Vremenski interval stabilizacije: Šta je to? (Formula i kako ga pronaći u MATLAB-u)

Polje: Osnovna elektronika

China

Šta je vreme uspostavljanja?

Vreme uspostavljanja dinamičkog sistema definisano je kao vreme potrebno da izlaz dostigne i stabilizuje se unutar zadate tolerancije. Obeležava se kao Ts. Vreme uspostavljanja uključuje propagačni kašnjenje i vreme potrebno da se dostigne oblast konačne vrednosti. Uključuje vreme za oporavak od preopterećenja uz slej i stabilizaciju blizu zone tolerancije.

Zona tolerancije je maksimalan dopušteni opseg u kome se izlaz može stabilizovati. Obično su zone tolerancije 2% ili 5%.

Vreme uspostavljanja u korak-odzivu drugeg reda sistema prikazano je na sledećoj slici.

Vreme uspostavljanja

Formula vremena uspostavljanja

Vreme uspostavljanja zavisi od prirodnog frekvencija i odziva sistema. Opšta jednačina vremena uspostavljanja je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jedinica korak-odziv drugog reda sistema izražena je kao;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ova jednačina se deli na dve čestice;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Da bismo izračunali vreme stabilizacije, potrebna nam je samo eksponencijalna komponenta, jer ona anulira oscilatornu česticu sinusne komponente. Tolerancijski deo je jednak eksponencijalnoj komponenti.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kako izračunati vreme stabilizacije

Da bismo izračunali vreme stabilizacije, posmatramo sistem prvog reda sa odzivom na jedinični step.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Za odziv na jedinični step,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stoga,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada izračunajte vrednost za A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Pretpostavimo da je s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pretpostavimo da je s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Za grešku od 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ova jednačina daje vreme uspostavljanja za sistem prvog reda sa jediničnim stepenastim ulazom.

Za sistem drugog reda, potrebno je razmotriti sledeću jednačinu;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

U ovoj jednačini, eksponencijalni deo je važan za određivanje vremena uspostavljanja.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Sada razmatramo grešku od 2%. Stoga, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vrednost koeficijenta prigušenja (ξ) zavisi od tipa sistema drugog reda. Ovde razmatramo podprigušeni sistem drugog reda. Vrednost ξ se nalazi između 0 i 1.

Stoga, imenilac gornje jednačine je približno jednak 1. Za lakše računanje, možemo ga zanemariti.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ova jednačina se može koristiti samo za grešku od 2% i podizraženi sistem drugog reda.

Slično, za grešku od 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Za sistem drugog reda, pre nego što odredimo vreme uspostavljanja, potrebno je izračunati koeficijent prigušenja.

Vreme uspostavljanja prema metodi mesta korena

Vreme uspostavljanja može se izračunati pomoću metode mesta korena. Vreme uspostavljanja zavisi od koeficijenta prigušenja i prirodne frekvencije.

Ove veličine mogu se izvesti pomoću metode mesta korena. I možemo naći vreme uspostavljanja.

Hajde da razumemo putem primera.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A pretresanje = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Iz dijagrama korena možete pronaći dominantne polove;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sada imamo vrednost za ξ i ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Dijagram mješovitog položaja dobiven je iz MATLAB-a. Za to koristite "sisotool". Ovdje možete dodati ograničenje da procentualni prevazilazak iznosi 20%. I lako dobijate dominantne polove.

Sljedeća slika prikazuje dijagram mješovitog položaja iz MATLAB-a.

Primer korena

Vreme odziva možemo pronaći pomoću MATLAB-a. Jedinični odziv ovog sistema prikazan je na sledecoj slici.

Vreme stabilizacije u MATLAB-u

Kako smanjiti vreme stabilizacije

Vreme stabilizacije je vreme potrebno da se dostigne cilj. Za bilo koji kontrolni sistem, vreme stabilizacije mora biti minimalno.

Smanjenje vremena stabilizacije nije laka posao. Moramo dizajnirati kontroler da bi smanjili vreme stabilizacije.

Kao što znamo, postoje tri kontrolera; proporcionalni (P), integralni (I), derivativni (D). Kombinovanjem ovih kontrolera, možemo postići zahtevane karakteristike sistema.

Stepenja kontrolera (KP, KI, KD) biraju se prema zahtevima sistema.

Povećanje proporcionalnog stepenja KP, rezultira malom promenom u vremenu stabilizacije. Povećanje integralnog stepenja KI, vreme stabilizacije se povećava. I povećanje derivativnog stepenja KD, vreme stabilizacije se smanjuje.

Стога се повећава изводни придобијак да би се скратило време постављања. Приликом одабира вредности придобијка PID контролера, то може утицати и на друге величине, као што су време порasta, прекорачење и стационарна грешка.

