זמן התייצבות: מה זה? (נוסחה ואיך למצוא אותו ב-MATLAB)

Electrical4u

שדה: אלקטרוניקה בסיסית

China

מהו זמן התייצבות?

זמן ההתייצבות של מערכת דינמית מוגדר כזמן הנדרש לפלט להגיע ולהתייצב בתוך תחום סובלנות נתון. הוא מסומן כ-Ts. זמן ההתייצבות כולל את עיכוב ההעברה והזמן הנדרש כדי להגיע לאזור הערך הסופי שלו. הוא כולל את הזמן להתאושש מהמצב של עומס יתר המלווה בתנאי זרימה ויציבות קרובים לתחום הסובלנות.

תחום הסובלנות הוא טווח מקסימלי שמאפשר לפלט להתייצב בו. בדרך כלל, תחומי הסובלנות הם 2% או 5%.

זמן ההתייצבות בתגובה של צעד של מערכת מסדר שני מוצג בציור שלהלן.

זמן התייצבות

נוסחת זמן התייצבות

זמן ההתייצבות תלוי בתדירות הטבעית ובתגובה של המערכת. המשוואה הכללית של זמן ההתייצבות היא;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

התגובה של צעד יחידה למערכת מסדר שני מתבטאת כך;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

המשוואה מתחלקת לשני חלקים;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

כדי לחשב את זמן ההתיישבות, יש צורך רק ברכיב האקספוננציאלי מכיוון שהוא מבטל את החלק התנודתי של רכיב הסינוסואידלי. והאשכול סובלנות שווה לרכיב האקספוננציאלי.

$שבר סובלנות = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$שבר סובלנות \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( שבר סובלנות \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

איך לחשב זמן התייצבות

כדי לחשב את זמן ההתייצבות, אנו מתחשבים במערכת מסדר ראשון עם תגובה של צעד יחידה.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

לתגובה של צעד יחידה,

$R(s) = \frac{1}{s}$

לכן,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

כעת, חשב את הערך של A1 ו-A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

נניח ש-s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

נניח ש-s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

עבור שגיאה של 2%, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

משוואה זו מציגה את זמן ההתיישבות עבור מערכת מסדר ראשון עם כניסה של צעד יחידה.

עבור מערכת מסדר שני, עלינו לשקול את המשוואה הבאה:

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

במשוואה זו, האיבר המעריכי חשוב למציאת ערך זמן ההתיישבות.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

כעת, אנו מתחשבים בשגיאה של 2%. לכן, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

הערך של יחס הדמפינג (ξ) תלוי בסוג המערכת מסדר שני. כאן, אנחנו מתייחסים למערכת מסדר שני תחת דמפינג. והערך של ξ נמצא בין 0 ל-1.

לכן, המכנה של המשוואה 위 הוא כמעט שווה ל-1. ומכדי לבצע חישוב פשוט, ניתן להתעלם ממנו.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

משוואה זו ניתנת לשימוש רק עבור טווח שגיאה של 2% ומערכת מסדר שני תת-מאמצת.

באופן דומה, עבור טווח שגיאה של 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

עבור מערכת מסדר שני, לפני מציאת זמן ההתיישבות, עלינו לחשב את יחס הדימפינג.

זמן התאוששות בדיאגרמת מקומות השורשים

ניתן לחשב את זמן ההתאוששות באמצעות שיטת המיקומי השורשים. זמן ההתאוששות תלוי בתכונות של יחס הדמיעות והתדירות הטבעית.

הגדלים הללו ניתנים להסיקם בעזרת שיטת המקומות של השורשים. ומכאן ניתן למצוא את זמן ההתאוששות.

נבין זאת דרך דוגמה.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

והקפיצה העברית היא 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

מהגרף של מסלול השורשים ניתן למצוא את הקטבים הדומיננטיים;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

כעת יש לנו את ערכי ξ ו-ωn,

$זמן התייצבות t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 שניות$

תמונה מסלול השורש נגזרה מ-MATLAB. לשם כך השתמש ב-"sisotool". כאן, ניתן להוסיף אילוץ למינוס העקיפה יהיה שווה ל-20%. ולקבל את קטבי הדומיננטי בקלות.

