Tempo de Acomodação: O que é? (Fórmula e Como Encontrá-lo no MATLAB)

Electrical4u

Campo: Eletricidade Básica

China

O que é Tempo de Acomodação?

O tempo de acomodação de um sistema dinâmico é definido como o tempo necessário para que a saída atinja e se estabilize dentro de uma faixa de tolerância dada. É denotado como Ts. O tempo de acomodação compreende o atraso de propagação e o tempo necessário para atingir a região do seu valor final. Inclui o tempo para recuperar a condição de sobrecarga incorporada com slew e estabilidade próxima à faixa de tolerância.

A faixa de tolerância é um intervalo máximo permitido no qual a saída pode se estabilizar. Geralmente, as faixas de tolerância são de 2% ou 5%.

O tempo de acomodação na resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem é mostrado na figura abaixo.

Tempo de Acomodação

Fórmula do Tempo de Acomodação

O tempo de acomodação depende da frequência natural e da resposta do sistema. A equação geral do tempo de acomodação é;

$T_S = \frac{ln(fração \, de \, tolerância)}{razão \, de \, amortecimento \times Frequência \, natural}$

A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem é expressa como;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Esta equação divide-se em duas partes;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para calcular o tempo de estabilização, precisamos apenas do componente exponencial, pois ele cancela a parte oscilatória do componente senoidal. E a fração de tolerância é igual ao componente exponencial.

$Fração \, de \, tolerância = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fração \, de \, tolerância \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fração \, de \, tolerância \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Como Calcular o Tempo de Acomodação

Para calcular o tempo de acomodação, consideramos um sistema de primeira ordem com resposta ao degrau unitário.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para a resposta ao degrau unitário,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Portanto,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Agora, calcule o valor para A1 e A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Suponha s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Suponha s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para um erro de 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Esta equação fornece o tempo de estabilização para um sistema de primeira ordem com entrada degrau unitário.

Para sistemas de segunda ordem, precisamos considerar a equação abaixo;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Nesta equação, o termo exponencial é importante para encontrar o valor do tempo de estabilização.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Agora, consideramos um erro de 2%. Portanto, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

O valor da razão de amortecimento (ξ) depende do tipo de sistema de segunda ordem. Aqui, consideramos um sistema de segunda ordem subamortecido. E o valor de ξ está entre 0 e 1.

Portanto, o denominador da equação acima é quase igual a 1. E para facilitar o cálculo, podemos desprezá-lo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Esta equação pode ser usada apenas para uma faixa de erro de 2% e sistema de segunda ordem subamortecido.

Da mesma forma, para uma faixa de erro de 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para um sistema de segunda ordem, antes de encontrar o tempo de estabilização, precisamos calcular a razão de amortecimento.

Tempo de Acomodação do Lugar das Raízes

O tempo de acomodação pode ser calculado pelo método do lugar das raízes. O tempo de acomodação depende da razão de amortecimento e da frequência natural.

Essas quantidades podem ser derivadas com a ajuda do método do lugar das raízes. E podemos encontrar o tempo de acomodação.

Vamos entender com um exemplo.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

E Sobreposição = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A partir do diagrama de locos de raízes, você pode encontrar os polos dominantes;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Agora, temos o valor de ξ e ωn,

$tempo \, de \, estabilização \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 seg$

O gráfico do lugar das raízes é derivado do MATLAB. Para isso, use “sisotool”. Aqui, você pode adicionar uma restrição para o percentual de sobreposição ser igual a 20%. E obter polos dominantes facilmente.

A figura abaixo mostra o gráfico do lugar das raízes do MATLAB.

Exemplo de Locus de Raízes

Podemos encontrar o tempo de assentamento com a ajuda do MATLAB. A resposta ao degrau unitário deste sistema é mostrada na figura abaixo.

Tempo de Assentamento no MATLAB

Como Reduzir o Tempo de Assentamento

O tempo de assentamento é o tempo necessário para atingir o alvo. E, para qualquer sistema de controle, o tempo de assentamento deve ser mantido mínimo.

Reduzir o tempo de assentamento não é uma tarefa fácil. Precisamos projetar um controlador para reduzir o tempo de assentamento.

Como sabemos, existem três controladores; proporcional (P), integral (I), derivativo (D). Com uma combinação desses controladores, podemos atender aos requisitos do sistema.

O ganho dos controladores (KP, KI, KD) é escolhido de acordo com o requisito do sistema.

Aumentar o ganho proporcional KP, resulta em uma pequena mudança no tempo de assentamento. Aumentar o ganho integral KI, o tempo de assentamento aumenta. E aumentar o ganho derivativo KD, o tempo de assentamento diminui.

Portanto, o ganho derivativo aumenta para diminuir o tempo de ajuste. Ao selecionar os valores de ganho do controlador PID, isso pode afetar também outras quantidades, como o tempo de subida, o sobressinal e o erro em estado estacionário.

Como Encontrar o Tempo de Acomodação no MATLAB

No MATLAB, o tempo de acomodação pode ser encontrado usando uma função degrau. Vamos entender com um exemplo.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Primeiro, calculamos o tempo de acomodação pela equação. Para isso, comparamos esta função de transferência com a função de transferência geral de um sistema de segunda ordem.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Portanto,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$tempo de estabilização \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Este valor é um valor aproximado, pois fizemos suposições ao calcular a equação do tempo de assentamento. No entanto, no MATLAB, obtemos o valor exato do tempo de assentamento. Portanto, este valor pode ser ligeiramente diferente em ambos os casos.

Agora, para calcular o tempo de assentamento no MATLAB, usamos a função step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Saída: H = RiseTime: 0.3708 SettlingTime: 1.1886 SettlingMin: 0.9071 SettlingMax: 1.0948 Overshoot: 9.4780 Undershoot: 0 Peak: 1.0948 PeakTime: 0.7850

E você obtém um gráfico da resposta como mostrado na figura abaixo.

Cálculo do tempo de assentamento no MATLAB

No MATLAB, por padrão, a faixa percentual de erro é de 2%. Você pode alterar isso no gráfico para uma faixa de erro diferente. Para isso, clique com o botão direito no gráfico > propriedades > opções > "mostrar tempo de assentamento dentro de ___ %".

Editor de Propriedades MATLAB

Outra maneira de encontrar o tempo de estabilização é executando um loop. Como sabemos, para a faixa de erro de 2%, consideramos a resposta entre 0,98 e 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Saída:

settling_time = 1.1886

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Sistema de Segunda Ordem	Razão de Amortecimento (ξ)	Tempo de Acomodação (TS)
Subamortecido	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Não amortecido	ξ = 0	$T_S = \infty$
Amortecimento crítico	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Superamortecido	ξ > 1	Depende do polo dominante