Indstillingstid: Hvad er det? (Formel og hvordan man finder den i MATLAB)

Electrical4u

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

Hvad er stabiliserings tid?

Stabiliserings tiden for et dynamisk system defineres som den tid, der kræves for, at outputtet når og stabiliserer sig inden for en given tolerancemargen. Den betegnes som Ts. Stabiliserings tiden omfatter propagationsforsinkelse og tiden, der kræves for at nå regionen af dens endelige værdi. Det inkluderer tiden til at genvinde overbelastningsforholdet, sammen med slew og stabilisering nær tolerancemargenen.

Tolerancemargenen er det maksimale tilladte område, hvori outputtet kan stabilisere sig. Generelt er tolerancemargenerne 2% eller 5%.

Stabiliserings tiden i trinresponsen for et andengradssystem vises i nedenstående figur.

Stabiliserings Tid

Formel for stabiliserings tid

Stabiliserings tiden afhænger af naturlig frekvens og respons fra systemet. Den generelle ligning for stabiliserings tiden er;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Enheds trinresponsen for et andengradssystem udtrykkes som;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Denne ligning opdeles i to dele;

$eksponentiel komponent = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusformel komponent = sin(\omega_d t + \theta)$

For at beregne indstillingstiden har vi kun brug for den eksponentielle komponent, da den ophæver den oscillerende del af den sinusformelle komponent. Og tolerancen er lig med den eksponentielle komponent.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hvordan beregne stabiliserings tid

For at beregne stabiliserings tiden, betragter vi et første ordens system med enheds trin respons.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

For enheds trin respons,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Derfor,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Beregn nu værdierne for A1 og A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Antaglæg, at s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Antaglæg, at s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

For 2% fejl, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0,02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Denne ligning giver indstillingstid for et førsteordens system med enhedstrinsinput.

For andenordens systemer skal vi tage højde for følgende ligning;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

I denne ligning er eksponentialtermen vigtig for at finde værdien af indstillingstiden.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nu overvejer vi en 2% fejl. Derfor er 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Værdien af dempingforholdet (ξ) afhænger af typen af andenordens system. Her overvejer vi et underdempet andenordens system. Og værdien af ξ ligger mellem 0 og 1.

Så, nævneren i ovenstående ligning er næsten lig med 1. Og for at gøre beregningen nemmere, kan vi udelade den.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Denne ligning kan kun bruges til 2% fejlmargin og underdæmpede andenordenssystemer.

Ligeledes, for 5% fejlmargin; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

For andenordens system, før vi finder settling time, skal vi beregne dempingforholdet.

Rodpladsens indstillingstid

Indstillingstiden kan beregnes ved hjælp af rodpladsmetoden. Indstillingstiden afhænger af demperforholdet og den naturlige frekvens.

Disse størrelser kan udledes med rodpladsmetoden. Og vi kan finde indstillingstiden.

Lad os forstå det gennem et eksempel.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Overspring = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Fra rodlokusplot kan du finde de dominante poler;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nu har vi værdien af ξ og ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Roden locus plot er udledt fra MATLAB. For det brug "sisotool". Her kan du tilføje en begrænsning for procentvis overskydelse på 20%. Og få dominante poler nemt.

Nedenstående figur viser roden locus plot fra MATLAB.

Rodgrænse eksempel

Vi kan finde indstillingstiden med hjælp fra MATLAB. Enhedstrinsresponsen for dette system er vist på nedenstående figur.

Indstillingstid i MATLAB

Hvordan man reducerer indstillingstid

Indstillingstiden er den tid, der kræves for at opnå målet. For ethvert styresystem skal indstillingstiden være så kort som mulig.

At reducere indstillingstiden er ikke en let opgave. Vi skal designe en regulator for at reducere indstillingstiden.

Som vi ved, findes der tre regulatortyper; proportional (P), integrator (I) og differential (D). Med en kombination af disse regulatortyper kan vi opfylde vores krav til systemet.

Regulatorens forstærkning (KP, KI, KD) vælges i henhold til systemets krav.

En forhøjelse af proportionalforstærkningen KP resulterer i en lille ændring i indstillingstiden. En forhøjelse af integratorforstærkningen KI øger indstillingstiden. En forhøjelse af differentialforstærkningen KD reducerer indstillingstiden.

Derfor øges den afledte forstærkning for at reducere indstillingstiden. Når man vælger forstærkningsværdier for PID-regulatoren, kan det påvirke andre størrelser som stigningstid, overskydelse og stabiltilstandfejl.

