زمان پایداری: چیست؟ (فرمول و نحوه یافتن آن در MATLAB)

Electrical4u

ميدان: Electrical Basics

China

زمان استقرار چیست؟

زمان استقرار سیستم دینامیکی به عنوان زمان لازم برای رسیدن خروجی به محدوده‌ای ثابت و درون یک پهنای تolerans مشخص شده تعریف می‌شود. این زمان با T_s نشان داده می‌شود. زمان استقرار شامل تأخیر انتشار و زمان لازم برای رسیدن به منطقه‌ای نزدیک به مقدار نهایی است. این زمان شامل زمان بازگشت از وضعیت بارگذاری و رسیدن به حالت پایدار در نزدیکی پهنای tolerans می‌باشد.

پهنای tolerans، محدوده‌ای است که خروجی می‌تواند در آن استقرار یابد. معمولاً، پهنای tolerans ۲٪ یا ۵٪ است.

زمان استقرار در پاسخ پله یک سیستم مرتبه دوم در شکل زیر نشان داده شده است.

زمان استقرار

فرمول زمان استقرار

زمان استقرار به فرکانس طبیعی و پاسخ سیستم بستگی دارد. معادله عمومی زمان استقرار به صورت زیر است؛

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

پاسخ پله سیستم مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود؛

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

این معادله به دو بخش تقسیم می‌شود؛

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

برای محاسبه زمان پایداری، فقط نیاز به مؤلفه نمایی داریم که بخش نوسانی مؤلفه سینوسی را حذف می‌کند. و کسر تحمل برابر با مؤلفه نمایی است.

$کسر تحمل = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$کسر تحمل \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( کسر تحمل \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

چگونه زمان استقرار را محاسبه کنیم

برای محاسبه زمان استقرار، ما یک سیستم اولیه با پاسخ پله واحد در نظر می‌گیریم.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

برای پاسخ پله واحد،

$R(s) = \frac{1}{s}$

بنابراین،

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

اکنون، مقدار A₁ و A₂ را محاسبه کنید.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

فرض کنید s = ۰؛

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

فرض کنید s = -۱/T؛

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

برای خطای ۲٪، ۱-C(t) = ۰.۰۲؛

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

این معادله زمان پایداری سیستم اولین مرتبه با ورودی پله واحد را می‌دهد.

برای سیستم دومین مرتبه، باید معادله زیر را در نظر بگیریم؛

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

در این معادله، جمله نمایی برای یافتن مقدار زمان پایداری مهم است.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

اکنون، ما خطای ۲٪ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، ۱ – C(t) = ۰.۰۲؛

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

مقدار نسبت دمپینگ (ξ) به نوع سیستم مرتبه دوم بستگی دارد. اینجا، ما یک سیستم مرتبه دوم کم‌دمپ شده را در نظر می‌گیریم. و مقدار ξ بین ۰ و ۱ قرار دارد.

بنابراین، مخرج معادله فوق تقریباً برابر با ۱ است. و برای محاسبه آسان‌تر، می‌توانیم آن را نادیده بگیریم.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

این معادله فقط برای باند خطای ۲ درصد و سیستم مرتبه دوم کم‌دمپ شده قابل استفاده است.

به طور مشابه، برای باند خطای ۵ درصد؛ ۱ – C(t) = ۰.۰۵؛

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

برای سیستم مرتبه دوم، قبل از یافتن زمان استقرار، باید نسبت میرایی را محاسبه کنیم.

زمان تسویه در مکان هندسی ریشه‌ها

زمان تسویه می‌تواند با استفاده از روش مکان هندسی ریشه‌ها محاسبه شود. زمان تسویه به نسبت دمپینگ و فرکانس طبیعی بستگی دارد.

این مقادیر می‌توانند با کمک روش مکان هندسی ریشه‌ها به دست آید. و می‌توانیم زمان تسویه را پیدا کنیم.

با یک مثال فهمیده‌تر شود.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

و سربالایی = ۲۰٪

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

از نمودار مکان هندسی ریشه‌ها؛ می‌توانید قطب‌های غالب را پیدا کنید؛

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

حالا مقدار ξ و ωn را داریم،

$زمان استقرار t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = ۴٫۶۲ ثانیه$

نمودار مکان هندسی ریشه‌ها از MATLAB به دست آمده است. برای این کار از "sisotool" استفاده کنید. در اینجا می‌توانید محدودیتی برای درصد سوئینگ برابر با ۲۰٪ اضافه کنید و قطب‌های غالب را به راحتی بدست آورید.

