זמן התייצבות: מה זה? (נוסחה ואיך למצוא אותו ב-MATLAB)

שדה: אלקטרוניקה בסיסית

China

מהו זמן התייצבות?

זמן ההתייצבות של מערכת דינמית מוגדר כזמן הנדרש לפלט להגיע ולהתייצב בתוך תחום סובלנות נתון. הוא מסומן כ-Ts. זמן ההתייצבות כולל את עיכוב ההעברה והזמן הנדרש כדי להגיע לאזור הערך הסופי שלו. הוא כולל את הזמן להתאושש מהמצב של עומס יתר המלווה בתנאי זרימה ויציבות קרובים לתחום הסובלנות.

תחום הסובלנות הוא טווח מקסימלי שמאפשר לפלט להתייצב בו. בדרך כלל, תחומי הסובלנות הם 2% או 5%.

זמן ההתייצבות בתגובה של צעד של מערכת מסדר שני מוצג בציור שלהלן.

זמן התייצבות

נוסחת זמן התייצבות

זמן ההתייצבות תלוי בתדירות הטבעית ובתגובה של המערכת. המשוואה הכללית של זמן ההתייצבות היא;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

התגובה של צעד יחידה למערכת מסדר שני מתבטאת כך;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

המשוואה מתחלקת לשני חלקים;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

כדי לחשב את זמן ההתיישבות, יש צורך רק ברכיב האקספוננציאלי מכיוון שהוא מבטל את החלק התנודתי של רכיב הסינוסואידלי. והאשכול סובלנות שווה לרכיב האקספוננציאלי.

$שבר סובלנות = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$שבר סובלנות \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( שבר סובלנות \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

איך לחשב זמן התייצבות

כדי לחשב את זמן ההתייצבות, אנו מתחשבים במערכת מסדר ראשון עם תגובה של צעד יחידה.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

לתגובה של צעד יחידה,

$R(s) = \frac{1}{s}$

לכן,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

כעת, חשב את הערך של A1 ו-A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

נניח ש-s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

נניח ש-s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

עבור שגיאה של 2%, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

משוואה זו מציגה את זמן ההתיישבות עבור מערכת מסדר ראשון עם כניסה של צעד יחידה.

עבור מערכת מסדר שני, עלינו לשקול את המשוואה הבאה:

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

במשוואה זו, האיבר המעריכי חשוב למציאת ערך זמן ההתיישבות.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

כעת, אנו מתחשבים בשגיאה של 2%. לכן, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

הערך של יחס הדמפינג (ξ) תלוי בסוג המערכת מסדר שני. כאן, אנחנו מתייחסים למערכת מסדר שני תחת דמפינג. והערך של ξ נמצא בין 0 ל-1.

לכן, המכנה של המשוואה 위 הוא כמעט שווה ל-1. ומכדי לבצע חישוב פשוט, ניתן להתעלם ממנו.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

משוואה זו ניתנת לשימוש רק עבור טווח שגיאה של 2% ומערכת מסדר שני תת-מאמצת.

באופן דומה, עבור טווח שגיאה של 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

עבור מערכת מסדר שני, לפני מציאת זמן ההתיישבות, עלינו לחשב את יחס הדימפינג.

זמן התאוששות בדיאגרמת מקומות השורשים

ניתן לחשב את זמן ההתאוששות באמצעות שיטת המיקומי השורשים. זמן ההתאוששות תלוי בתכונות של יחס הדמיעות והתדירות הטבעית.

הגדלים הללו ניתנים להסיקם בעזרת שיטת המקומות של השורשים. ומכאן ניתן למצוא את זמן ההתאוששות.

נבין זאת דרך דוגמה.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

והקפיצה העברית היא 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

מהגרף של מסלול השורשים ניתן למצוא את הקטבים הדומיננטיים;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

כעת יש לנו את ערכי ξ ו-ωn,

$זמן התייצבות t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 שניות$

תמונה מסלול השורש נגזרה מ-MATLAB. לשם כך השתמש ב-"sisotool". כאן, ניתן להוסיף אילוץ למינוס העקיפה יהיה שווה ל-20%. ולקבל את קטבי הדומיננטי בקלות.

