Vremenski interval stabilizacije: Šta je to? (Formula i kako ga pronaći u MATLAB-u)

Electrical4u

Polje: Osnovna elektronika

China

Šta je vreme uspostavljanja?

Vreme uspostavljanja dinamičkog sistema definisano je kao vreme potrebno da izlaz dostigne i stabilizuje se unutar zadate tolerancije. Obeležava se kao Ts. Vreme uspostavljanja uključuje propagačni kašnjenje i vreme potrebno da se dostigne oblast konačne vrednosti. Uključuje vreme za oporavak od preopterećenja uz slej i stabilizaciju blizu zone tolerancije.

Zona tolerancije je maksimalan dopušteni opseg u kome se izlaz može stabilizovati. Obično su zone tolerancije 2% ili 5%.

Vreme uspostavljanja u korak-odzivu drugeg reda sistema prikazano je na sledećoj slici.

Vreme uspostavljanja

Formula vremena uspostavljanja

Vreme uspostavljanja zavisi od prirodnog frekvencija i odziva sistema. Opšta jednačina vremena uspostavljanja je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jedinica korak-odziv drugog reda sistema izražena je kao;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ova jednačina se deli na dve čestice;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Da bismo izračunali vreme stabilizacije, potrebna nam je samo eksponencijalna komponenta, jer ona anulira oscilatornu česticu sinusne komponente. Tolerancijski deo je jednak eksponencijalnoj komponenti.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kako izračunati vreme stabilizacije

Da bismo izračunali vreme stabilizacije, posmatramo sistem prvog reda sa odzivom na jedinični step.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Za odziv na jedinični step,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stoga,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada izračunajte vrednost za A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Pretpostavimo da je s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pretpostavimo da je s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Za grešku od 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ova jednačina daje vreme uspostavljanja za sistem prvog reda sa jediničnim stepenastim ulazom.

Za sistem drugog reda, potrebno je razmotriti sledeću jednačinu;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

U ovoj jednačini, eksponencijalni deo je važan za određivanje vremena uspostavljanja.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Sada razmatramo grešku od 2%. Stoga, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vrednost koeficijenta prigušenja (ξ) zavisi od tipa sistema drugog reda. Ovde razmatramo podprigušeni sistem drugog reda. Vrednost ξ se nalazi između 0 i 1.

Stoga, imenilac gornje jednačine je približno jednak 1. Za lakše računanje, možemo ga zanemariti.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ova jednačina se može koristiti samo za grešku od 2% i podizraženi sistem drugog reda.

Slično, za grešku od 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Za sistem drugog reda, pre nego što odredimo vreme uspostavljanja, potrebno je izračunati koeficijent prigušenja.

Vreme uspostavljanja prema metodi mesta korena

Vreme uspostavljanja može se izračunati pomoću metode mesta korena. Vreme uspostavljanja zavisi od koeficijenta prigušenja i prirodne frekvencije.

Ove veličine mogu se izvesti pomoću metode mesta korena. I možemo naći vreme uspostavljanja.

Hajde da razumemo putem primera.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A pretresanje = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Iz dijagrama korena možete pronaći dominantne polove;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sada imamo vrednost za ξ i ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Dijagram mješovitog položaja dobiven je iz MATLAB-a. Za to koristite "sisotool". Ovdje možete dodati ograničenje da procentualni prevazilazak iznosi 20%. I lako dobijate dominantne polove.

Sljedeća slika prikazuje dijagram mješovitog položaja iz MATLAB-a.

Primer korena

Vreme odziva možemo pronaći pomoću MATLAB-a. Jedinični odziv ovog sistema prikazan je na sledecoj slici.

Vreme stabilizacije u MATLAB-u

Kako smanjiti vreme stabilizacije

Vreme stabilizacije je vreme potrebno da se dostigne cilj. Za bilo koji kontrolni sistem, vreme stabilizacije mora biti minimalno.

Smanjenje vremena stabilizacije nije laka posao. Moramo dizajnirati kontroler da bi smanjili vreme stabilizacije.

Kao što znamo, postoje tri kontrolera; proporcionalni (P), integralni (I), derivativni (D). Kombinovanjem ovih kontrolera, možemo postići zahtevane karakteristike sistema.

Stepenja kontrolera (KP, KI, KD) biraju se prema zahtevima sistema.

Povećanje proporcionalnog stepenja KP, rezultira malom promenom u vremenu stabilizacije. Povećanje integralnog stepenja KI, vreme stabilizacije se povećava. I povećanje derivativnog stepenja KD, vreme stabilizacije se smanjuje.

Стога се повећава изводни придобијак да би се скратило време постављања. Приликом одабира вредности придобијка PID контролера, то може утицати и на друге величине, као што су време порasta, прекорачење и стационарна грешка.

