Panahon ng Pagkakatawan: Ano ito? (Pormula at Paano Ito Makuha sa MATLAB)

Electrical4u

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Settling Time?

Ang settling time ng isang dynamic na sistema ay inilalarawan bilang ang oras na kailangan para sa output na maabot at maging steady sa loob ng isang ibinigay na tolerance band. Ito ay ipinapakita bilang Ts. Ang settling time ay binubuo ng propagation delay at oras na kailangan para maabot ang rehiyon ng huling halaga nito. Ito ay kasama ang oras upang makabawi mula sa overload condition na may slew at steady malapit sa tolerance band.

Ang tolerance band ay ang pinakamataas na range na pinapayagan kung saan ang output ay maaaring mag-settle. Karaniwan, ang tolerance bands ay 2% o 5%.

Ang settling time sa step response ng isang second-order system ay tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Settling Time

Formula ng Settling Time

Ang settling time ay depende sa natural frequency at response ng sistema. Ang pangkalahatang equation ng settling time ay;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Ang unit step response ng second order system ay ipinapahayag bilang;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ang ekwasyon na ito ay nahahati sa dalawang bahagi;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para makalkula ang oras ng pagtakda, kailangan lamang natin ang eksponensyal na komponente dahil ito ang nagpapatalsik ng osilatoryong bahagi ng sinusoidal na komponente. At ang toleransya na bahagi ay katumbas ng eksponensyal na komponente.

$Bahagdang bahagi = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Bahagdang bahagi \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Bahagdang bahagi \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Paano I-compute ang Settling Time

Upang i-compute ang settling time, inaangkin natin ang first order system na may unit step response.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para sa unit step response,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Kaya,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ngayon, kalkulahin ang halaga para sa A1 at A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Ipaglabas na s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Ipaglabas na s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para sa 2% error, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ang ekwasyon na ito ay nagbibigay ng oras ng pag-settle para sa unang order system na may unit step input.

Para sa ikalawang order system, kailangan nating isaalang-alang ang sumusunod na ekwasyon;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Sa ekwasyong ito, ang exponential term ay mahalaga upang mahanap ang halaga ng oras ng pag-settle.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ngayon, inuuri natin ang 2% error. Kaya, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ang halaga ng damping ratio (ξ) ay depende sa uri ng ikalawang order na sistema. Dito, inuuri natin ang underdamped ikalawang order na sistema. At ang halaga ng ξ ay nasa pagitan ng 0 at 1.

Kaya, ang denominator ng itaas na ekwasyon ay halos katumbas ng 1. At upang gawing mas madali ang kalkulasyon, maaari nating i-neglect ito.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ang ekwasyon na ito ay maaaring gamitin lamang para sa 2% error band at underdamped second order system.

Kaparehas, para sa 5% error band; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para sa sistema ng ikalawang order, bago makalkula ang settling time, kailangan nating i-compute ang damping ratio.

Panahon ng Pagkakatawan sa Root Locus

Ang panahon ng pagkakatawan ay maaaring makalkula gamit ang paraan ng root locus. Ang panahon ng pagkakatawan ay nanggagamit sa ratio ng damping at natural na frequency.

Ang mga bilang na ito ay maaaring matukoy sa tulong ng paraan ng root locus. At maaari nating mahanap ang panahon ng pagkakatawan.

Sundin natin ang isang halimbawa.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

At Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Mula sa root locus plot, maaari mong makita ang mga dominant poles;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ngayon, mayroon na tayo sa halaga ng ξ at ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Ang plot ng root locus ay nakuha mula sa MATLAB. Para dito, gamitin ang "sisotool". Dito, maaari kang magdagdag ng isang constraint para sa porsiyento ng overshoot na katumbas ng 20%. At makuha ang dominant poles nang madali.

Ang sumusunod na larawan ay nagpapakita ng plot ng root locus mula sa MATLAB.

Halimbawa ng Root Locus

Maaari nating matukoy ang oras ng pagkakataon sa tulong ng MATLAB. Ang tugon ng yunit na hakbang para sa sistema na ito ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Oras ng Pagkakataon sa MATLAB

Paano Bawasan ang Oras ng Pagkakataon

Ang oras ng pagkakataon ay ang oras na kinakailangan upang maabot ang layunin. At para sa anumang sistema ng kontrol, kailangang i-keep ang oras ng pagkakataon sa minimum.

Hindi madali ang pagbabawas ng oras ng pagkakataon. Kailangan nating magdisenyo ng controller upang bawasan ang oras ng pagkakataon.

Bilang alam natin, may tatlong controller; proportional (P), integral (I), at derivative (D). Sa pamamagitan ng kombinasyon ng mga controller na ito, maaari nating maabot ang aming pangangailangan para sa sistema.

Ang gain ng mga controller (KP, KI, KD) ay pinipili batay sa pangangailangan ng sistema.

Ang pagtaas ng proportional gain KP, nagresulta sa maliit na pagbabago sa oras ng pagkakataon. Ang pagtaas ng integral gain KI, ang oras ng pagkakataon ay tumataas. At ang pagtaas ng derivative gain KD, ang oras ng pagkakataon ay bumababa.

