Tiempo de Establecimiento: ¿Qué es? (Fórmula y Cómo Encontrarlo en MATLAB)

Electrical4u

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué es el tiempo de establecimiento?

El tiempo de establecimiento de un sistema dinámico se define como el tiempo necesario para que la salida alcance y se estabilice dentro de una banda de tolerancia dada. Se denota como Ts. El tiempo de establecimiento comprende el retardo de propagación y el tiempo necesario para alcanzar la región de su valor final. Incluye el tiempo para recuperarse de la condición de sobrecarga incorporada con el desplazamiento y la estabilidad cerca de la banda de tolerancia.

La banda de tolerancia es un rango máximo permitido en el que la salida puede estabilizarse. Generalmente, las bandas de tolerancia son del 2% o del 5%.

El tiempo de establecimiento en la respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden se muestra en la figura siguiente.

Tiempo de establecimiento

Fórmula del tiempo de establecimiento

El tiempo de establecimiento depende de la frecuencia natural y la respuesta del sistema. La ecuación general del tiempo de establecimiento es;

$T_S = \frac{ln(facción \, de \, tolerancia)}{razón \, de \, amortiguación \times Frecuencia \, natural}$

La respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden se expresa como;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Esta ecuación se divide en dos partes;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para calcular el tiempo de asentamiento, solo necesitamos el componente exponencial, ya que anula la parte oscilatoria del componente sinusoidal. Y la fracción de tolerancia es igual al componente exponencial.

$Fracción \, de \, tolerancia = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fracción \, de \, tolerancia \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fracción \, de \, tolerancia \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Cómo calcular el tiempo de asentamiento

Para calcular el tiempo de asentamiento, consideramos un sistema de primer orden con respuesta a una entrada escalón unitaria.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para la respuesta a una entrada escalón unitaria,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Por lo tanto,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ahora, calcule el valor de A1 y A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Supongamos que s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Supongamos que s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para un error del 2%, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Esta ecuación da el tiempo de establecimiento para un sistema de primer orden con entrada de paso unitario.

Para un sistema de segundo orden, necesitamos considerar la siguiente ecuación;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

En esta ecuación, el término exponencial es importante para encontrar el valor del tiempo de establecimiento.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ahora, consideramos un error del 2%. Por lo tanto, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

El valor de la relación de amortiguación (ξ) depende del tipo de sistema de segundo orden. Aquí, consideramos un sistema de segundo orden subamortiguado. Y el valor de ξ se encuentra entre 0 y 1.

Por lo tanto, el denominador de la ecuación anterior es casi igual a 1. Y para facilitar el cálculo, podemos ignorarlo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Esta ecuación solo se puede utilizar para una banda de error del 2% y un sistema de segundo orden subamortiguado.

De manera similar, para una banda de error del 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para un sistema de segundo orden, antes de encontrar el tiempo de establecimiento, necesitamos calcular la razón de amortiguación.

Tiempo de estabilización del lugar de las raíces

El tiempo de estabilización se puede calcular mediante el método del lugar de las raíces. El tiempo de estabilización depende de la relación de amortiguación y la frecuencia natural.

Estas cantidades pueden derivarse con la ayuda del método del lugar de las raíces. Y podemos encontrar el tiempo de estabilización.

Vamos a entenderlo con un ejemplo.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Y el sobrepaso = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A partir del diagrama de lugar de las raíces, puedes encontrar los polos dominantes;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ahora, tenemos el valor de ξ y ωn,

$tiempo \, de \, establecimiento \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 seg$

El diagrama de lugar de las raíces se deriva de MATLAB. Para ello, utilice “sisotool”. Aquí, puede agregar una restricción para que el porcentaje de sobrepaso sea igual al 20%. Y obtenga los polos dominantes fácilmente.

La figura siguiente muestra el diagrama de lugar de las raíces desde MATLAB.

Ejemplo de Locus de Raíces

Podemos encontrar el tiempo de establecimiento con la ayuda de MATLAB. La respuesta al escalón unitario de este sistema se muestra en la figura siguiente.

Tiempo de Establecimiento en MATLAB

Cómo Reducir el Tiempo de Establecimiento

El tiempo de establecimiento es el tiempo requerido para alcanzar el objetivo. Y para cualquier sistema de control, el tiempo de establecimiento debe mantenerse al mínimo.

Reducir el tiempo de establecimiento no es una tarea fácil. Necesitamos diseñar un controlador para reducir el tiempo de establecimiento.

Como sabemos, existen tres controladores; proporcional (P), integral (I), derivativo (D). Con una combinación de estos controladores, podemos lograr los requisitos de nuestro sistema.

La ganancia de los controladores (KP, KI, KD) se elige según los requisitos del sistema.

Aumentar la ganancia proporcional KP, resulta en un pequeño cambio en el tiempo de establecimiento. Aumentar la ganancia integral KI, aumenta el tiempo de establecimiento. Y aumentar la ganancia derivativa KD, disminuye el tiempo de establecimiento.

Por lo tanto, la ganancia derivativa aumenta para disminuir el tiempo de ajuste. Al seleccionar los valores de ganancia del controlador PID, también puede afectar a otras cantidades como el tiempo de subida, el sobrepaso y el error en estado estable.

Cómo encontrar el tiempo de asentamiento en MATLAB

En MATLAB, el tiempo de asentamiento se puede encontrar mediante una función de paso. Entendamos con un ejemplo.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Primero, calculamos el tiempo de asentamiento mediante la ecuación. Para ello, compara esta función de transferencia con la función de transferencia general de un sistema de segundo orden.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Por lo tanto,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$tiempo de asentamiento (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Este valor es un valor aproximado ya que hemos realizado suposiciones al calcular la ecuación del tiempo de asentamiento. Sin embargo, en MATLAB, obtenemos el valor exacto del tiempo de asentamiento. Por lo tanto, este valor puede ser ligeramente diferente en ambos casos.

Ahora, para calcular el tiempo de asentamiento en MATLAB, utilizamos la función step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Salida:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Y obtienes una gráfica de respuesta como se muestra en la figura siguiente.

Cálculo del tiempo de asentamiento en MATLAB

En MATLAB, por defecto, el porcentaje de banda de error es del 2%. Puedes cambiar esto en la gráfica para diferentes bandas de error. Para ello, haz clic derecho en la gráfica > propiedades > opciones > “mostrar tiempo de asentamiento dentro de ___ %”.

Editor de Propiedades MATLAB

Otra forma de encontrar el tiempo de asentamiento es ejecutando un bucle. Como sabemos, para la banda de error del 2%, consideramos la respuesta entre 0.98 y 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
tiempo_de_asentamiento = (S-1)*0.005

Salida:

tiempo_de_asentamiento = 1.1886

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Sistema de segundo orden	Relación de amortiguamiento (ξ)	Tiempo de establecimiento (TS)
Subamortiguado	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
No amortiguado	ξ = 0	$T_S = \infty$
Amortiguado críticamente	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Sobreamortiguado	ξ > 1	Depende del polo dominante