Einstellzeit: Was ist das? (Formel und wie man sie in MATLAB findet)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist Settling Time?

Die Settling Time eines dynamischen Systems wird definiert als die Zeit, die benötigt wird, um das Ausgangssignal innerhalb eines bestimmten Toleranzbands zu erreichen und zu stabilisieren. Sie wird mit Ts bezeichnet. Die Settling Time umfasst die Verzögerungszeit und die Zeit, die benötigt wird, um den Bereich des Endwerts zu erreichen. Dazu gehört auch die Zeit, um von einer Überlastbedingung wieder in den Bereich der Toleranzbandbreite zurückzukehren.

Das Toleranzband ist der maximal zulässige Bereich, in dem sich das Ausgangssignal stabilisieren kann. In der Regel beträgt die Toleranzbandbreite 2% oder 5%.

Die Settling Time in der Sprungantwort eines System zweiter Ordnung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Settling Time

Formel für Settling Time

Die Settling Time hängt von der natürlichen Frequenz und der Reaktion des Systems ab. Die allgemeine Gleichung für die Settling Time lautet:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Die Sprungantwort eines Systems zweiter Ordnung wird ausgedrückt durch:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Diese Gleichung teilt sich in zwei Teile auf;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Um die Einstellzeit zu berechnen, benötigen wir nur den exponentiellen Teil, da dieser den oszillatorischen Teil des sinusförmigen Teils aufhebt. Der Toleranzwert entspricht dem exponentiellen Teil.

$Toleranz \, fraktion = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleranz \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleranz \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Wie man die Einstellzeit berechnet

Um die Einstellzeit zu berechnen, betrachten wir ein System erster Ordnung mit einer Sprungantwort.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Für die Sprungantwort,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Daher,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Berechnen Sie nun den Wert für A1 und A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Nehmen Sie an, s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Nehmen Sie an, s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Für einen Fehler von 2 %, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Diese Gleichung gibt die Einstellzeit für ein System erster Ordnung mit einer Einheitssprungfunktion an.

Für ein System zweiter Ordnung müssen wir die folgende Gleichung berücksichtigen;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In dieser Gleichung ist der exponentielle Term wichtig, um den Wert der Einstellzeit zu finden.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nun betrachten wir einen Fehler von 2 %. Daher ist 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Der Wert des Dämpfungsfaktors (ξ) hängt vom Typ des Systems zweiter Ordnung ab. Hier betrachten wir ein unterdämpftes System zweiter Ordnung. Der Wert von ξ liegt zwischen 0 und 1.

Daher ist der Nenner der obigen Gleichung nahezu gleich 1. Um die Berechnung zu vereinfachen, können wir ihn vernachlässigen.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Diese Gleichung kann nur für einen 2%-Fehlerbereich und ein unterkritisches System zweiter Ordnung verwendet werden.

Ähnlich für einen 5%-Fehlerbereich; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Für ein System zweiter Ordnung müssen wir, bevor wir die Einstellzeit bestimmen, den Dämpfungsfaktor berechnen.

Einregelzeit der Wurzelortskurve

Die Einregelzeit kann mit Hilfe der Wurzelortsmethode berechnet werden. Die Einregelzeit hängt vom Dämpfungsgrad und der Eigenfrequenz ab.

Diese Größen können mithilfe der Wurzelortsmethode hergeleitet werden. Und wir können die Einregelzeit finden.

Lassen Sie uns dies an einem Beispiel verstehen.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Und Überschwingen = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Aus dem Wurzelortskizzenplot können Sie die dominierenden Pole finden;

$P = -0,866 \pm j 1,691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1,691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1,691 = \omega_n \sqrt{1-0,207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nun haben wir den Wert von ξ und ωn,

$Einstellzeit t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0,455 \times 1,9}$

$t_s = 4,62 Sekunden$

Die Wurzelortskurve wurde mit MATLAB erstellt. Dazu wird „sisotool“ verwendet. Hier können Sie eine Einschränkung für die Prozentsatzüberschreitung von 20 % hinzufügen und die dominierenden Pole leicht ermitteln.

Die folgende Abbildung zeigt die Wurzelortskurve aus MATLAB.

Beispiel für Ortskurve

Wir können die Einstellzeit mit Hilfe von MATLAB ermitteln. Die Sprungantwort dieses Systems ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Einstellzeit in MATLAB

Wie man die Einstellzeit reduziert

Die Einstellzeit ist die Zeit, die benötigt wird, um das Ziel zu erreichen. Für jedes Regelungssystem muss die Einstellzeit so gering wie möglich gehalten werden.

Die Reduzierung der Einstellzeit ist keine einfache Aufgabe. Wir müssen einen Regler entwerfen, um die Einstellzeit zu reduzieren.

Wie wir wissen, gibt es drei Regler: Proportional (P), Integral (I) und Differenzial (D). Mit einer Kombination dieser Regler können wir die Anforderungen an das System erfüllen.

Die Verstärkung der Regler (KP, KI, KD) wird nach den Anforderungen des Systems gewählt.

Eine Erhöhung der proportionalen Verstärkung KP führt zu einer kleinen Änderung der Einstellzeit. Eine Erhöhung der integralen Verstärkung KI führt zu einer Erhöhung der Einstellzeit. Und eine Erhöhung der differenzialen Verstärkung KD führt zu einer Verringerung der Einstellzeit.

Daher erhöht sich der Ableitungsverstärkung, um die Einstellzeit zu verringern. Beim Auswählen der Verstärkungswerte des PID-Reglers kann dies auch andere Größen wie Anstiegszeit, Überschwingen und stationärer Fehler beeinflussen.

Wie man die Einstellzeit in MATLAB findet

In MATLAB kann die Einstellzeit mithilfe einer Sprungfunktion ermittelt werden. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel verstehen.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Zuerst berechnen wir die Einstellzeit mit der Gleichung. Dafür vergleichen wir diese Übertragungsfunktion mit der allgemeinen Übertragungsfunktion eines Systems zweiter Ordnung.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Daher,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$Einstellzeit (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Dieser Wert ist ein Näherungswert, da wir Annahmen getroffen haben, um die Gleichung der Einstellzeit zu berechnen. In MATLAB erhalten wir jedoch den genauen Wert der Einstellzeit. Daher kann dieser Wert in beiden Fällen leicht abweichen.

Um nun die Einstellzeit in MATLAB zu berechnen, verwenden wir die Schrittantwortfunktion.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Ausgabe:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Sie erhalten dann eine Grafik der Antwort, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Berechnung der Einstellzeit in MATLAB

In MATLAB beträgt der Standardfehlerbandwert 2 %. Sie können diesen in der Grafik für verschiedene Fehlerbänder ändern. Dazu klicken Sie mit der rechten Maustaste auf die Grafik > Eigenschaften > Optionen > „Einstellzeit innerhalb von ___ % anzeigen“.

Eigenschafts-Editor MATLAB

Eine weitere Möglichkeit, die Einstellzeit durch Ausführen einer Schleife zu ermitteln. Wie wir wissen, betrachten wir für den 2%-Fehlerbereich die Antwort zwischen 0,98 und 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
einstellzeit = (S-1)*0.005

Ausgabe:

einstellzeit = 1.1886

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Unterdämpft	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Un gedämpft	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritisch gedämpft	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Überdämpft	ξ > 1	Hängt vom dominierenden Pol ab