زمان پایدارسازی: چیست؟ (فرمول و روش یافتن آن در MATLAB)

Electrical4u

فیلد: مقدماتی برق

China

زمان استقرار چیست؟

زمان استقرار یک سیستم دینامیکی به عنوان زمان لازم برای رسیدن خروجی به مقدار پایدار در یک حاشیه تحمل مشخص تعریف می‌شود. این زمان با T_s نشان داده می‌شود. زمان استقرار شامل تأخیر انتشار و زمان لازم برای رسیدن به منطقه مقدار نهایی است. این زمان شامل زمان بازیابی از شرایط بار زیاد که با سرعت بالا و پایداری نزدیک به حاشیه تحمل همراه است.

حاشیه تحمل، محدوده مجازی است که خروجی می‌تواند در آن استقرار یابد. معمولاً حاشیه‌های تحمل ۲٪ یا ۵٪ هستند.

زمان استقرار در پاسخ پله یک سیستم مرتبه دوم در شکل زیر نشان داده شده است.

زمان استقرار

فرمول زمان استقرار

زمان استقرار به فرکانس طبیعی و پاسخ سیستم بستگی دارد. معادله عمومی زمان استقرار به صورت زیر است؛

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

پاسخ پله سیستم مرتبه دوم به صورت زیر بیان می‌شود؛

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

این معادله به دو بخش تقسیم می‌شود؛

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

برای محاسبه زمان پایدار شدن، فقط نیاز به مؤلفه نمایی داریم که قسمت نوسانی مؤلفه سینوسی را حذف می‌کند. و کسر تحمل برابر با مؤلفه نمایی است.

$نسبه تحمل = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$نسبه تحمل \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( نسبه تحمل \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

چگونه زمان پایداری را محاسبه کنیم

برای محاسبه زمان پایداری، ما یک سیستم مرتبه اول با پاسخ پله واحد در نظر می‌گیریم.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

برای پاسخ پله واحد،

$R(s) = \frac{1}{s}$

بنابراین،

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

اکنون، مقدار A₁ و A₂ را محاسبه کنید.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

فرض کنید s = ۰؛

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

فرض کنید s = -۱/T؛

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

برای خطای ۲٪، ۱-C(t) = ۰.۰۲؛

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

این معادله زمان پایداری سیستم اولیه با ورودی پله واحد را می‌دهد.

برای سیستم مرتبه دوم، باید معادله زیر را در نظر بگیریم؛

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

در این معادله، جمله نمایی برای یافتن مقدار زمان پایداری مهم است.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

حالا، ما خطای ۲٪ را در نظر می‌گیریم. بنابراین، ۱ – C(t) = ۰.۰۲؛

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

مقدار نسبت دامپینگ (ξ) به نوع سیستم مرتبه دوم بستگی دارد. در اینجا، ما یک سیستم مرتبه دوم زیردامپ شده را در نظر می‌گیریم. و مقدار ξ بین ۰ و ۱ قرار دارد.

بنابراین، مخرج معادله فوق تقریباً برابر با ۱ است. و برای محاسبات آسان‌تر، می‌توانیم آن را نادیده بگیریم.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

این معادله فقط برای باند خطا ۲٪ و سیستم مرتبه دوم کم‌میرا قابل استفاده است.

به همین ترتیب، برای باند خطا ۵٪؛ ۱ – C(t) = ۰.۰۵؛

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

برای سیستم مرتبه دوم، قبل از یافتن زمان استقرار، باید نسبت میرایی را محاسبه کنیم.

زمان پایدارشدن در مکان هندسی ریشه‌ها

زمان پایدارشدن می‌تواند با استفاده از روش مکان هندسی ریشه‌ها محاسبه شود. زمان پایدارشدن به نسبت دمپینگ و فرکانس طبیعی بستگی دارد.

این مقادیر می‌توانند با کمک روش مکان هندسی ریشه‌ها به دست آیند. و می‌توانیم زمان پایدارشدن را پیدا کنیم.

با یک مثال بیشتر توضیح می‌دهیم.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

و فراخورش = ۲۰٪

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

از نمودار مکان هندسی ریشه‌ها، می‌توانید قطب‌های غالب را پیدا کنید؛

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

حالا، مقدار ξ و ωn را داریم،

$زمان پایداری t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = ۴٫۶۲ ثانیه$

نمودار مکان هندسی ریشه‌ها از MATLAB به دست آمده است. برای این منظور از "sisotool" استفاده کنید. در اینجا می‌توانید محدودیتی برای درصد فروریختگی برابر با ۲۰٪ اضافه کنید و قطب‌های غالب را به سادگی به دست آورید.

