Czas ustalania: Co to jest? (Wzór i jak go znaleźć w MATLAB)

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Czym jest czas ustalania?

Czas ustalania dynamicznego systemu definiuje się jako czas potrzebny, aby wyjście osiągnęło i utrzymało się w określonej tolerancji. Oznaczany jest jako Ts. Czas ustalania obejmuje opóźnienie propagacji i czas potrzebny do osiągnięcia obszaru swojej końcowej wartości. W tym czasie uwzględnia się także czas odzyskania z nadmiernego obciążenia wraz z szybkim przybliżeniem do tolerancji.

Pasma tolerancji to maksymalny dopuszczalny zakres, w którym wyjście może się ustalić. Zazwyczaj pasma tolerancji wynoszą 2% lub 5%.

Czas ustalania w odpowiedzi skokowej systemu drugiego rzędu przedstawiony jest na poniższym rysunku.

Czas ustalania

Wzór na czas ustalania

Czas ustalania zależy od naturalnej częstotliwości i reakcji systemu. Ogólny wzór na czas ustalania to:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Odpowiedź skokowa systemu drugiego rzędu wyraża się jako:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

To równanie dzieli się na dwie części;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Aby obliczyć czas ustalania, potrzebujemy tylko składowej wykładniczej, ponieważ ona eliminuje oscylacyjną część składowej sinusoidalnej. Ułamek tolerancji jest równy składowej wykładniczej.

$Ułamek tolerancji = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Ułamek tolerancji \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Ułamek tolerancji \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Jak obliczyć czas ustalania

Aby obliczyć czas ustalania, rozważamy system pierwszego rzędu z jednostkową odpowiedzią skokową.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Dla jednostkowej odpowiedzi skokowej,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stąd,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Teraz oblicz wartość A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Założmy, że s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Założmy, że s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Dla błędu 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

To równanie daje czas ustalania dla układu pierwszego rzędu z wejściem skokowym jednostkowym.

Dla układu drugiego rzędu musimy wziąć pod uwagę poniższe równanie;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

W tym równaniu wykładniczy człon jest ważny do znalezienia wartości czasu ustalania.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Teraz rozważmy błąd 2%. Zatem 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Wartość współczynnika tłumienia (ξ) zależy od rodzaju systemu drugiego rzędu. Tutaj rozważamy niedotłumiony system drugiego rzędu. Wartość ξ mieści się między 0 a 1.

Zatem mianownik powyższego równania jest bliski 1. Aby ułatwić obliczenia, możemy go zaniedbać.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ten wzór można stosować tylko dla pasma błędu 2% i układu drugiego rzędu niedobrego tłumienia.

Podobnie, dla pasa błędu 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Dla układu drugiego rzędu, przed wyznaczeniem czasu ustalania, musimy obliczyć współczynnik tłumienia.

Czas ustalania w metodzie miejsca zerowego

Czas ustalania można obliczyć za pomocą metody miejsca zerowego. Czas ustalania zależy od współczynnika tłumienia i częstotliwości własnej.

Te wielkości można wywnioskować przy pomocy metody miejsca zerowego. Możemy tak znaleźć czas ustalania.

Rozważmy to na przykładzie.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Przeskok = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Z wykresu miejsca zerowe możesz znaleźć dominujące bieguny;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Teraz mamy wartość ξ i ωn,

$czas ustalania t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sekundy$

Wykres miejsca zerowego jest pochodną z MATLAB. Do tego celu użyj „sisotool”. Tutaj możesz dodać ograniczenie dla procentowego przeregulowania równego 20%. I łatwo uzyskać dominujące bieguny.

Poniższy rysunek przedstawia wykres miejsca zerowego z MATLAB.

Przykład krzywej miejsca zerowego

Możemy znaleźć czas ustalania za pomocą MATLAB. Odpowiedź na skok jednostkowy tego systemu jest przedstawiona na poniższym rysunku.

Czas ustalania w MATLAB

Jak zredukować czas ustalania

Czas ustalania to czas potrzebny do osiągnięcia celu. Dla każdego systemu sterowania czas ustalania musi być jak najmniejszy.

Zmniejszenie czasu ustalania nie jest łatwym zadaniem. Musimy zaprojektować regulator, aby zmniejszyć czas ustalania.

Jak wiadomo, istnieją trzy rodzaje regulatorów: proporcjonalny (P), całkujący (I) i różniczkujący (D). Dzięki kombinacji tych regulatorów możemy spełnić wymagania dotyczące systemu.

Wzmocnienie regulatorów (KP, KI, KD) jest wybierane według wymagań systemu.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego KP powoduje niewielką zmianę czasu ustalania. Zwiększenie wzmocnienia całkującego KI powoduje zwiększenie czasu ustalania. Zwiększenie wzmocnienia różniczkującego KD powoduje zmniejszenie czasu ustalania.

Dlatego zysk pochodnej zwiększa się, aby zmniejszyć czas ustawienia. Podczas wybierania wartości zysku kontrolera PID może to wpłynąć również na inne parametry, takie jak czas narastania, przeciągnięcie i błąd ustalony.

