Panahon ng Pagkakatawan: Ano ito? (Pormula at Paano Ito Makuha sa MATLAB)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Settling Time?

Ang settling time ng isang dynamic na sistema ay inilalarawan bilang ang oras na kailangan para sa output na maabot at maging steady sa loob ng isang ibinigay na tolerance band. Ito ay ipinapakita bilang Ts. Ang settling time ay binubuo ng propagation delay at oras na kailangan para maabot ang rehiyon ng huling halaga nito. Ito ay kasama ang oras upang makabawi mula sa overload condition na may slew at steady malapit sa tolerance band.

Ang tolerance band ay ang pinakamataas na range na pinapayagan kung saan ang output ay maaaring mag-settle. Karaniwan, ang tolerance bands ay 2% o 5%.

Ang settling time sa step response ng isang second-order system ay tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Settling Time

Formula ng Settling Time

Ang settling time ay depende sa natural frequency at response ng sistema. Ang pangkalahatang equation ng settling time ay;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Ang unit step response ng second order system ay ipinapahayag bilang;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ang ekwasyon na ito ay nahahati sa dalawang bahagi;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Para makalkula ang oras ng pagtakda, kailangan lamang natin ang eksponensyal na komponente dahil ito ang nagpapatalsik ng osilatoryong bahagi ng sinusoidal na komponente. At ang toleransya na bahagi ay katumbas ng eksponensyal na komponente.

$Bahagdang bahagi = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Bahagdang bahagi \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Bahagdang bahagi \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Paano I-compute ang Settling Time

Upang i-compute ang settling time, inaangkin natin ang first order system na may unit step response.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para sa unit step response,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Kaya,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ngayon, kalkulahin ang halaga para sa A1 at A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Ipaglabas na s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Ipaglabas na s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para sa 2% error, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ang ekwasyon na ito ay nagbibigay ng oras ng pag-settle para sa unang order system na may unit step input.

Para sa ikalawang order system, kailangan nating isaalang-alang ang sumusunod na ekwasyon;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Sa ekwasyong ito, ang exponential term ay mahalaga upang mahanap ang halaga ng oras ng pag-settle.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ngayon, inuuri natin ang 2% error. Kaya, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ang halaga ng damping ratio (ξ) ay depende sa uri ng ikalawang order na sistema. Dito, inuuri natin ang underdamped ikalawang order na sistema. At ang halaga ng ξ ay nasa pagitan ng 0 at 1.

Kaya, ang denominator ng itaas na ekwasyon ay halos katumbas ng 1. At upang gawing mas madali ang kalkulasyon, maaari nating i-neglect ito.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ang ekwasyon na ito ay maaaring gamitin lamang para sa 2% error band at underdamped second order system.

Kaparehas, para sa 5% error band; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para sa sistema ng ikalawang order, bago makalkula ang settling time, kailangan nating i-compute ang damping ratio.

Panahon ng Pagkakatawan sa Root Locus

Ang panahon ng pagkakatawan ay maaaring makalkula gamit ang paraan ng root locus. Ang panahon ng pagkakatawan ay nanggagamit sa ratio ng damping at natural na frequency.

Ang mga bilang na ito ay maaaring matukoy sa tulong ng paraan ng root locus. At maaari nating mahanap ang panahon ng pagkakatawan.

Sundin natin ang isang halimbawa.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

At Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Mula sa root locus plot, maaari mong makita ang mga dominant poles;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ngayon, mayroon na tayo sa halaga ng ξ at ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Ang plot ng root locus ay nakuha mula sa MATLAB. Para dito, gamitin ang "sisotool". Dito, maaari kang magdagdag ng isang constraint para sa porsiyento ng overshoot na katumbas ng 20%. At makuha ang dominant poles nang madali.

Ang sumusunod na larawan ay nagpapakita ng plot ng root locus mula sa MATLAB.

Halimbawa ng Root Locus

Maaari nating matukoy ang oras ng pagkakataon sa tulong ng MATLAB. Ang tugon ng yunit na hakbang para sa sistema na ito ay ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Oras ng Pagkakataon sa MATLAB

Paano Bawasan ang Oras ng Pagkakataon

Ang oras ng pagkakataon ay ang oras na kinakailangan upang maabot ang layunin. At para sa anumang sistema ng kontrol, kailangang i-keep ang oras ng pagkakataon sa minimum.

Hindi madali ang pagbabawas ng oras ng pagkakataon. Kailangan nating magdisenyo ng controller upang bawasan ang oras ng pagkakataon.

Bilang alam natin, may tatlong controller; proportional (P), integral (I), at derivative (D). Sa pamamagitan ng kombinasyon ng mga controller na ito, maaari nating maabot ang aming pangangailangan para sa sistema.

Ang gain ng mga controller (KP, KI, KD) ay pinipili batay sa pangangailangan ng sistema.

Ang pagtaas ng proportional gain KP, nagresulta sa maliit na pagbabago sa oras ng pagkakataon. Ang pagtaas ng integral gain KI, ang oras ng pagkakataon ay tumataas. At ang pagtaas ng derivative gain KD, ang oras ng pagkakataon ay bumababa.