شکل زیر نمودار مکان هندسی ریشه‌ها از MATLAB را نشان می‌دهد.

نمونه مکان هندسی ریشه‌ها

می‌توانیم زمان پایدار شدن را با کمک MATLAB پیدا کنیم. پاسخ پله واحد این سیستم به صورت زیر نشان داده شده است.

زمان پایدار شدن در MATLAB

چگونه می‌توان زمان پایدار شدن را کاهش داد

زمان پایدار شدن، زمان لازم برای رسیدن به هدف است. و برای هر سیستم کنترلی، زمان پایدار شدن باید حداقل باشد.

کاهش زمان پایدار شدن یک کار آسان نیست. باید یک کنترل‌کننده طراحی کنیم تا زمان پایدار شدن کاهش یابد.

همانطور که می‌دانیم، سه نوع کنترل‌کننده وجود دارد؛ تناسبی (P)، انتگرال (I)، مشتق (D). با ترکیب این کنترل‌کننده‌ها، می‌توانیم نیازهای سیستم خود را برآورده کنیم.

پارامترهای کنترل‌کننده (KP, KI, KD) بر اساس نیازهای سیستم انتخاب می‌شوند.

افزایش پارامتر تناسبی KP، منجر به تغییر کوچک در زمان پایدار شدن می‌شود. افزایش پارامتر انتگرال KI، زمان پایدار شدن را افزایش می‌دهد. و افزایش پارامتر مشتق KD، زمان پایدار شدن را کاهش می‌دهد.

بنابراین، کسب میزان مشتق افزایش می‌یابد تا زمان تنظیم کاهش یابد. در هنگام انتخاب مقادیر کسب کنترل‌کننده PID، ممکن است به سایر مقادیر نیز تأثیر بگذارد مانند زمان بالارفتن، فرازگذری و خطای حالت پایدار.

چگونه می‌توان زمان رسیدن به حالت پایدار را در MATLAB پیدا کرد

در MATLAB، می‌توان زمان رسیدن به حالت پایدار را با استفاده از تابع پله محاسبه کرد. بیایید با یک مثال آن را درک کنیم.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

ابتدا، ما زمان رسیدن به حالت پایدار را با استفاده از معادله محاسبه می‌کنیم. برای این منظور، این تابع انتقال را با تابع انتقال عمومی سیستم مرتبه دوم مقایسه می‌کنیم.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

بنابراین،

$۲ \zeta \omega_n = ۶$

$\zeta \omega_n = ۳$

$زمان استقرار (t_s) = \frac{۴}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{۴}{۳}$

$t_s = 1.33 sec$

این مقدار یک مقدار تقریبی است زیرا ما در محاسبه معادله زمان پایدار شدن فرض‌هایی را در نظر گرفته‌ایم. اما در MATLAB، مقدار دقیق زمان پایدار شدن را به دست می‌آوریم. بنابراین، این مقدار ممکن است در هر دو حالت کمی متفاوت باشد.

حال برای محاسبه زمان پایدار شدن در MATLAB، از تابع step استفاده می‌کنیم.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

خروجی:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

و شما نمودار پاسخ را مشابه شکل زیر دریافت می‌کنید.

محاسبه زمان پایدار شدن در MATLAB

در MATLAB، به طور پیش‌فرض، درصد باند خطا 2٪ است. شما می‌توانید این مقدار را در نمودار برای باندهای خطای مختلف تغییر دهید. برای این منظور، روی نمودار کلیک راست کنید > ویژگی‌ها > گزینه‌ها > "نمایش زمان پایدار شدن در ___ %".

