Settleme Süresi: Nedir? (Formül ve MATLAB'da Nasıl Bulunur)

Electrical4u

Alan: Temel Elektrik

China

Settleme Zamanı Nedir?

Dinamik bir sistemin settleme zamanı, çıkışın belirli bir tolerans bandında ulaşması ve stabil olması için gereken zamandır. T_s ile gösterilir. Settleme zamanı, yayılma gecikmesini ve son değer bölgesine ulaşmak için gereken zamanı içerir. Bu, yük aşımı durumunu toparlamayı ve tolerans bandına yakın düzgün bir şekilde yerleşmeyi de içerir.

Tolerans bandı, çıkışın yerleşebileceği maksimum izin verilen aralıktır. Genellikle tolerans bantları %2 veya %5'tir.

İkinci derece sistemin adım tepkisindeki settleme zamanı aşağıdaki figürde gösterilmiştir.

Settleme Zamanı

Settleme Zamanı Formülü

Settleme zamanı, doğal frekans ve sistemin tepkisine bağlıdır. Settleme zamanının genel denklemi;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

İkinci derece sistemin birim adım tepkisi şu şekilde ifade edilir;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Bu denklem iki parçaya ayrılır;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Durgunlaşma süresini hesaplamak için sadece üstel bileşene ihtiyaç vardır çünkü bu, sinusoidal bileşenin salınımsal kısmını ortadan kaldırır. Tolerans oranı da üstel bileşene eşittir.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Durgunlaşma Süresi Nasıl Hesaplanır

Durgunlaşma süresini hesaplamak için birim adım tepkisine sahip birinci derece sistemi dikkate alıyoruz.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Birim adım tepkisi için,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Bu nedenle,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Şimdi, A1 ve A2 değerlerini hesaplayın.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

s = 0 olduğunu varsayalım;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s = -1/T olduğunu varsayalım;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

%2 hata için, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Bu denklem, birim basamak girdili birinci derece sistemlerin yerleşme süresini verir.

İkinci derece sistemler için aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurmalıyız;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Bu denklemde, yerleşme süresinin değerini bulmak için üstel terim önemlidir.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Şimdi, %2 hata oranını düşünüyoruz. Bu nedenle, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Sönümleme oranı (ξ) değerinin değeri ikinci derece sistemin türüne bağlıdır. Burada, zayıf sönümlü bir ikinci derece sistem düşünüyoruz. Ve ξ'nin değeri 0 ile 1 arasında yer alır.

Bu nedenle, yukarıdaki denklemin paydası yaklaşık olarak 1'e eşittir. Kolay hesap yapmak için bunu ihmal edebiliriz.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Bu denklem sadece %2 hata aralığı ve aşırı sönümlenmiş ikinci derece sistemler için kullanılabilir.

Benzer şekilde, %5 hata aralığı için; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

İkinci derece sistemler için, yerleşme süresini bulmadan önce, sönümleme oranını hesaplamamız gerekmektedir.

Kök Yerleşim Süresi

Yerleşim süresi kök yerleştirme yöntemi ile hesaplanabilir. Yerleşim süresi sönüm oranı ve doğal frekansa bağlıdır.

Bu miktarlar kök yerleştirme yöntemi yardımıyla elde edilebilir. Ve böylece yerleşim süresini bulabiliriz.

Bir örnek üzerinden anlayalım.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ve Aşırı Değer = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Kök yerleri grafiğinden, hakim kutupları bulabilirsiniz;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Şimdi, ξ ve ωn değerlerini elde ettik,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Kök locus grafiği MATLAB'den elde edilmiştir. Bunun için "sisotool" kullanılır. Burada, yüzde aşırı geçişin %20'ye eşit olması için bir kısıtlama ekleyebilir ve hakim kutupları kolayca elde edebilirsiniz.

Aşağıdaki grafik, MATLAB'den elde edilen kök locus grafiğini göstermektedir.

Kök Yer Örneği

MATLAB yardımıyla durgunlaşma süresini bulabiliriz. Bu sistemin birim adım tepkisi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

MATLAB'da Durgunlaşma Süresi

Durgunlaşma Süresini Nasıl Azaltırız

Durgunlaşma süresi hedefe ulaşmak için gereken zamanıdır. Herhangi bir kontrol sisteminde durgunlaşma süresi minimum tutulmalıdır.

Durgunlaşma süresini azaltmak kolay bir iş değildir. Durgunlaşma süresini azaltmak için bir kontrolör tasarlamamız gerekir.

Biliyoruz ki, üç tür kontrolör vardır; orantısal (P), integral (I) ve türevsel (D). Bu kontrolörlerin kombinasyonu ile sistemin gereksinimlerini gerçekleştirebiliriz.

Kontrolör kazançları (KP, KI, KD) sistemin gereksinimine göre seçilir.

Orantısal kazancı KP arttırmak, durgunlaşma süresinde küçük bir değişim sonuçlanır. Integral kazancı KI artırdıkça, durgunlaşma süresi artar. Türevsel kazancı KD artırdıkça, durgunlaşma süresi azalır.

Bu nedenle, türev kazancı ayar süresini azaltmak için artar. PID kontrolcüsünün kazan değerleri seçilirken, bu diğer niceliklerin de, örneğin yükseltme süresi, aşırı tepki ve Durağan hata gibi etkilenebilir.