Kako pronaći vreme postizanja u MATLAB-u

У MATLAB-u, vreme postizanja može se odrediti помоћу функције корака. Размислимо о томе путем примера.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Прво израчунавамо vreme postizanja помоћу једначине. За то, упоредимо ову трансферну функцију са општом трансfernном функцијом система другог реда.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Дакле,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ova vrednost je približna vrednost jer smo doneli pretpostavke prilikom izračunavanja jednačine za vreme uspostavljanja. Međutim, u MATLAB-u dobijamo tačnu vrednost vremena uspostavljanja. Stoga se ova vrednost može malo razlikovati u oba slučaja.

Sada, da bismo izračunali vreme uspostavljanja u MATLAB-u, koristimo step funkciju.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Izlaz:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

I dobijate grafik odziva kao što je prikazano na sledećoj slici.

Izračunavanje vremena uspostavljanja u MATLAB-u

U MATLAB-u, podrazumevana procentualna opsega greške je 2%. Možete promeniti ovo u grafiku za različite opsege grešaka. Za to, desni klik na grafik > osobine > opcije > “prikaži vreme uspostavljanja unutar ___ %”.

Uređivač svojstava MATLAB

Još jedan način da se pronađe vreme uspostavljanja je izvršavanjem petlje. Kao što znamo, za grešku od 2%, smatramo odgovor između 0.98 i 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
vreme_uspostavljanja = (S-1)*0.005

Izlaz:

vreme_uspostavljanja = 1.1886

Izjava: Poštujte original, dobre članke vredi deliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo kontaktirajte za brisanje.

Dajte nagradu i ohrabrite autora

Teme:

Sistemi snabdevanja električnom energijom

Kontrolni sistemi

О експертима

Electrical4u

China

Preporučeno

Više

Glavne transformatorne nesreće i problemi sa radom na svetlostima plinova

1. Zapisnik o nesreći (19. mart 2019)Dana 19. marta 2019. u 16:13 sati, nadzorna ploča je izveštavala o delovanju lege plinove na glavnom transformatoru broj 3. U skladu sa Pravilnikom o eksploataciji transformatora napona (DL/T572-2010), osoblje za održavanje i rad (O&M) proverilo je stanje na mestu glavnog transformatora broj 3.Potvrđeno na mestu: Panele WBH neelektrične zaštite glavnog transformatora broj 3 su izveštavale o delovanju lege plinove faze B tela transformatora, a resetovanje

Leon

02/05/2026

Kvarovi i obrada jednofaznog zemljenja na distribucijskim linijama od 10kV

Карактеристике и уређаји за откривање једнофазних земљних кратких спојева1. Карактеристике једнофазних земљних кратких спојеваЦентрални алармски сигнали:Звонце за упозорење звучи, а индикаторска лампица означена „Земљни кратки спој на [X] кВ шинском одељку [Y]“ се укључује. У системима са земљним везивањем нулте тачке преко Петерсенове калемске спирале (калем за гашење лука), такође се укључује индикатор „Петерсенова калемска спирала у раду“.Показивања волтметра за надзор изолације:Напон погођен

Rockwill

01/30/2026

Neutralni način operacije zemljanja za transformere mreže od 110kV～220kV

Način povezivanja neutralne tačke na transformatorima mreže od 110kV do 220kV treba da zadovolji zahteve izolacije neutralnih tačaka transformatora, i treba da se nastoji da se nula-sequens impedansa podstaničnih stanica održi gotovo nepromenjena, dok se osigurava da nula-sequens kompletan impedans u bilo kojoj tački prekidnice sistema ne premaši tri puta pozitivno-sequens kompletan impedans.Neutralni načini zemljanja novih i tehnički unapređenih transformatora od 220kV i 110kV treba strogo da s

Vziman

01/29/2026

Zašto podstanci koriste kamenje šljunku mrvlje i drobljen kamen?

Zašto se u podstanicama koriste kamenje, šljunka, kamenčići i drobljeni kamen?U podstanicama, oprema poput transformatora snage i distribucije, prenosnih linija, transformatora napona, transformatora struje i prekidača za odvajanje svi zahtevaju zemljanje. Osim zemljanja, sad će se detaljno istražiti zašto su šljunke i drobljeni kamen često korišćeni u podstanicama. Iako izgledaju obično, ovi kamenji igraju ključnu ulogu u pitanju bezbednosti i funkcionalnosti.U dizajnu zemljanja podstanica - po

Echo

01/29/2026

Sistem drugog reda	Koeficijent prigušenja (ξ)	Vremenski konstanta (TS)
Podprigušen	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Neprigušen	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritično prigušen	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Preprigušen	ξ > 1	Zavisi od dominantnog pola