Hvordan finde indstillingstid i MATLAB

I MATLAB kan indstillingstiden findes ved hjælp af en trappefunktion. Lad os forstå dette gennem et eksempel.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Først beregner vi indstillingstiden ved hjælp af ligningen. For dette sammenligner vi denne overførselsfunktion med den generelle overførselsfunktion for et andenordenssystem.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Derfor,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Denne værdi er en tilnærmet værdi, da vi har taget forudsætninger i betragtning under beregningen af formelen for indstillingstid. Men i MATLAB får vi den præcise værdi for indstillingstiden. Så denne værdi kan være lidt forskellig i begge tilfælde.

Nu, for at beregne indstillingstiden i MATLAB, bruger vi trin-funktionen.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Og du får et svar graf som vist på nedenstående figur.

Indstillingstidsberegning i MATLAB

I MATLAB er standardprocentbandet for fejl 2%. Du kan ændre dette i grafen for forskellige fejlband. For at gøre dette, højreklik på grafen > egenskaber > indstillinger > "vis indstillingstid inden for ___ %".

Egenskab Redigeringsprogram MATLAB

En anden måde at finde indstillingstiden på er ved at køre en løkke. Som vi ved, for 2% fejlmargin, betragter vi responsen mellem 0.98 og 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
indstillingstid = (S-1)*0.005

Output:

indstillingstid = 1.1886

Erklæring: Respektér det originale, godt artikler er værd at dele, hvis der sker krænkelse bedes kontakt for sletning.

Giv en gave og opmuntre forfatteren

Emner:

Kraftsystemer

Styringsystemer

Om eksperter

Electrical4u

China

Anbefalet

Mere

Hvad er sikkerhedsforanstaltninger og retningslinjer for brug af AC belastningsbanker?

AC lastbænker er elektriske enheder, der bruges til at simulere reelle belastninger, og de anvendes bredt i strømsystemer, kommunikationssystemer, automatiske kontrolesystemer og andre områder. For at sikre person- og udstyrssikkerhed under brug, skal følgende sikkerhedsforanstaltninger og retningslinjer overholdes:Vælg en passende AC lastbænk: Vælg en AC lastbænk, der opfylder de faktiske krav, og sørger for, at dens kapacitet, spændingsklasse og andre parametre opfylder den ønskede anvendelse.

Echo

11/06/2025

Hvad skal bemærkes ved installation af en type K termoelement?

Installation forudsætninger for type K termoelementer er afgørende for at sikre målingsnøjagtighed og forlænge levetiden. Nedenfor er en introduktion til installationsvejledningen for type K termoelementer, samlet fra højt autoritative kilder:1. Valg og kontrol Vælg det passende termoelementtype: Vælg det rigtige termoelement baseret på temperaturinterval, mediumsegenskaber og den ønskede nøjagtighed i målingssituationen. Type K termoelementer er egnet til temperaturer fra -200°C til 1372°C og k

James

11/06/2025

Årsager og forebyggelsesforanstaltninger for brand og eksplosion i oliecirkuitbrydere

Årsager til brand og eksplosion i oliecirkuitsikringer Når oljeniveauet i en oliecirkuitsikring er for lavt, bliver oljeskikken over kontakterne for tynd. Under effekten af elektrisk bue dekomponerer oljen sig og frigiver brandfarlige gasser. Disse gasser samler sig i rummet under toppladen, blandes med luft og danner en eksplosiv blanding, som kan antændes eller eksplodere ved høj temperatur. Hvis oljeniveauet i tanken er for højt, har de frigivne gasser begrænset plads til at udvide sig, hvilk

Felix Spark

11/06/2025

THD Målingsfejlstandarder for strømsystemer

Fejl Tolerance for Total Harmonisk Forvrængning (THD): En Grundig Analyse Baseret på Anvendelsesscenarier, Udstyrsprecision og BranchestandarderDen acceptable fejlgrænse for total harmonisk forvrængning (THD) skal vurderes baseret på specifikke anvendelseskontekster, måleudstyrspræcision og gældende branchestandarder. Nedenfor følger en detaljeret analyse af nøgleyndingsindikatorer i strømsystemer, industrielle anlæg og generelle målingsanvendelser.1. Harmoniske Fejlstandarder i Strømsystemer1.1

Edwiin

11/03/2025

Andenordens system	Dempningsforhold (ξ)	Indstillings tid (TS)
Underdæmpet	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undæmpet	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritisk dæmpet	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdæmpet	ξ > 1	Afhænger af dominante pol