התמונה שלהלן מציגה את תרשים מסלול השורש מ-MATLAB.

דוגמה למיקום שורשים

ניתן למצוא את זמן ההתייצבות בעזרת MATLAB. תגובת הצעד של המערכת מוצגת בדיאגרמה להלן.

זמן התייצבות ב-MATLAB

איך להפחית את זמן ההתייצבות

זמן ההתייצבות הוא הזמן הנדרש כדי להשיג את המטרה. לכל מערכת בקרה, זמן ההתייצבות צריך להיות מינימלי.

הפחתת זמן ההתייצבות אינה משימה קלה. עלינו לתכנן בקר כדי להפחית את זמן ההתייצבות.

כפי שאנו יודעים, קיימים שלושה בקרים; פרופורציונלי (P), אינטגרלי (I), דיפרנציאלי (D). באמצעות צירוף של הבקרים הללו, ניתן להשיג את הדרישות שלנו מהמערכת.

הוינס של הבקרים (KP, KI, KD) נבחרים בהתאם לדרישות המערכת.

הגדלת הגain הפרופורציונלי KP, מביאה לשינוי קטן בזמן ההתייצבות. הגדלת הגain האינטגרלי KI, מגבירה את זמן ההתייצבות. והגדלת הגain הדיפרנציאלי KD, מקטינה את זמן ההתייצבות.

לכן, ההרחבת הנגזרת גדלה כדי להפחית את זמן ההצבה. בעת בחירת ערכי ההרחבת של מיקוד ה-PID, זה עשוי להשפיע גם על כמויות אחרות כמו זמן עלייה, עודף וטעות מצב יציב.

איך למצוא זמן הצבה ב-MATLAB

ב-MATLAB, ניתן למצוא את זמן ההצבה באמצעות פונקציית צעד. נבין זאת דוגמה.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ראשית, נחשב את זמן ההצבה באמצעות משוואה. לשם כך, השוו את פונקציית המעבר הזו לפונקציית המעבר הכללית של מערכת מסדר שני.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

לכן,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

ערך זה הוא ערך קרוב, מאחר ונקטנו הנחות במהלך חישוב משוואת זמן ההתיישבות. אך ב-MATLAB מקבלים את הערך המדויק של זמן ההתיישבות. לכן, ערך זה עשוי להיות מעט שונה בשני המקרים.

כדי לחשב את זמן ההתיישבות ב-MATLAB, אנו משתמשים בפונקציית step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

פלט:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

ומקבלים גרף של התגובה כפי שמוצג בתמונה הבאה.

חישוב זמן ההתיישבות ב-MATLAB

ב-MATLAB, ברירת המחדל היא שיעור שגיאה של 2%. ניתן לשנות זאת בגרף עבור שיעורי שגיאה שונים. כדי לעשות זאת, לחצו ימינה על הגרף > תכונות > אפשרויות > "הצג זמן התיישבות בתוך ___ %".

עורך תכונות MATLAB

דרך נוספת למצוא את זמן ההתיישבות באמצעות ריצה של לולאה. כפי שאנו יודעים, עבור טווח השגיאה של 2%, אנו מתחשבים בתגובה בין 0.98 ל-1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

פלט:

settling_time = 1.1886

הצהרה: שמור על המקור, מאמרים טובים שראויים לשתף, אם יש פגיעה אנא צור קשר למחיקה.

תנו טיפ לעודדו את המחבר!