התמונה שלהלן מציגה את תרשים מסלול השורש מ-MATLAB.

דוגמה למיקום שורשים

ניתן למצוא את זמן ההתייצבות בעזרת MATLAB. תגובת הצעד של המערכת מוצגת בדיאגרמה להלן.

זמן התייצבות ב-MATLAB

איך להפחית את זמן ההתייצבות

זמן ההתייצבות הוא הזמן הנדרש כדי להשיג את המטרה. לכל מערכת בקרה, זמן ההתייצבות צריך להיות מינימלי.

הפחתת זמן ההתייצבות אינה משימה קלה. עלינו לתכנן בקר כדי להפחית את זמן ההתייצבות.

כפי שאנו יודעים, קיימים שלושה בקרים; פרופורציונלי (P), אינטגרלי (I), דיפרנציאלי (D). באמצעות צירוף של הבקרים הללו, ניתן להשיג את הדרישות שלנו מהמערכת.

הוינס של הבקרים (KP, KI, KD) נבחרים בהתאם לדרישות המערכת.

הגדלת הגain הפרופורציונלי KP, מביאה לשינוי קטן בזמן ההתייצבות. הגדלת הגain האינטגרלי KI, מגבירה את זמן ההתייצבות. והגדלת הגain הדיפרנציאלי KD, מקטינה את זמן ההתייצבות.

לכן, ההרחבת הנגזרת גדלה כדי להפחית את זמן ההצבה. בעת בחירת ערכי ההרחבת של מיקוד ה-PID, זה עשוי להשפיע גם על כמויות אחרות כמו זמן עלייה, עודף וטעות מצב יציב.

איך למצוא זמן הצבה ב-MATLAB

ב-MATLAB, ניתן למצוא את זמן ההצבה באמצעות פונקציית צעד. נבין זאת דוגמה.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ראשית, נחשב את זמן ההצבה באמצעות משוואה. לשם כך, השוו את פונקציית המעבר הזו לפונקציית המעבר הכללית של מערכת מסדר שני.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

לכן,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

ערך זה הוא ערך קרוב, מאחר ונקטנו הנחות במהלך חישוב משוואת זמן ההתיישבות. אך ב-MATLAB מקבלים את הערך המדויק של זמן ההתיישבות. לכן, ערך זה עשוי להיות מעט שונה בשני המקרים.

כדי לחשב את זמן ההתיישבות ב-MATLAB, אנו משתמשים בפונקציית step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

פלט:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

ומקבלים גרף של התגובה כפי שמוצג בתמונה הבאה.

חישוב זמן ההתיישבות ב-MATLAB

ב-MATLAB, ברירת המחדל היא שיעור שגיאה של 2%. ניתן לשנות זאת בגרף עבור שיעורי שגיאה שונים. כדי לעשות זאת, לחצו ימינה על הגרף > תכונות > אפשרויות > "הצג זמן התיישבות בתוך ___ %".

עורך תכונות MATLAB

דרך נוספת למצוא את זמן ההתיישבות באמצעות ריצה של לולאה. כפי שאנו יודעים, עבור טווח השגיאה של 2%, אנו מתחשבים בתגובה בין 0.98 ל-1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

פלט:

settling_time = 1.1886

הצהרה: שמור על המקור, מאמרים טובים שראויים לשתף, אם יש פגיעה אנא צור קשר למחיקה.

תנו טיפ לעודדו את המחבר!

נושאים:

מערכות חשמל

מערכות בקרה

אודות מומחים

Electrical4u

China

מומלץ

עוד

מהן אמצעי הזהירות וההנחיות לשימוש במקורות עומס חילופין?