شکل زیر نمودار مکان هندسی ریشه‌ها از MATLAB را نشان می‌دهد.

مثال نمودار مکان ریشه‌ها

می‌توانیم زمان پایدارسازی را با کمک MATLAB پیدا کنیم. پاسخ گام واحد این سیستم به شکل زیر نشان داده شده است.

زمان پایدارسازی در MATLAB

چگونه زمان پایدارسازی را کاهش دهیم

زمان پایدارسازی، زمان مورد نیاز برای رسیدن به هدف است. و برای هر سیستم کنترل، باید زمان پایدارسازی حداقل باشد.

کاهش زمان پایدارسازی کار آسانی نیست. باید یک کنترل‌کننده طراحی کنیم تا زمان پایدارسازی کاهش یابد.

همانطور که می‌دانیم، سه نوع کنترل‌کننده وجود دارد؛ تناسبی (P)، انتگرال (I)، مشتق (D). با ترکیب این کنترل‌کننده‌ها، می‌توانیم نیازهای سیستم خود را برآورده کنیم.

گین کنترل‌کننده‌ها (KP, KI, KD) بر اساس نیازهای سیستم انتخاب می‌شود.

افزایش گین تناسبی KP، تغییر کوچکی در زمان پایدارسازی ایجاد می‌کند. افزایش گین انتگرال KI، زمان پایدارسازی افزایش می‌یابد. و افزایش گین مشتق KD، زمان پایدارسازی کاهش می‌یابد.

بنابراین، کسب ورودی مشتق افزایش می‌یابد تا زمان تنظیم را کاهش دهد. هنگام انتخاب مقادیر کسب ورودی کنترل‌کننده PID، ممکن است بر سایر مقادیر نیز تأثیر بگذارد مانند زمان بالارفتن، فراتر رفتن و خطای حالت پایدار.

چگونه می‌توان زمان تنظیم را در MATLAB پیدا کرد

در MATLAB، زمان تنظیم می‌تواند با استفاده از تابع پله پیدا شود. بیایید با یک مثال آن را درک کنیم.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ابتدا، ما زمان تنظیم را با استفاده از معادله محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، این تابع انتقالی را با تابع انتقالی عمومی سیستم مرتبه دوم مقایسه می‌کنیم.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

بنابراین،

$۲ \zeta \omega_n = ۶$

$\zeta \omega_n = ۳$

$زمان پایدارسازی (t_s) = \frac{۴}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{۴}{۳}$

$t_s = 1.33 sec$

این مقدار یک مقدار تقریبی است زیرا در محاسبه معادله زمان رسیدگی به حالت پایدار، فرضیاتی را در نظر گرفته‌ایم. اما در MATLAB، مقدار دقیق زمان رسیدگی به حالت پایدار را می‌توانیم بدست آوریم. بنابراین، این مقدار در هر دو حالت ممکن است کمی متفاوت باشد.

حالا برای محاسبه زمان رسیدگی به حالت پایدار در MATLAB، از تابع step استفاده می‌کنیم.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

و شما یک نمودار پاسخ مانند شکل زیر خواهید داشت.

محاسبه زمان رسیدگی به حالت پایدار در MATLAB

در MATLAB، به طور پیش‌فرض، درصد باند خطای ۲٪ است. شما می‌توانید این مقدار را در نمودار برای باندهای خطا مختلف تغییر دهید. برای این منظور، روی نمودار کلیک راست کنید > ویژگی‌ها > گزینه‌ها > "نمایش زمان رسیدگی به حالت پایدار در ___ %".

ویرایشگر ویژگی MATLAB

راه دیگری برای یافتن زمان تسویه با اجرای حلقه. همانطور که می‌دانیم، برای پهنای باند خطای ۲٪، پاسخ بین ۰.۹۸ تا ۱.۰۲ را در نظر می‌گیریم.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

خروجی:

زمان_تسویه = 1.1886

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که شایسته به اشتراک گذاشته شدن هستند، اگر نقض حق نشر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

نوروغ و مصنف ته هڅودئ!