נושאים:

מערכות חשמל

מערכות בקרה

אודות מומחים

Electrical4u

China

מומלץ

עוד

תקלות וטיפול בהם של כבישת חד-פאס בקווים של חלוקה ב-10kV

מאפיינים ומכשירי זיהוי של תקלה באדמה של פאזה אחת1. מאפייני תקלה באדמה של פאזה אחתאותות התראה מרכזיים:פעמון ההתראה מצלצל, ולוחית המנורה המתייחסת ל״תקלה באדמה בקטע אוטו-דינמי [X] קילו-וולט מספר [Y]״ מתבהקת. במערכות שבהן נקודת האפס מחוברת לאדמה דרך סליל פטרסן (סליל דיכוי קשת), גם המנורה המציינת את ״הפעלת סליל פטרסן״ מתבהקת.הוראות מדידת עמידות הבודדים:מתח הפאזה הפגועה יורד (במקרה של חיבור לא מלא לאדמה) או יורד לאפס (במקרה של חיבור מלא לאדמה).מתח שתי הפאזות האחרות עולה — מעל מתח הפאזה הנורמלי במקרה ש

Rockwill

01/30/2026

הפעלה של מודל חיבור נקודה ניטרלית עבור טרנספורמציות רשת חשמל 110kV～220kV

הסדר של אופני התחברות נקודה נייטרלית ל Boden בטרנספורמטורי רשת חשמל ב-110kV～220kV צריך לעמוד בדרישות הסיבולת החשמלית של נקודות הנייטרליות של הטרנספורמרים, וצריך גם להחזיק את המבנה של השדה האפסי של תחנות התאורה בערך קבוע, תוך שמירה על כך שהשדה האפסי המשולב בכל נקודת קצר Retorna לא יעלה על פי שלושה מהשדה החיובי המשולב.עבור טרנספורמנים ב-220kV וב-110kV בפרויקטים חדשים ושיפוצים טכנולוגיים, אופני ההתחברות שלהם של נקודות הנייטרליות צריכים לענות באופן מדויק על הדרישות הבאות:1. טרנספורמנים אוטומטייםנקוד

Vziman

01/29/2026

למה תחנות מתח משתמשות באבנים, גרגרי חול, פצליים וסלע מרוסק?

למה תחנות מתח משתמשות באבני חצץ, גבישים וסיליקא? בתחנות מתח, ציוד כגון טרנספורמנים להספק ופיזור, קווי העברה, טרנספורמנים מתח, טרנספורמנים זרם ומשתני פסק כולם דורשים עיגול. מעבר לעיגול, נחקור כעת לעומק מדוע אבני חצץ וסיליקא בשימוש נפוץ בתחנות מתח. למרות שהם נראים רגילים, האבנים הללו משחקות תפקיד בטיחותי ופונקציונלי קריטי. בתכנון עיגול בתחנות מתח—ובמיוחד כאשר מיושמים מספר שיטות עיגול—נפרשות סיליקא או אבני חצץ על פני השטח מסיבות מפתחיות רבות. המטרה העיקרית של פרישה של אבני חצץ בחצר תחנת מתח היא להפ

Echo

01/29/2026

HECI GCB עבור גנרטורים – מפסק מהיר של SF₆

1. הגדרה ופונקציה1.1 תפקיד המפסק המעגל של המולטןהמשבץ המעגל של המולטן (GCB) הוא נקודת ניתוק משליטה הממוקמת בין המולטן למממר העלאה, והוא משמש כממשק בין המולטן לרשת החשמל. הפונקציות העיקריות שלו כוללות הפרדת תקלות בצד המולטן והאפשרות לשליטה מבצעית במהלך הסנכרון של המולטן והחיבור לרשת. עקרון הפעולה של GCB אינו שונה באופן משמעותי מאלה של משבץ מעגל סטנדרטי, אך בשל רכיב הנעילה הישר הגבוה שקיים בזרמי התקלה של המולטן, נדרש GCB לפעול במהירות רבה כדי להפריד במהירות את התקלות.1.2 השוואה בין מערכות עם ומבלי

Garca

01/06/2026

מערכת מסדר שני	יחס הדעיכה (ξ)	זמן הצבה (TS)
מֻדעך פחות	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
ללא דעיכה	ξ = 0	$T_S = \infty$
dapuc משווה דעיכה קריטית	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
dapuc מֻדעך יתר	ξ > 1	תלוי בקוטב המוביל