Jak znaleźć czas ustawiania w MATLAB

W MATLAB-ie czas ustawiania można znaleźć za pomocą funkcji skokowej. Zrozummy to na przykładzie.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Najpierw obliczamy czas ustawiania za pomocą równania. Dla tego porównujemy tę funkcję przenoszenia z ogólną funkcją przenoszenia układu drugiego rzędu.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Zatem,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$czas ustalania (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sek$

Ta wartość jest przybliżona, ponieważ przy obliczaniu równania czasu ustalania przyjęliśmy pewne założenia. Natomiast w programie MATLAB otrzymujemy dokładną wartość czasu ustalania. W związku z tym wartości mogą się nieco różnić w obu przypadkach.

Aby teraz obliczyć czas ustalania w programie MATLAB, używamy funkcji step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Wynik:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Oraz uzyskuje się wykres odpowiedzi, jak pokazano na poniższym rysunku.

Obliczanie czasu ustalania w programie MATLAB

W programie MATLAB domyślny procentowy pas błędu wynosi 2%. Można to zmienić na wykresie dla różnych zakresów błędów. W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszy na wykresie > właściwości > opcje > „pokaż czas ustalania w granicach ___ %”.

Edytor właściwości MATLAB

Inny sposób znalezienia czasu ustalania poprzez uruchomienie pętli. Jak wiadomo, dla pasma błędu 2% rozważamy odpowiedź między 0,98 a 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
czas_ustalania = (S-1)*0.005

Wynik:

czas_ustalania = 1.1886

Oświadczenie: Szacunek do oryginału, dobre artykuły warte są udostępniania, jesli istnieje naruszenie praw autorskich proszę o kontakt z celami usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Systemy energetyczne

Systemy sterowania

O ekspertach

Electrical4u

China

Polecane

Więcej

Usterki i obsługa jednofazowego przewodzenia do ziemii w sieciach dystrybucyjnych 10kV

Charakterystyka i urządzenia do wykrywania uszkodzeń jednofazowych do ziemi1. Charakterystyka uszkodzeń jednofazowych do ziemiSygnały centralnego alarmu:Dzwonek ostrzegawczy dzwoni, a lampka wskaźnikowa z napisem „Uszkodzenie jednofazowe do ziemi na szynie [X] kV, sekcja [Y]” świeci się. W systemach z uziemieniem punktu neutralnego za pośrednictwem cewki Petersena (cewki gaszącej łuk) zapala się również lampka wskaźnikowa „Cewka Petersena włączona”.Wskazania woltomierza do monitorowania izolacji

Rockwill

01/30/2026

Tryb działania z uziemionym punktem neutralnym dla transformatorów sieci energetycznej 110kV～220kV

Układ ziemnego punktu neutralnego transformatorów w sieci energetycznej 110kV～220kV powinien spełniać wymagania wytrzymałości izolacji punktów neutralnych transformatorów, a także starać się utrzymać zerowe impedancje stacji przekształcających praktycznie niezmienione, zapewniając, że zerowa impedancja skupiona w dowolnym punkcie zastanym w systemie nie przekracza trzykrotności dodatniej impedancji skupionej.Dla nowo budowanych i modernizowanych transformatorów 220kV i 110kV ich tryby ziemienia

Vziman

01/29/2026

Dlaczego stacje przekształcające używają kamieni żwiru kamyków i drobnych skał

Dlaczego stacje przekształcające używają kamieni kruchych, żwiru, kamyków i drobnych kamieni?W stacjach przekształcających, urządzenia takie jak transformatory mocy i dystrybucyjne, linie przesyłowe, transformatory napięcia, transformatory prądu oraz wyłączniki odłączeniowe wymagają zazemblowania. Poza zazemblowaniem, teraz głębiej przyjrzymy się, dlaczego żwir i kamienie kruche są powszechnie używane w stacjach przekształcających. Choć wyglądają zwyczajnie, te kamienie odgrywają kluczową rolę b

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – Szybki wyłącznik obwodów SF₆

1.Definicja i funkcja1.1 Rola wyłącznika generatorowegoWyłącznik generatorowy (GCB) to sterowany punkt rozłączenia znajdujący się między generatorem a transformatorem podwyższającym, pełniąc rolę interfejsu między generatorem a siecią energetyczną. Jego główne funkcje obejmują izolowanie uszkodzeń po stronie generatora oraz umożliwienie kontroli operacyjnej podczas synchronizacji generatora i podłączenia do sieci. Zasada działania GCB nie różni się znacząco od zasady działania standardowego wyłą

Garca

01/06/2026

System drugiego rzędu	Współczynnik tłumienia (ξ)	Czas ustawiania (TS)
Niedotłumiony	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Nie tępiony	ξ = 0	$T_S = \infty$
Krytycznie dotłumiony	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Przetłumiony	ξ > 1	Zależy od dominującego bieguna