tempus stabilisationis augebit. Et augmentatio ganendi derivativi KD, tempus stabilisationis diminuet.

Itaque, incrementum lucrum derivativi ad diminuendum tempus stabilis. Cum eliguntur valores lucrorum controller IEE-Business, potest alia quantitates quoque affectare, sicut tempus ascensum, excessus, et error stabilis.

Quomodo Invenire Tempus Stabilis in MATLAB

In MATLAB, tempus stabilis inveniri potest per functionem gradus. Intellegamus exemplo.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Primo, calculamus tempus stabilis per aequationem. Pro hoc, comparatur haec functio transferendi cum generali functione transferendi systematis secundi ordinis.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Itaque,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Hoc est valor approximativus, quia assumptio fecimus dum aequationem temporis stabilizandi calculavimus. Sed in MATLAB, exactum tempus stabilizandi obtinemus. Itaque, hic valor paululum differre potest in utroque casu.

Nunc, ut tempus stabilizandi in MATLAB calculetur, usum facimus de functione step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Et graphon responsi sicut in figura subiecta obtines.

Tempus stabilizandi in MATLAB

In MATLAB, per defectum, limes erroris est 2%. Hoc mutare potes in grapho pro diverso limite erroris. Ad hoc, dextrum clic fac in grapho > proprietates > optiones > “monstra tempus stabilizandi intra ___ %”.

Editor Proprietatum MATLAB

Alius modus inveniendi tempus stabilis per iterandi circulum. Ut scimus, pro errore duobus percentualibus, consideramus responsionem inter 0.98 et 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
dum y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
finis
tempus_stabilis = (S-1)*0.005

Exitus:

tempus_stabilis = 1.1886

Declaratio: Respecta originalis, boni articuli digni sunt communicandi, si est iniuria contigisse deleatur.

Donum da et auctorem hortare

Thematibus:

Systemata Electrica

Systemata Controlis

De expertis

Electrical4u

China

Area Expertiae

Basic Electrical

Articulus professionalis

607

Suggestus

Plus

Quae sunt praecautiones et directivae pro usu bancorum oneris AC?

Banci oneris AC sunt instrumenta electrica quae ad simulandum onera reales utuntur et latissime in systematibus electricitatis, communicationis, automationis controlisque aliisque campis applicantur. Ut personalem et equipmenti salutem in usu servetis, praescripta et normae salutis sequentes observari debent:Bancum oneris AC convenientem selecito: Bancum oneris AC qui requisiti actuali satisfaciat eligito, certificans eius capacitatem, ratingem voltage et alia parametra applicationi intendatae s

Echo

11/06/2025

Quid debet notari quando thermocoppula typus K installatur?

Praecautio in installatione thermocouplorum typi K essentia est ad certificandam accurate mensurationis et prolongationem vitae operativae. Sub iuncta sunt directiva pro installatione thermocouplorum typi K, compilata ex fontibus maximae auctoritatis:1. Selectio et inspectio Selecciones thermocouplem aptum: Elige thermocouplem rectum secundum ambitum temperaturae, proprietates medium, et accuratam mensurandi requirit. Thermocoupli typi K idonei sunt ad temperaturas ab -200°C ad 1372°C et uti pos

James

11/06/2025

Causae et Praeceptiva Ad Incendia et Explosiones in Interruptoribus Oleosi

Causae Incendi et Explosionis in Interruptoribus Oleosi Cum olei nivellus in interruptore oleoso sit nimis parvus, stratum olei quod contrectationes tegit nimis tenuem fit. Sub effectu arcus electrici, oleum decomponitur et flammabiles gasea emit. Haec gasea in spatio sub operculo superiore accumulantur, mixta cum aere formant mixturam explosivam, quae ignescere vel explodere potest sub alta temperatura. Si olei nivellus in vase est nimis altus, emissae gasea spatium ad expansionem limitatum hab

Felix Spark

11/06/2025

Standardae Erroris Mensurationis THD pro Systematibus Electricitatis

Tolerantia Erroris Distortionis Harmonicae Totalis (THD): Analyse Completa Basata in Scenariis Applicationis, Accurate Instrumentorum et Standardibus IndustriarumLimes acceptabilis erroris pro Distortione Harmonica Totali (THD) debet aestimari ex contextibus applicationis specificis, accurate instrumentorum mensurae et standardibus industriae applicabilibus. Sequitur analysis exacta indicium performance clavium in systematibus electricitatis, instrumentis industrialibus et applicationibus mensur

Edwiin

11/03/2025

Systema secundi ordinis	Ratio amortizandi (ξ)	Tempus stabilizandi (TS)
Subamortizatus	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Inamortizatus	ξ = 0	$T_S = \infty$
Amortizatus criticus	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Superamortizatus	ξ > 1	Dependit ab polo dominante