MATLAB'da Ayarlanma Süresinin Bulunması

MATLAB'da, adımlama fonksiyonu ile ayarlanma süresi bulunabilir. Bir örnek üzerinden anlayalım.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Öncelikle, denklem ile ayarlanma süresini hesaplarız. Bunun için, bu aktarım fonksiyonunu ikinci derece sistemin genel aktarım fonksiyonu ile karşılaştırın.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Bundan dolayı,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Bu değer, yerleşme süresi denklemi hesaplanırken bazı varsayımlar yaptığımız için yaklaşık bir değerdir. Ancak MATLAB'da, yerleşme süresinin tam değerini elde ederiz. Bu nedenle, bu değer her iki durumda da biraz farklı olabilir.

Şimdi, MATLAB'da yerleşme süresini hesaplamak için adım fonksiyonunu kullanırız.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Çıktı:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir yanıt grafiği elde edersiniz.

MATLAB'da yerleşme süresi hesaplama

MATLAB'da, hata bandının varsayılan yüzdesi %2'dir. Grafikte farklı bir hata bandı için bunu değiştirebilirsiniz. Bunun için, grafik üzerinde sağ tıklayın > özellikler > seçenekler > "___ % içinde yerleşme süresini göster".

Özellik Düzenleyici MATLAB

Durgunluk süresini bulmanın başka bir yolu döngü çalıştırarak bulunabilir. Bilindiği gibi, %2 hata bandı için, 0.98 ile 1.02 arasındaki yanıtı düşünürüz.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
durgunluk_suresi = (S-1)*0.005

Çıktı:

durgunluk_suresi = 1.1886

Açıklama: Orijinali saygı gösterin, paylaşmaya değer iyi makalelerdir, telif hakkı ihlali varsa lütfen silme talebinde bulunun.

Yazarı Ödüllendir ve Cesaretlendir

Konular:

Güç Sistemleri

Kontrol Sistemleri

Uzmanlar hakkında

Electrical4u

China

Önerilen

Daha Fazla

Alternatif yük bankalarını kullanırken güvenlik önlemleri ve yönergeler nelerdir?

AC yük bankaları, gerçek dünya yüklerini simüle etmek için kullanılan elektriksel cihazlardır ve güç sistemleri, iletişim sistemleri, otomasyon kontrol sistemleri ve diğer alanlarda yaygın olarak kullanılırlar. Kullanım sırasında kişisel ve ekipman güvenliği sağlamak için aşağıdaki güvenlik önlemleri ve yönergeleri dikkatle takip edilmelidir:Uygun AC yük bankasını seçin: Gerçek gereklilikleri karşılayan bir AC yük bankası seçin, kapasitesinin, gerilim derecesinin ve diğer parametrelerinin uygula

Echo

11/06/2025

Type K termokop çiftini kurarken neye dikkat edilmeli?

Tip K termodiplerin kurulum önlemleri, ölçüm doğruluğunu sağlamak ve hizmet ömrünü uzatmak açısından kritik öneme sahiptir. Aşağıda, çok yetkili kaynaklardan derlenen Tip K termodipler için kurulum yönergelerine giriş bulunmaktadır:1. Seçim ve Kontrol Uygun termodip türünü seçin: Ölçüm ortamının sıcaklık aralığı, ortam özellikleri ve gerekli doğruluk seviyesine göre doğru termodipi seçin. Tip K termodipler, -200°C ile 1372°C arasında değişen sıcaklıklarda kullanılabilir ve çeşitli ortamlar ve or

James

11/06/2025

Yağ Doldurulmuş Kesicilerde Yangın ve Patlama Oluşumunun Nedenleri ve Önleyici Önlemler

Yağlı Kesici Anahtarlarda Yangın ve Patlama Nedenleri Bir yağlı kesici anahtarın yağ seviyesi çok düşük olduğunda, kontaktları kaplayan yağ tabakası çok ince hale gelir. Elektrik ark etkisi altında yağ ayrışır ve yanıcı gazlar salınır. Bu gazlar üst kapağın altındaki alanda toplanır, havayla karışarak patlayıcı bir karışım oluşturur ve yüksek sıcaklık altında yanan veya patlayabilir. Tank içindeki yağ seviyesi çok yüksek olduğunda, salınan gazların genişlemek için sınırlı bir alan olur, bu da ta

Felix Spark

11/06/2025

Güç Sistemleri için THD Ölçüm Hatası Standartları

Toplam Harmonik Bozulma (THD) Hatasının Toleransı: Uygulama Senaryolarına, Ekipman Doğruluğuna ve Endüstri Standartlarına Dayalı kapsamlı bir AnalizToplam Harmonik Bozulma (THD) için kabul edilebilir hata aralığı, belirli uygulama bağlamlarına, ölçüm ekipmanlarının doğruluğuna ve geçerli endüstri standartlarına dayanarak değerlendirilmelidir. Aşağıda, güç sistemleri, endüstriyel ekipmanlar ve genel ölçüm uygulamalarında ana performans göstergeleri hakkında detaylı bir analiz bulunmaktadır.1. Güç

Edwiin

11/03/2025

İkinci Derece Sistem	Sönükleme Oranı (ξ)	Ayarlama Süresi (TS)
Az Sönük	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Sönük Olmayan	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritik Sönük	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Çok Sönük	ξ > 1	Baskın kutba bağlıdır