Czas ustalania: Co to jest? (Wzór i jak go znaleźć w MATLAB)

Electrical4u

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Czym jest czas ustalania?

Czas ustalania dynamicznego systemu definiuje się jako czas potrzebny, aby wyjście osiągnęło i utrzymało się w określonej tolerancji. Oznaczany jest jako Ts. Czas ustalania obejmuje opóźnienie propagacji i czas potrzebny do osiągnięcia obszaru swojej końcowej wartości. W tym czasie uwzględnia się także czas odzyskania z nadmiernego obciążenia wraz z szybkim przybliżeniem do tolerancji.

Pasma tolerancji to maksymalny dopuszczalny zakres, w którym wyjście może się ustalić. Zazwyczaj pasma tolerancji wynoszą 2% lub 5%.

Czas ustalania w odpowiedzi skokowej systemu drugiego rzędu przedstawiony jest na poniższym rysunku.

Czas ustalania

Wzór na czas ustalania

Czas ustalania zależy od naturalnej częstotliwości i reakcji systemu. Ogólny wzór na czas ustalania to:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Odpowiedź skokowa systemu drugiego rzędu wyraża się jako:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

To równanie dzieli się na dwie części;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Aby obliczyć czas ustalania, potrzebujemy tylko składowej wykładniczej, ponieważ ona eliminuje oscylacyjną część składowej sinusoidalnej. Ułamek tolerancji jest równy składowej wykładniczej.

$Ułamek tolerancji = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Ułamek tolerancji \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Ułamek tolerancji \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Jak obliczyć czas ustalania

Aby obliczyć czas ustalania, rozważamy system pierwszego rzędu z jednostkową odpowiedzią skokową.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Dla jednostkowej odpowiedzi skokowej,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stąd,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Teraz oblicz wartość A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Założmy, że s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Założmy, że s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Dla błędu 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

To równanie daje czas ustalania dla układu pierwszego rzędu z wejściem skokowym jednostkowym.

Dla układu drugiego rzędu musimy wziąć pod uwagę poniższe równanie;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

W tym równaniu wykładniczy człon jest ważny do znalezienia wartości czasu ustalania.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Teraz rozważmy błąd 2%. Zatem 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Wartość współczynnika tłumienia (ξ) zależy od rodzaju systemu drugiego rzędu. Tutaj rozważamy niedotłumiony system drugiego rzędu. Wartość ξ mieści się między 0 a 1.

Zatem mianownik powyższego równania jest bliski 1. Aby ułatwić obliczenia, możemy go zaniedbać.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ten wzór można stosować tylko dla pasma błędu 2% i układu drugiego rzędu niedobrego tłumienia.

Podobnie, dla pasa błędu 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Dla układu drugiego rzędu, przed wyznaczeniem czasu ustalania, musimy obliczyć współczynnik tłumienia.

Czas ustalania w metodzie miejsca zerowego

Czas ustalania można obliczyć za pomocą metody miejsca zerowego. Czas ustalania zależy od współczynnika tłumienia i częstotliwości własnej.

Te wielkości można wywnioskować przy pomocy metody miejsca zerowego. Możemy tak znaleźć czas ustalania.

Rozważmy to na przykładzie.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Przeskok = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Z wykresu miejsca zerowe możesz znaleźć dominujące bieguny;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Teraz mamy wartość ξ i ωn,

$czas ustalania t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sekundy$

Wykres miejsca zerowego jest pochodną z MATLAB. Do tego celu użyj „sisotool”. Tutaj możesz dodać ograniczenie dla procentowego przeregulowania równego 20%. I łatwo uzyskać dominujące bieguny.

Poniższy rysunek przedstawia wykres miejsca zerowego z MATLAB.

Przykład krzywej miejsca zerowego

Możemy znaleźć czas ustalania za pomocą MATLAB. Odpowiedź na skok jednostkowy tego systemu jest przedstawiona na poniższym rysunku.

Czas ustalania w MATLAB

Jak zredukować czas ustalania

Czas ustalania to czas potrzebny do osiągnięcia celu. Dla każdego systemu sterowania czas ustalania musi być jak najmniejszy.

Zmniejszenie czasu ustalania nie jest łatwym zadaniem. Musimy zaprojektować regulator, aby zmniejszyć czas ustalania.

Jak wiadomo, istnieją trzy rodzaje regulatorów: proporcjonalny (P), całkujący (I) i różniczkujący (D). Dzięki kombinacji tych regulatorów możemy spełnić wymagania dotyczące systemu.

Wzmocnienie regulatorów (KP, KI, KD) jest wybierane według wymagań systemu.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego KP powoduje niewielką zmianę czasu ustalania. Zwiększenie wzmocnienia całkującego KI powoduje zwiększenie czasu ustalania. Zwiększenie wzmocnienia różniczkującego KD powoduje zmniejszenie czasu ustalania.

Dlatego zysk pochodnej zwiększa się, aby zmniejszyć czas ustawienia. Podczas wybierania wartości zysku kontrolera PID może to wpłynąć również na inne parametry, takie jak czas narastania, przeciągnięcie i błąd ustalony.