Kaya, ang derivative gain ay tumataas upang mabawasan ang setting time. Habang pinipili ang mga halaga ng gain para sa PID controller, maaari itong makaapekto sa iba pang mga bilang tulad ng rise time, overshoot, at Steady-state error.

Kamusta Makuha ang Settling Time sa MATLAB

Sa MATLAB, maaaring makuha ang settling time gamit ang step function. Unawain natin sa pamamagitan ng isang halimbawa.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Una, kalkulahin natin ang settling time gamit ang equation. Para dito, ikumpara ang transfer function na ito sa pangkalahatang transfer function ng second order system.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Kaya,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ang halagang ito ay isang tinatayang halaga dahil may mga suposisyong ginamit namin habang nakakalkula ng ekwasyon para sa oras ng pagkakatawan. Ngunit sa MATLAB, nakukuha natin ang eksaktong halaga ng oras ng pagkakatawan. Kaya, maaaring magkaiba ang halagang ito sa parehong kaso.

Ngayon, upang makalkula ang oras ng pagkakatawan sa MATLAB, ginagamit natin ang step function.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

At makikita mo ang graph ng response tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Pagkalkula ng oras ng pagkakatawan sa MATLAB

Sa MATLAB, ang default na porsiyento ng band ng error ay 2%. Maaari kang baguhin ito sa graph para sa iba't ibang band ng error. Para dito, i-right-click mo ang graph > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Tagapag-edit ng Arian MATLAB

Isang paraan upang makahanap ng settling time sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng isang loop. Bilang alamin, para sa 2% error band, itinuturing natin ang response sa pagitan ng 0.98 hanggang 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Pahayag: Igalang ang original, mabubuti na artikulo ang karapat-dapat na i-share, kung may pagsasaraan ng karapatan makipag-ugnayan upang burahin.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607

Inirerekomenda

Higit pa

Ano ang mga pambabala at gabay sa paggamit ng AC load banks?

Ang mga AC load banks ay mga aparato na ginagamit para simulan ang tunay na mga load at malawakang ginagamit sa mga sistema ng enerhiya, sistema ng komunikasyon, sistema ng awtomatikong kontrol, at iba pang larangan. Upang matiyak ang kaligtasan ng personal at kagamitan sa panahon ng paggamit, kailangang sundin ang sumusunod na mga pagsasadya at gabay sa kaligtasan:Pumili ng angkop na AC load bank: Pumili ng AC load bank na tumutugon sa aktwal na pangangailangan, tiyakin na ang kapasidad nito, r

Echo

11/06/2025

Anong dapat tandaan sa pag-install ng Type K thermocouple?

Ang mga pag-iingat sa pag-install ng Type K thermocouple ay mahalaga para masigurong tama ang pagsukat at mapahaba ang serbisyo. Narito ang ilang pamantayan sa pag-install ng Type K thermocouples mula sa may pinakamataas na awtoridad:1. Pagpili at Pagsusuri Pumili ng tamang uri ng thermocouple: Pumili ng wastong thermocouple batay sa saklaw ng temperatura, katangian ng medium, at kinakailangang katumpakan ng pagsukat. Ang Type K thermocouples ay angkop para sa temperatura na -200°C hanggang 1372

James

11/06/2025

Mga Dahilan at Pagsasagawa ng Mga Pamprebyensiyong Paraan Laban sa Sunog at Pagsabog sa mga Oil Circuit Breaker

Mga Dahilan ng Apoy at Pagsabog sa mga Oil Circuit Breaker Kapag ang antas ng langis sa isang oil circuit breaker ay masyadong mababa, ang layer ng langis na nakakalat sa mga contact ay naging masyadong manipis. Sa epekto ng electric arc, ang langis ay nag-discompose at naglalabas ng mga flammable gases. Ang mga gas na ito ay nakakalat sa puwang sa ilalim ng tuktok na takip, na pinaghahalo sa hangin upang bumuo ng explosive mixture, na maaaring mag-apoy o magsabog sa mataas na temperatura. Kung

Felix Spark

11/06/2025

Pamantayan ng Kagalian sa Pagsukat ng THD para sa mga Sistemang Pampanganggihan

Paghahanda ng Error sa Total Harmonic Distortion (THD): Isang Komprehensibong Pagsusuri Batay sa mga Sitwasyon ng Paggamit, Katumpakan ng Kagamitan, at Pamantayan ng IndustriyaAng tanggap na saklaw ng error para sa Total Harmonic Distortion (THD) ay dapat pagsusuriin batay sa tiyak na konteksto ng paggamit, katumpakan ng kagamitan ng pagsukat, at mga aplikableng pamantayan ng industriya. Narito ang detalyadong pagsusuri ng mga pangunahing indikador ng pagganap sa mga sistema ng enerhiya, kagamit

Edwiin

11/03/2025

Sistema ng Ikalawang-Order	Rasyo ng Pag-damp (ξ)	Setting Time (TS)
Underdamped	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undamped	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critical damped	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdamp	ξ > 1	Nakasalalay sa dominant na pole