定常時間：それは何ですか？（式とMATLABでの見つけ方）

フィールド: 基本電気

China

セットリングタイムとは何か？

動的システムのセットリングタイムは、出力が指定された許容範囲内に達し安定するまでに必要な時間として定義されます。これはTsと表記されます。セットリングタイムには伝播遅延と最終値の領域に到達するまでの時間が含まれます。オーバーロード状態からの回復時間やスルー速度、および許容範囲近くでの安定化時間を含みます。

許容範囲は、出力が安定できる最大の範囲です。一般的には、許容範囲は2％または5％です。

2次系システムのステップ応答におけるセットリングタイムは以下の図に示されています。

セットリングタイム

セットリングタイムの式

セットリングタイムは自然周波数とシステムの応答に依存します。一般的なセットリングタイムの式は以下の通りです。

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

2次系システムの単位ステップ応答は以下の通り表現されます。

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

この式は2つの部分に分けられます。

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

定常時間の計算には、正弦波成分の振動部分をキャンセルする指数成分のみが必要です。そして、許容誤差分数は指数成分と等しくなります。

$許容誤差分数 = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$許容誤差分数 \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( 許容誤差分数 \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

定常時間の計算方法

定常時間を計算するには、単位ステップ応答を持つ一次系を考慮します。

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

単位ステップ応答の場合、

$R(s) = \frac{1}{s}$

したがって、

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

次に、A1とA2の値を計算します。

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

s = 0 と仮定する。

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s = -1/T と仮定する。

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2%の誤差の場合、1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

この式は、単位ステップ入力を持つ1次システムの定常時間を与える。

2次システムの場合、以下の式を考慮する必要がある。

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

この式では、指数項が定常時間を求めるために重要である。

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

ここで、2%の誤差を考慮します。したがって、1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

減衰比（ξ）の値は2次系システムの種類によって異なります。ここでは過減衰2次系システムを考慮します。そして、ξの値は0と1の間です。

したがって、上記の式の分母はほぼ1に等しいです。簡単な計算のために、これを無視することができます。

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

この式は2%の誤差範囲と過減衰二次システムに対してのみ使用できます。

同様に、5%の誤差範囲の場合；1 – C(t) = 0.05；

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

二次系の場合、定常時間を見つける前に減衰比を計算する必要があります。

ルートロクスの定常時間

定常時間はルートロクス法によって計算できます。定常時間は減衰比と自然振動数に依存します。

これらの量はルートロクス法を用いて導き出すことができます。そして、私たちは定常時間を求めることができます。

例を使って理解しましょう。

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

そしてオーバーシュート = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

ルートロクス図から、優性の極を見つけることができます。

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

これでξとωnの値が得られました。

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

ルートロケス図はMATLABから導出されます。そのためには「sisotool」を使用します。ここでは、オーバーシュート率が20%に等しいという制約を追加し、優性極を簡単に取得することができます。

以下の図はMATLABからのルートロケス図を示しています。

ルートロカスの例

MATLABを使用して定常時間を見つけることができます。このシステムの単位ステップ応答は以下の図に示されています。

MATLABでの定常時間

定常時間を短縮する方法

定常時間は目標を達成するのに必要な時間です。そして、任意の制御システムにおいて、定常時間は最小限に保つ必要があります。

定常時間を短縮することは簡単な作業ではありません。私たちは制御器を設計して定常時間を短縮する必要があります。

私たちが知っているように、プロポーショナル（P）、積分（I）、微分（D）の3つの制御器があります。これらの制御器の組み合わせにより、システムの要件を達成することができます。

制御器のゲイン（KP, KI, KD）は、システムの要件に応じて選択されます。

プロポーショナルゲインKPを増加させると、定常時間に小さな変化が生じます。積分ゲインKIを増加させると、定常時間が増加します。また、微分ゲインKDを増加させると、定常時間が減少します。

したがって、微分ゲインを増加させることで設定時間を短縮します。PIDコントローラのゲイン値を選択する際には、上昇時間、オーバーシュート、ステディステートエラーなどの他のパラメータにも影響を与える可能性があります。

MATLABで定常時間を見つける方法

MATLABでは、ステップ関数を使用して定常時間を求めることができます。例を用いて理解しましょう。

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

まず、式を使って定常時間を計算します。そのためには、この伝達関数を二次系の一般的な伝達関数と比較します。

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

したがって、

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

これは、定常時間の計算式を導出する際に仮定を使用したため、近似値です。しかし、MATLABでは正確な定常時間を得ることができます。そのため、両者の値はわずかに異なる場合があります。

次に、MATLABで定常時間を計算するためにstep関数を使用します。

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

出力:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

そして、以下に示すように応答のグラフが得られます。

MATLABでの定常時間の計算

MATLABでは、デフォルトの誤差範囲は2%です。異なる誤差範囲に変更するには、グラフ上で右クリック > プロパティ > オプション > 「___%以内の定常時間を表示」を選択してください。

プロパティエディタ MATLAB

ループを実行することで、もう一つの定常時間を見つける方法があります。周知のように、2%誤差範囲では、応答は0.98から1.02の間で考慮されます。

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

出力:

settling_time = 1.1886

声明：尊重原文，好文章值得分享，如有侵权请联系删除。

著者へのチップと励まし

トピック:

