Tempo de Acomodación: Que é? (Fórmula e Como atopalo en MATLAB)

Electrical4u

Campo: Electrónica Básica

China

Que é o tempo de estabilización?

O tempo de estabilización dun sistema dinámico defínese como o tempo necesario para que a saída alcance e se mantenga dentro dunha banda de tolerancia dada. Denótase como Ts. O tempo de estabilización inclúe o retardo de propagación e o tempo necesario para alcanzar a rexión do seu valor final. Inclúe tamén o tempo para recuperar a condición de sobrecarga incorporada co slew e a estabilidade preto da banda de tolerancia.

A banda de tolerancia é un rango máximo permitido no que a saída pode estabilizarse. Xeralmente, as bandas de tolerancia son de 2% ou 5%.

O tempo de estabilización na resposta ao paso dun sistema de segundo orde móstrase na figura seguinte.

Tempo de Estabilización

Fórmula do Tempo de Estabilización

O tempo de estabilización depende da frecuencia natural e da resposta do sistema. A ecuación xeral do tempo de estabilización é;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

A resposta ao paso unitario dun sistema de segundo orde exprésase como;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Esta ecuación divide en dúas partes;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para calcular o tempo de estabilización, só precisamos do compoñente exponencial xa que anula a parte oscilatoria do compoñente sinusoidal. E a fracción de tolerancia é igual ao compoñente exponencial.

$Fracción de tolerancia = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fracción de tolerancia \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fracción de tolerancia \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Como calcular o tempo de asentamento

Para calcular o tempo de asentamento, consideramos un sistema de primeira orde coa resposta a un paso unitario.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para a resposta a un paso unitario,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Por tanto,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Agora, calcúlese o valor de A1 e A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Supón que s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Supón que s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para un erro do 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Esta ecuación dá o tempo de estabilización para un sistema de primeira orde con entrada de paso unitario.

Para un sistema de segunda orde, temos que considerar a seguinte ecuación;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Nesta ecuación, o termo exponencial é importante para atopar o valor do tempo de estabilización.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Agora, consideramos un erro do 2%. Polo tanto, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

O valor da razón de amortización (ξ) depende do tipo de sistema de segundo orde. Aquí, consideramos un sistema de segundo orde subamortizado. E o valor de ξ está entre 0 e 1.

Así, o denominador da ecuación anterior é case igual a 1. E para facilitar o cálculo, podemos ignoralo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Esta ecuación só pode usarse para unha banda de erro do 2% e un sistema de segundo orde subamortiguado.

De forma semellante, para unha banda de erro do 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para un sistema de segundo orden, antes de calcular o tempo de asentamento, é necesario calcular a razón de amortización.

Tempo de estabilización do lugar das raíces

O tempo de estabilización pode ser calculado polo método do lugar das raíces. O tempo de estabilización depende da relación de amortecemento e da frecuencia natural.

Estas cantidades poden derivarse coa axuda do método do lugar das raíces. E podemos atopar o tempo de estabilización.

Vamos entender cun exemplo.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

E Sobrepico = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A partir do gráfico de lugar das raízes, podes atopar os polos dominantes;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Agora, temos o valor de ξ e ωn,

$tempo de estabilización t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

O diagrama de lugar das raíces derívase do MATLAB. Para iso, usa-se “sisotool”. Aquí, podes engadir unha restrición para que o sobrepaso en porcentaxe sexa igual ao 20%. E obter os polos dominantes facilmente.

A figura inferior mostra o diagrama de lugar das raíces do MATLAB.

Exemplo de locus de raíces

Pódese atopar o tempo de estabilización con axuda do MATLAB. A resposta ao paso unitario deste sistema é como se amosa na figura seguinte.

Tempo de estabilización no MATLAB

Como reducir o tempo de estabilización

O tempo de estabilización é o tempo necesario para lograr o obxectivo. E para calquera sistema de control, o tempo de estabilización debe manterse mínimo.

Reducir o tempo de estabilización non é unha tarefa fácil. Precisamos deseñar un controlador para reducir o tempo de estabilización.

Como sabemos, hai tres controladores; proporcional (P), integral (I), derivativo (D). Con unha combinación destes controladores, podemos lograr os nosos requisitos do sistema.

A ganancia dos controladores (KP, KI, KD) escóllese segundo o requisito do sistema.

Aumentar a ganancia proporcional KP, resulta nun pequeno cambio no tempo de estabilización. O aumento da ganancia integral KI, aumenta o tempo de estabilización. E o aumento da ganancia derivativa KD, diminúe o tempo de estabilización.