موضوعات:

سیستم‌های برق

دستگاه‌های کنترل

دربارې متخصصان

Electrical4u

China

پیشنهاد شده

بیشتر

چه تدابیر و دستورالعمل‌های ایمنی برای استفاده از بانک‌های بار متناوب وجود دارد

برانک‌های باری AC دستگاه‌های الکتریکی هستند که برای شبیه‌سازی بارهای واقعی استفاده می‌شوند و در سیستم‌های توان، سیستم‌های ارتباطی، سیستم‌های کنترل خودکار و زمینه‌های دیگر به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای اطمینان از ایمنی فردی و تجهیزات در حین استفاده، باید از احتیاط‌ها و دستورالعمل‌های ایمنی زیر پیروی شود:انتخاب برانک باری AC مناسب: برانک باری AC را انتخاب کنید که نیازهای واقعی را برآورده کند و مطمئن شوید ظرفیت، نرخ ولتاژ و پارامترهای دیگر آن برای کاربرد مورد نظر مناسب است. علاوه ب

Echo

11/06/2025

چه چیزهایی باید در نصب جفت حرارتی نوع K مورد توجه قرار گیرد؟

د تایپ کی ترموکوپلز د نصب لپاره پرېښودونکي وړاندې د اندازه ګیري د خوراکواليتوبو او عمر افزایش لپاره ضروري دي. زه د تایپ کی ترموکوپلز د نصب مبادئ چې د لوی استازیتونو څخه جوړ شوي دي په ګڼه ورکول کوم:۱. انتخاب او بررسی د مناسب ترموکوپل نوع انتخاب کړئ: د درجه حرارت د محدوده، محیط خصوصيات او پرېښودونکي د اندازه ګیري لپاره د مناسب ترموکوپل راوباسئ. د تایپ کی ترموکوپلز د -۲۰۰°C تر ۱۳۷۲°C پورې د درجه حرارت محدوده برازنګ دي او د مختلف محیطونو او محیطونو کې کارول کیدی شي. د ترموکوپل ظاهر بررسی کړئ: په نصب

James

11/06/2025

علل و اقدامات پیشگیرانه برای آتش سوزی و انفجار در برشکن های روغنی

دلایل آتش‌سوزی و انفجار در برشکن‌های روغنی وقتی سطح روغن در برشکن روغنی خیلی پایین است، لایه روغنی که روی تماس‌ها قرار دارد خیلی نازک می‌شود. تحت تأثیر قوس الکتریکی، روغن تجزیه شده و گازهای قابل اشتعال را آزاد می‌کند. این گازها در فضای زیر پوشش بالایی جمع می‌شوند، با هوا مخلوط شده و مخلوط منفجره‌ای را تشکیل می‌دهند که می‌تواند در دمای بالا به آتش کشیده یا منفجر شود. اگر سطح روغن در داخل مخزن خیلی بالا باشد، فضا برای گسترش گازهای آزاد شده محدود می‌شود، که می‌تواند منجر به فشار داخلی بیش از حد شود

Felix Spark

11/06/2025

خطاي اندازه‌گيري THD استاندارد براي سيستم‌هاي برق

کلیه خطای تحریف هارمونیک کل (THD): تحلیل جامع بر اساس سناریوهای کاربردی، دقت تجهیزات و استانداردهای صنعتیمحدوده قابل قبول خطا برای تحریف هارمونیک کل (THD) باید بر اساس زمینه‌های کاربردی خاص، دقت تجهیزات اندازه‌گیری و استانداردهای صنعتی مربوطه ارزیابی شود. در ادامه تجزیه و تحلیل دقیق نشانگرهای عملکرد کلیدی در سیستم‌های برق، تجهیزات صنعتی و کاربردهای اندازه‌گیری عمومی آورده شده است.1. استانداردهای خطای هارمونیک در سیستم‌های برق1.1 الزامات استاندارد ملی (GB/T 14549-1993) THD ولتاژ (THDv):برای شبکه‌

Edwiin

11/03/2025

دستگاه مرتبه دوم	نسبت میرایی (ξ)	زمان تنظیم (TS)
میرا شده کمتر از حد	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
بدون میرایی	ξ = 0	$T_S = \infty$
میرا شده بحرانی	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
میرا شده بیش از حد	ξ > 1	بستگی به قطب غالب دارد