電力システム

制御システム

専門家について

Electrical4u

China

おすすめ

もっと

10kV配電線路における一相接地障害とその対処

単相地絡故障の特徴および検出装置1. 単相地絡故障の特徴中央警報信号:警告ベルが鳴り、『[X] kV バス区間 [Y] の地絡故障』と表示された指示灯が点灯する。ペテルセンコイル（消弧コイル）を用いて中性点を接地している系統では、『ペテルセンコイル作動中』の指示灯も点灯する。絶縁監視用電圧計の表示:地絡故障相の電圧は低下する（不完全接地の場合）またはゼロになる（完全接地の場合）。他の2相の電圧は上昇する——不完全接地では通常の相電圧より高くなり、完全接地では線間電圧まで上昇する。安定した接地状態では電圧計の針は一定に保たれるが、連続的に振動する場合は、間欠的（アーク接地）な故障である。ペテルセンコイル接地系統の場合:中性点変位電圧計が設置されている場合、不完全接地時には一定の値を示し、完全接地時には相電圧に達する。また、ペテルセンコイルの地絡警報灯も点灯する。アーク接地現象:アーク接地により過電圧が発生し、非故障相の電圧が著しく上昇する。これにより、電圧トランスフォーマ（VT）の高圧ヒューズが溶断したり、VT自体が損傷する可能性がある。2. 真の地絡故障と誤報の区別VTの高圧ヒューズ溶

Rockwill

01/30/2026

110kV～220kV電力網変圧器の中性点接地運転方式

110kV～220kVの電力網変圧器の中性点接地運転モードの配置は、変圧器の中性点の絶縁耐え要求を満たすとともに、変電所のゼロシーケンスインピーダンスが基本的に変わらないように努め、かつシステム内の任意の短絡点におけるゼロシーケンス総合インピーダンスが正シーケンス総合インピーダンスの3倍を超えないことを確保しなければならない。新設および技術改造プロジェクトにおける220kVおよび110kV変圧器の中性点接地モードは、以下の要件に厳格に従わなければならない：1. 自己変圧器自己変圧器の中性点は直接接地するか、小さなリアクタンスを介して接地する必要がある。2. 薄絶縁変圧器（未改修）未改修の薄絶縁変圧器の中性点は、直接接地されることが好ましい。3. 220kV変圧器220kV変圧器の110kV側中性点の絶縁クラスが35kVの場合、220kV側と110kV側の中性点は直接接地で運転されるべきである。変圧器の220kV側と110kV側の中性点の接地モードは同じであることが好ましく、中性点接地分離スイッチには遠隔操作機能を備えることが好ましい。220kV変電所/発電所において、1つの変圧器は中性

Vziman

01/29/2026

変電所ではなぜ石や砂利、小石、砕石を使用するのか

変電所でなぜ石や砂利、小石、砕石を使用するのか変電所では、電力変圧器や配電変圧器、送電線、電圧変換器、電流変換器、切り離しスイッチなどの設備はすべて接地が必要です。接地の範囲を超えて、ここではなぜ砂利や砕石が変電所で一般的に使用されるのかを深く掘り下げてみましょう。これらは見た目は普通ですが、重要な安全と機能的な役割を果たしています。変電所の接地設計—特に複数の接地方法が用いられる場合—には、敷地全体に砕石や砂利を敷くことがいくつかの重要な理由から行われます。変電所の敷地に砂利を敷く主な目的は、接地電位上昇（GPR）つまりステップ電圧とタッチ電圧を減らすことであり、以下のように定義されます：接地電位上昇（GPR）：変電所の接地グリッドが遠隔地の真のゼロ電位と仮定される基準点に対する最大の電気的ポテンシャル。GPRは、グリッドに入る最大の故障電流とグリッドの抵抗値の積に等しい。ステップ電圧（Eₛ）：故障電流が接地システムに入ると、通常1メートル間隔にある2つの足の間に存在する最大の電位差。特別なケースとして、転送電圧（Etransfer）があり、これは変電所内の接地構造物と外部の遠隔

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – 高速SF₆遮断器

1.定義と機能1.1 発電機回路遮断器の役割発電機回路遮断器（GCB）は、発電機と昇圧変圧器の間に位置する制御可能な切断点であり、発電機と電力網とのインターフェースとして機能します。その主な機能には、発電機側の障害を隔離し、発電機の同期および電網接続時の操作制御を行うことが含まれます。GCBの動作原理は標準的な回路遮断器と大きく異なりませんが、発電機の障害電流に存在する高DC成分により、GCBは非常に迅速に動作して障害を速やかに隔離する必要があります。1.2 発電機回路遮断器付きと無しのシステムの比較図1は、発電機回路遮断器なしのシステムで発電機障害電流を遮断する状況を示しています。図2は、発電機回路遮断器（GCB）を備えたシステムで発電機障害電流を遮断する状況を示しています。上記の比較から、発電機回路遮断器（GCB）を設置する利点は以下の通りです：発電ユニットの通常の起動と停止時に補助電源の切り替えは必要なく、発電機回路遮断器の操作だけで十分であり、発電所サービス電力の信頼性が大幅に向上します。発電機内部（つまりGCBの発電機側）に障害が発生した場合、発電機回路遮断器のみをトリップす

Garca

01/06/2026

二次系システム	減衰比 (ξ)	設定時間 (TS)
過減衰	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
非減衰	ξ = 0	$T_S = \infty$
臨界減衰	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
過減衰	ξ > 1	主要極による