Kaya, ang derivative gain ay tumataas upang mabawasan ang setting time. Habang pinipili ang mga halaga ng gain para sa PID controller, maaari itong makaapekto sa iba pang mga bilang tulad ng rise time, overshoot, at Steady-state error.

Kamusta Makuha ang Settling Time sa MATLAB

Sa MATLAB, maaaring makuha ang settling time gamit ang step function. Unawain natin sa pamamagitan ng isang halimbawa.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Una, kalkulahin natin ang settling time gamit ang equation. Para dito, ikumpara ang transfer function na ito sa pangkalahatang transfer function ng second order system.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Kaya,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ang halagang ito ay isang tinatayang halaga dahil may mga suposisyong ginamit namin habang nakakalkula ng ekwasyon para sa oras ng pagkakatawan. Ngunit sa MATLAB, nakukuha natin ang eksaktong halaga ng oras ng pagkakatawan. Kaya, maaaring magkaiba ang halagang ito sa parehong kaso.

Ngayon, upang makalkula ang oras ng pagkakatawan sa MATLAB, ginagamit natin ang step function.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

At makikita mo ang graph ng response tulad ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Pagkalkula ng oras ng pagkakatawan sa MATLAB

Sa MATLAB, ang default na porsiyento ng band ng error ay 2%. Maaari kang baguhin ito sa graph para sa iba't ibang band ng error. Para dito, i-right-click mo ang graph > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Tagapag-edit ng Arian MATLAB

Isang paraan upang makahanap ng settling time sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng isang loop. Bilang alamin, para sa 2% error band, itinuturing natin ang response sa pagitan ng 0.98 hanggang 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Pahayag: Igalang ang original, mabubuti na artikulo ang karapat-dapat na i-share, kung may pagsasaraan ng karapatan makipag-ugnayan upang burahin.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607

Inirerekomenda

Higit pa

Mga Kamalian at Pamamaraan sa Paggamot ng Single-phase Grounding sa 10kV Distribution Lines

Mga Katangian at mga Device na Paggamit sa Pagkakakilanlan ng Single-Phase Ground Fault1. Mga Katangian ng Single-Phase Ground FaultMga Signal ng Sentral na Alarm:Tumutunog ang bell ng babala, at nag-iilaw ang indicator lamp na may label na “Ground Fault sa [X] kV Bus Section [Y].” Sa mga sistema na may Petersen coil (arc suppression coil) na nakakonekta sa neutral point, nag-iilaw din ang indicator na “Petersen Coil Operated.”Mga Indikasyon ng Insulation Monitoring Voltmeter:Bumababa ang voltag

Rockwill

01/30/2026

Pamamaraan ng pag-ground ng neutral point para sa 110kV～220kV power grid transformers

Ang pagkakasunod-sunod ng mga paraan ng pag-ground ng neutral point sa mga transformer ng power grid na 110kV～220kV ay dapat tugunan ang mga pangangailangan ng insulation withstand ng mga neutral points ng mga transformer, at kailangang ito ring panatilihin ang zero-sequence impedance ng mga substation na hindi masyadong nagbabago, habang sinisigurado na ang zero-sequence comprehensive impedance sa anumang short-circuit point sa sistema ay hindi liliit ng tatlong beses ang positive-sequence comp

Vziman

01/29/2026

Bakit Gumagamit ng Bato Gravel Pebbles at Crushed Rock ang mga Substation?

Bakit Gumagamit ng Bato, Gravel, Pebbles, at Crushed Rock ang mga Substation?Sa mga substation, ang mga kagamitan tulad ng power at distribution transformers, transmission lines, voltage transformers, current transformers, at disconnect switches ay nangangailangan ng pag-ground. Sa labas ng pag-ground, susuriin natin nang mas malalim kung bakit karaniwang ginagamit ang gravel at crushed stone sa mga substation. Bagama't tila ordinaryo lang sila, ang mga bato na ito ay gumaganap ng mahalagang pap

Echo

01/29/2026

HECI GCB para sa Mga Generator – Mabilis na SF₆ Circuit Breaker

1. Paglalarawan at Paggamit1.1 Tungkulin ng Generator Circuit BreakerAng Generator Circuit Breaker (GCB) ay isang kontroladong punto ng paghihiwalay na matatagpuan sa pagitan ng generator at ng step-up transformer, na nagbibigay ng interface sa pagitan ng generator at ng grid ng kuryente. Ang mga pangunahing tungkulin nito ay kasama ang paghihiwalay ng mga pagkakamali sa gilid ng generator at pagbibigay ng operasyonal na kontrol sa panahon ng sinkronisasyon ng generator at koneksyon sa grid. Ang

Garca

01/06/2026

Sistema ng Ikalawang-Order	Rasyo ng Pag-damp (ξ)	Setting Time (TS)
Underdamped	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undamped	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critical damped	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdamp	ξ > 1	Nakasalalay sa dominant na pole