בנקי מטען חילופיים הם מכשירים חשמליים המשמשים לסימולו של מטענים בעולם האמיתי ונמצאים בשימוש נרחב במערכות חשמל, מערכות תקשורת, מערכות שליטה אוטומטיות ותחומים אחרים. כדי להבטיח את הבטיחות האישית והציוד במהלך השימוש, יש לעקוב אחרי הוראות הבטיחות וההנחיות הבאות:בחירת בנק מטען חילופין מתאים: בחרו בנק מטען חילופין המקיים את הדרישות הממשיות, תוך שמירה על כך שהקיבולת, דרגת המתח ושאר הפרמטרים עונים על הייעוד המתוכנן. בנוסף, בחרו מוצרים בעלי הבטחת איכות ותעודות בטיחות מוכרות, ומנעו שימוש בציוד בלתי תקני.ה

Echo

11/06/2025

מה צריך לשים לב בעת התקנת זוג טמפרטורה מסוג K

התקנות מטפלות עבור תרמוקרופלים מסוג K הן קריטיות להבטיח דיוק מדידה ומديدת חיי הפעולה. להלן מבוא להנחיות התקנה עבור תרמוקרופלים מסוג K, שנוסדו על בסיס מקורות בעלת רמה גבוהה של סמכות:1. בחירה ובדיקה בחר את סוג התרמוקרופל המתאים: בחר את התרמוקרופל הנכון בהתאם לטווח הטמפרטורה, תכונות התווך והדיוק הנדרש לסביבת המדידה. תרמוקרופלים מסוג K מתאימים לטמפרטורות בין -200°C ל-1372°C וניתן להשתמש בהם בסביבות ובתieri שונים. בדוק את המראה החיצוני של התרמוקרופל: לפני ההתקנה, בדוק בזהירות את התרמוקרופל לחיפוש נזק

James

11/06/2025

סיבות ואמצעי מניעה של שריפה והפצה במחסומי שמן

סיבות להצתה והפצצה במתגים ממסיבי שמן כאשר רמת השמן במתג ממסיבי שמן נמוכה מדי, שכבה השמנונית המכסה את המגענים נעשית דקה מדי. תחת השפעת הקשת החשמלית, השמן מתפרק ומחרז גזיםammable. הגזים הללו מצטברים בחלל מתחת למכסה העליון, מעורבבים עם אוויר כדי ליצור עירורית פוצצת, שיכולה להתלקח או להתפוצץ בטמפרטורה גבוהה. אם רמת השמן בתוך הטנק גבוהה מדי, הגזים המשוחררים יש להם מקום מוגבל להתפשט, מה שמוביל לחץ פנימי יתר שיכול לגרום לפיצוץ או התפוצצות של הטנק. כמות עודפת של זיהומים ומים בשמן יכולה לגרום למכת חשמל פ

Felix Spark

11/06/2025

תקנים לשגיאות מדידת THD במערכות חשמל

סובלנות לשגיאות של עיוות הרמוני כולל (THD): ניתוח מקיף על בסיס תרחישים יישומיים, דיוק של ציוד ותקנים תעשייתייםטווח השגיאות המתקבל עבור עיוות הרמוני כולל (THD) חייב להיבדק בהתאם לתרחישים יישומיים ספציפיים, דיוק של הציוד המדיד והתקנים התעשייתיים הנדרשים. להלן ניתוח מפורט של מדדי ביצוע מרכזי במערכות חשמל, ציוד תעשייתי ותהליכי מדידה כלליים.1. תקני שגיאות הרמוניות במערכות חשמל1.1 דרישות תקן לאומי (GB/T 14549-1993) THD של מתח (THDv):בגרפים חשמליים ציבוריים, העיוות ההרמוני הכולל של המתח (THDv) המותר הו

Edwiin

11/03/2025

מערכת מסדר שני	יחס הדעיכה (ξ)	זמן הצבה (TS)
מֻדעך פחות	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
ללא דעיכה	ξ = 0	$T_S = \infty$
dapuc משווה דעיכה קריטית	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
dapuc מֻדעך יתר	ξ > 1	תלוי בקוטב המוביל