ویرایشگر ویژگی MATLAB

راه دیگری برای یافتن زمان رسیدن به حالت ماندگار با اجرای یک حلقه. همانطور که می‌دانیم، برای نوار خطا ۲٪، پاسخ بین ۰.۹۸ تا ۱.۰۲ را در نظر می‌گیریم.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

خروجی:

زمان رسیدن به حالت ماندگار = 1.1886

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی است که شایسته به اشتراک گذاشته شوند، اگر تخلفی وجود داشته باشد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

سیستم‌های برق

سیستم‌های کنترل

درباره متخصصان

Electrical4u

China

توصیه شده

بیشتر

چه احتیاطات و دستورالعمل‌های ایمنی برای استفاده از بانک‌های بار متناوب وجود دارد؟

بانک‌های بار متناوب دستگاه‌های الکتریکی هستند که برای شبیه‌سازی بارهای واقعی استفاده می‌شوند و در سیستم‌های توان، سیستم‌های ارتباطات، سیستم‌های کنترل خودکار و زمینه‌های دیگر به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای اطمینان از ایمنی شخصی و تجهیزات در حین استفاده، موارد زیر باید رعایت شوند:انتخاب بانک بار متناسب: بانک بار متناوب مناسب را انتخاب کنید که نیازهای واقعی را برآورده کند و ظرفیت، ولتاژ و پارامترهای دیگر آن برای کاربرد مورد نظر مناسب باشد. علاوه بر این، محصولاتی با ضمانت کیفیت و گوا

Echo

11/06/2025

چه چیزهایی در نصب جفت دمايی نوع K باید مورد توجه قرار گیرد

دقت در نصب دماسنج‌های نوع K برای تضمین دقت سنجش و افزایش طول عمر کاری بسیار مهم است. زیرا معرفی رهنمودهای نصب دماسنج‌های نوع K از منابع معتبر عالی:۱. انتخاب و بازرسی انتخاب نوع دماسنج مناسب: بر اساس محدوده دما، خواص محیط و دقت مورد نیاز سنجش، دماسنج صحیح را انتخاب کنید. دماسنج‌های نوع K برای دماهای محدوده -۲۰۰ درجه سانتیگراد تا ۱۳۷۲ درجه سانتیگراد مناسب هستند و می‌توانند در محیط‌ها و محیط‌های مختلف مورد استفاده قرار گیرند. بازرسی ظاهر دماسنج: قبل از نصب، دماسنج را به دقت برای هرگونه آسیب، شکاف ی

James

11/06/2025

علل و اقدامات پیشگیرانه آتش سوزی و انفجار در شیرکننده های روغنی

دلایل آتش‌سوزی و انفجار در قطعکننده‌های روغنی وقتی سطح روغن در یک قطعکننده روغنی خیلی پایین است، لایه روغنی که بر روی تماس‌ها قرار دارد خیلی نازک می‌شود. تحت تأثیر قوس الکتریکی، روغن تجزیه شده و گازهای قابل اشتعال را آزاد می‌کند. این گازها در فضای زیر پوشش بالایی جمع می‌شوند و با هوا مخلوط شده تا یک مخلوط انفجاری تشکیل دهند که می‌تواند در دمای بالا به آتش‌سوزی یا انفجار منجر شود. اگر سطح روغن درون ظرف خیلی بالا باشد، گازهای آزاد شده فضای محدودی برای گسترش دارند که می‌تواند منجر به فشار داخلی بیش

Felix Spark

11/06/2025

استانداردهای خطای اندازه‌گیری THD برای سیستم‌های برق

خطای تحمل تحریف هارمونیک کل (THD): تجزیه و تحلیل جامع بر اساس سناریوهای کاربرد، دقت تجهیزات و استانداردهای صنعتیمحدوده قابل قبول خطا برای تحریف هارمونیک کل (THD) باید بر اساس زمینه‌های کاربرد خاص، دقت تجهیزات اندازه‌گیری و استانداردهای صنعتی قابل اعمال ارزیابی شود. در ادامه تجزیه و تحلیل دقیق شاخص‌های عملکرد کلیدی در سیستم‌های برق، تجهیزات صنعتی و کاربردهای اندازه‌گیری عمومی آورده شده است.1. استانداردهای خطای هارمونیک در سیستم‌های برق1.1 نیازمندی‌های استاندارد ملی (GB/T 14549-1993) THD ولتاژ (TH

Edwiin

11/03/2025

دستگاه مرتبه دوم	نسبت میرایی (ξ)	زمان تنظیم (TS)
میرایی کمتر از بحرانی	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
بدون میرا	ξ = 0	$T_S = \infty$
میرایی بحرانی	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
میرایی بیش از بحرانی	ξ > 1	بستگی به قطب غالب دارد