Kako pronaći vreme postizanja u MATLAB-u

У MATLAB-u, vreme postizanja može se odrediti помоћу функције корака. Размислимо о томе путем примера.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Прво израчунавамо vreme postizanja помоћу једначине. За то, упоредимо ову трансферну функцију са општом трансfernном функцијом система другог реда.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Дакле,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ova vrednost je približna vrednost jer smo doneli pretpostavke prilikom izračunavanja jednačine za vreme uspostavljanja. Međutim, u MATLAB-u dobijamo tačnu vrednost vremena uspostavljanja. Stoga se ova vrednost može malo razlikovati u oba slučaja.

Sada, da bismo izračunali vreme uspostavljanja u MATLAB-u, koristimo step funkciju.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Izlaz:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

I dobijate grafik odziva kao što je prikazano na sledećoj slici.

Izračunavanje vremena uspostavljanja u MATLAB-u

U MATLAB-u, podrazumevana procentualna opsega greške je 2%. Možete promeniti ovo u grafiku za različite opsege grešaka. Za to, desni klik na grafik > osobine > opcije > “prikaži vreme uspostavljanja unutar ___ %”.

Uređivač svojstava MATLAB

Još jedan način da se pronađe vreme uspostavljanja je izvršavanjem petlje. Kao što znamo, za grešku od 2%, smatramo odgovor između 0.98 i 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
vreme_uspostavljanja = (S-1)*0.005

Izlaz:

vreme_uspostavljanja = 1.1886

Izjava: Poštujte original, dobre članke vredi deliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo kontaktirajte za brisanje.

Dajte nagradu i ohrabrite autora

Teme:

Sistemi snabdevanja električnom energijom

Kontrolni sistemi

О експертима

Electrical4u

China

Preporučeno

Više

Koje su mere sigurnosti i smernice za korišćenje naplatnih banka naizmenične struje?

AC opterećivači su električni uređaji koji se koriste za simulaciju stvarnih opterećenja i široko se primenjuju u sistemima snabdevanja električnom energijom, komunikacionim sistemima, sistemima automatizovanog upravljanja i drugim oblastima. Da bi se osigurala lična i oprema sigurnost prilikom korišćenja, moraju se poštovati sledeće mere i smernice o bezbednosti:Izaberite odgovarajući AC opterećivač: Izaberite AC opterećivač koji ispunjava stvarne potrebe, osiguravajući da njegova kapacitet, no

Echo

11/06/2025

Šta treba imati na umu prilikom montaža termopare tipa K?

Preduzeća pri instalaciji termoparova tipa K su ključna za osiguranje preciznosti merenja i proširenje vremena trajanja. Ispod je uputstvo za instalaciju termoparova tipa K, sastavljeno na osnovu visoko autoritativnih izvora:1. Izbor i inspekcija Izaberite odgovarajući tip termopara: Izaberite pravi termopar na osnovu opsega temperature, osobina medija i potrebne tačnosti merenja u okruženju. Termopari tipa K su pogodni za temperature u opsegu od -200°C do 1372°C i mogu se koristiti u različitim

James

11/06/2025

Uzroci i preventivne mere požara i eksplozije u mašinama za prekid struje na osnovu ulja

Uzroci požara i eksplozije u masnim prekidaci Kada je nivo ulja u masnom prekidacu prenisko, sloj ulja koji pokriva kontakte postaje pretank. Pod dejstvom električne duge, ulje se razlaže i oslobađa gorive plinove. Ovi plinovi se akumuliraju u prostoru ispod gornje kape, miješajući se s vazduhom kako bi formirali eksplozivnu smesu, koja se može zapaliti ili eksplozirati pod visokim temperaturama. Ako je nivo ulja unutar rezervoara previsok, oslobađeni plinovi imaju ograničeno mesto za širenje, š

Felix Spark

11/06/2025

Standarde greške merenja THD za sisteme snage

Tolerancija greške ukupne harmonijske deformacije (THD): Kompletna analiza bazirana na scenarijima primene, tačnosti opreme i industrijskim standardimaPrihvatljivi opseg greške za ukupnu harmonijsku deformaciju (THD) mora biti procenjen na osnovu specifičnih konteksta primene, tačnosti merne opreme i primenjivih industrijskih standarda. Ispod sledi detaljna analiza ključnih pokazatelja performansi u električnim sistemima, industrijskoj opremi i opštim merim prilikama.1. Standardi grešaka harmoni

Edwiin

11/03/2025

Sistem drugog reda	Koeficijent prigušenja (ξ)	Vremenski konstanta (TS)
Podprigušen	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Neprigušen	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritično prigušen	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Preprigušen	ξ > 1	Zavisi od dominantnog pola