Polo, o gaño derivativo aumenta para diminuír o tempo de estabilización. Ao seleccionar os valores de gaño do controlador PID, pode afectar tamén outras cantidades como o tempo de subida, o sobrepico e o erro en estado estacionario.

Como atopar o tempo de estabilización en MATLAB

En MATLAB, o tempo de estabilización pódese atopar mediante unha función de paso. Vamos entendelo cun exemplo.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Primeiro, calculamos o tempo de estabilización pola ecuación. Para iso, compárase esta función de transferencia coa función de transferencia xeral dun sistema de segundo orde.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Polo tanto,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$tempo de estabilización (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Este valor é un valor aproximado, xa que asumimos certas hipóteses ao calcular a ecuación do tempo de estabilización. Pero en MATLAB, obtemos o valor exacto do tempo de estabilización. Polo tanto, este valor pode ser lixeramente diferente nos dous casos.

Agora, para calcular o tempo de estabilización en MATLAB, usamos a función step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Saída:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

E obtense un gráfico da resposta como se mostra na figura inferior.

Cálculo do tempo de estabilización en MATLAB

En MATLAB, por defecto, a banda de erro é do 2%. Pode cambiar isto no gráfico para diferentes bandas de erro. Para iso, faga clic co botón dereito no gráfico > propiedades > opcións > “mostrar o tempo de estabilización dentro de ___ %”.

Editor de propiedades MATLAB

Outra forma de atopar o tempo de estabilización executando un bucle. Como sabemos, para a banda de erro do 2%, consideramos a resposta entre 0,98 e 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
tempo_de_estabilizacion = (S-1)*0.005

Saída:

tempo_de_estabilizacion = 1.1886

Declaración: Respetar o original, artigos bons mérito ser compartidos, se hai infracción por favor contacte para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Sistemas de enerxía

Sistemas de control

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607

Recomendado

Máis

Que son as precaucións de seguridade e as liñas guía para o uso de cargas AC?

As bancadas de carga AC son dispositivos eléctricos utilizados para simular cargas do mundo real e teñen unha amplia aplicación en sistemas de enerxía, sistemas de comunicación, sistemas de control de automatización e outros campos. Para asegurar a seguridade persoal e do equipo durante o uso, deben observarse as seguintes precaucións e directrices de seguridade:Escolla unha bancada de carga AC adecuada: Escolle unha bancada de carga AC que cumpra coas necesidades reais, asegurando que a súa cap

Echo

11/06/2025

Que debe ter en conta ao instalar un termopar de tipo K?

As precaucións de instalación para os termopares do tipo K son cruciais para garantir a precisión da medida e alargar a vida útil. A continuación, presenta unha introdución ás pautas de instalación para os termopares do tipo K, recopiladas de fontes altamente autorizadas:1. Selección e inspección Seleccione o tipo adecuado de termopar: Escolle o termopar correcto en función do rango de temperatura, as propiedades do medio e a precisión requirida no ambiente de medida. Os termopares do tipo K son

James

11/06/2025

Causas e Medidas Preventivas de Incendios e Explosións en Interruptores de Aceite

Causas de incendios e explosións en interruptores de óleo Cando o nivel de óleo nun interruptor de óleo é demasiado baixo, a capa de óleo que cubre os contactos fíxase demasiado fina. Baixo o efecto do arco eléctrico, o óleo descompóñese e libera gases inflamables. Estes gases acumúlanse no espazo baixo a tapa superior, mezclándose co aire para formar unha mestura explosiva, que pode incendiarse ou explotar a altas temperaturas. Se o nivel de óleo dentro do tanque é demasiado alto, os gases libe

Felix Spark

11/06/2025

Estandares de erro na medida de THD para sistemas eléctricos

Tolerancia ao erro da Distorsión Harmónica Total (DHT): Unha análise comprehensiva baseada en escenarios de aplicación, precisión do equipo e normas da industriaO rango de erro aceptable para a Distorsión Harmónica Total (DHT) debe ser avaliado en función dos contextos de aplicación específicos, a precisión do equipo de medida e as normas da industria aplicables. A continuación, presenta unha análise detallada dos indicadores clave de rendemento en sistemas eléctricos, equipos industriais e apli

Edwiin

11/03/2025

Sistema de segundo orde	Razón de amortización (ξ)	Tempo de estabilización (TS)
Subamortiguado	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Non amortiguado	ξ = 0	$T_S = \infty$
Amortiguación crítica	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Superamortiguado	ξ > 1	Depende do polo dominante