Jak znaleźć czas ustawiania w MATLAB

W MATLAB-ie czas ustawiania można znaleźć za pomocą funkcji skokowej. Zrozummy to na przykładzie.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Najpierw obliczamy czas ustawiania za pomocą równania. Dla tego porównujemy tę funkcję przenoszenia z ogólną funkcją przenoszenia układu drugiego rzędu.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Zatem,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$czas ustalania (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sek$

Ta wartość jest przybliżona, ponieważ przy obliczaniu równania czasu ustalania przyjęliśmy pewne założenia. Natomiast w programie MATLAB otrzymujemy dokładną wartość czasu ustalania. W związku z tym wartości mogą się nieco różnić w obu przypadkach.

Aby teraz obliczyć czas ustalania w programie MATLAB, używamy funkcji step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Wynik:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Oraz uzyskuje się wykres odpowiedzi, jak pokazano na poniższym rysunku.

Obliczanie czasu ustalania w programie MATLAB

W programie MATLAB domyślny procentowy pas błędu wynosi 2%. Można to zmienić na wykresie dla różnych zakresów błędów. W tym celu kliknij prawym przyciskiem myszy na wykresie > właściwości > opcje > „pokaż czas ustalania w granicach ___ %”.

Edytor właściwości MATLAB

Inny sposób znalezienia czasu ustalania poprzez uruchomienie pętli. Jak wiadomo, dla pasma błędu 2% rozważamy odpowiedź między 0,98 a 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
czas_ustalania = (S-1)*0.005

Wynik:

czas_ustalania = 1.1886

Oświadczenie: Szacunek do oryginału, dobre artykuły warte są udostępniania, jesli istnieje naruszenie praw autorskich proszę o kontakt z celami usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Systemy energetyczne

Systemy sterowania

O ekspertach

Electrical4u

China

Polecane

Więcej

Jakie są środki ostrożności i wytyczne dotyczące korzystania z obciążeń przemiennych?

Zbiorniki obciążenia AC to urządzenia elektryczne używane do symulacji rzeczywistych obciążeń i są szeroko stosowane w systemach energetycznych, systemach komunikacyjnych, systemach automatyki i sterowania oraz innych dziedzinach. Aby zapewnić bezpieczeństwo osób i sprzętu podczas użytkowania, należy przestrzegać następujących zasad bezpieczeństwa i wytycznych:Wybierz odpowiedni zbiornik obciążenia AC: Wybierz zbiornik obciążenia AC, który spełnia rzeczywiste wymagania, upewniając się, że jego p

Echo

11/06/2025

Co należy zauważyć podczas montażu termopary typu K?

Zasady ostrożności podczas montażu termopar typu K są kluczowe do zapewnienia dokładności pomiarów i przedłużenia okresu użytkowania. Poniżej znajduje się wprowadzenie do wytycznych dotyczących montażu termopar typu K, zebranych z bardzo autorytatywnych źródeł:1. Wybór i inspekcja Wybierz odpowiedni typ termopary: Wybierz właściwą termoparę w oparciu o zakres temperatur, właściwości medium oraz wymagane dokładność środowiska pomiarowego. Termopary typu K są odpowiednie dla temperatur od -200°C d

James

11/06/2025

Przyczyny i środki zapobiegawcze pożarów i eksplozji w olejowych wyłącznikach obwodowych

Przyczyny pożarów i wybuchów w olejowych przerywaczach obwodowych Gdy poziom oleju w olejowym przerywaczu obwodowym jest zbyt niski, warstwa oleju pokrywająca kontakty staje się zbyt cienka. Pod wpływem łuku elektrycznego olej rozkłada się i uwalnia łatwopalne gazy. Te gazy gromadzą się pod górną pokrywą, mieszając się z powietrzem tworząc mieszaninę wybuchową, która może zapalić się lub wybuchnąć pod wpływem wysokiej temperatury. Jeśli poziom oleju w zbiorniku jest zbyt wysoki, uwolnione gazy m

Felix Spark

11/06/2025

Standardy błędów pomiaru THD w systemach zasilania

Tolerancja błędu całkowitej dystrybucji harmonicznej (THD): Kompleksowa analiza oparta na scenariuszach zastosowania, dokładności sprzętu i normach branżowychAkceptowalny zakres błędów dla całkowitej dystrybucji harmonicznej (THD) musi być oceniany na podstawie konkretnych kontekstów zastosowania, dokładności sprzętu pomiarowego i obowiązujących norm branżowych. Poniżej znajduje się szczegółowa analiza kluczowych wskaźników wydajności w systemach energetycznych, sprzęcie przemysłowym i ogólnych

Edwiin

11/03/2025

System drugiego rzędu	Współczynnik tłumienia (ξ)	Czas ustawiania (TS)
Niedotłumiony	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Nie tępiony	ξ = 0	$T_S = \infty$
Krytycznie dotłumiony	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Przetłumiony	ξ > 1	Zależy od dominującego bieguna