Steltyd: Wat is dit? (Formule en Hoe om dit in MATLAB te vind)

Electrical4u

Veld: Basiese Elektriese

China

Wat is Settling Time?

Die settling time van 'n dinamiese stelsel word gedefinieer as die tyd wat benodig word vir die uitset om te bereik en binne 'n gegewe toleransieband vas te stel. Dit word aangedui as Ts. Die settling time sluit propagasiedeeltyd en die tyd in om die gebied van sy finale waarde te bereik. Dit sluit ook die tyd in om oorlaadbystand te herstel, gekoppel met slew en stabilisering naby die toleransieband.

Die toleransieband is die maksimum toelaatbare reeks waarbinne die uitset kan vestig. Algemene toleransiebande is 2% of 5%.

Settling time in stapreaksie van 'n tweedegraadse stelsel word soos in die onderstaande figuur getoon.

Settling Time

Settling Time Formule

Settling time hang af van natuurlike frekwensie en reaksie van die stelsel. Die algemene vergelyking vir settling time is;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Die eenheidsstapreaksie van 'n tweedegraadse stelsel word uitgedruk as;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Hierdie vergelyking verdeel in twee dele;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Om die vestigingstyd te bereken, het ons net die eksponensiële komponent nodig, want dit kanselleer die osilleerbare deel van die sinusoidale komponent. En die toleransiefraksie is gelyk aan die eksponensiële komponent.

$Toleransie \, breuk = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleransie \, breuk \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleransie \, breuk \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hoe om Stilstandstyd te Bereken

Om stilstandstyd te bereken, oorweeg ons 'n eerste orde stelsel met 'n eenheidskrapreaksie.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Vir 'n eenheidskrapreaksie,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dus,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Bereken nou die waarde vir A1 en A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Veronderstel s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Veronderstel s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Vir 'n fout van 2%, is 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Hierdie vergelyking gee die vestigingstyd vir 'n eerste orde stelsel met 'n eenheidstrap invoer.

Vir 'n tweede orde stelsel, moet ons die volgende vergelyking oorweeg;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In hierdie vergelyking is die eksponensiële term belangrik om die waarde van die vestigingstyd te vind.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nou, ons oorweeg 'n 2% fout. Daarom, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Die waarde van die dempingverhouding (ξ) hang af van die tipe tweede orde stelsel. Hier oorweeg ons 'n ondergedemp tweede orde stelsel. En die waarde van ξ lê tussen 0 en 1.

So, die noemer van die bostaande vergelyking is naby gelyk aan 1. En om dit maklik te bereken, kan ons dit verwaarloos.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Hierdie vergelyking kan slegs gebruik word vir 'n 2% fouteband en ondergedempde tweede-orde stelsel.

Soortgelyk, vir 'n 5% fouteband; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Vir 'n tweede orde stelsel, moet ons die dempingverhouding bereken voordat ons die vestigtyd vind.

Wortelposisietyd

Stabiliserings tyd kan bereken word deur die wortelposiemetode. Stabiliserings tyd hang af van die dempingverhouding en natuurlike frekwensie.

Hierdie groothede kan afgelei word met behulp van die wortelposiemetode. En ons kan die stabiliserings tyd vind.

Laat ons dit verstaan met 'n voorbeeld.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

En Overshot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Vanaf die wortelbaanplot; kan jy die dominante pole vind;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nou het ons die waarde van ξ en ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Die wortellocusgrafiek word afgelei vanuit MATLAB. Vir dit gebruik “sisotool”. Hier kan jy 'n beperking vir die persentasie oorskiet van 20% byvoeg en gemaklik dominante poolpunte kry.

Die onderstaande figuur wys die wortellocusgrafiek vanuit MATLAB.

Voorbeeld van wortellocus

Ons kan die stelseltyd met behulp van MATLAB vind. Die eenheidsstapreaksie van hierdie stelsel is soos in die onderstaande figuur gewys.

Stabiliseringstyd in MATLAB

Hoe om die stabiliseringstyd te verminder

Die stabiliseringstyd is die tyd wat benodig word om die doelwit te bereik. En vir enige beheerstelsel moet die stabiliseringstyd minimaal gehou word.

Die stabiliseringstyd te verminder is nie 'n eenvoudige taak nie. Ons moet 'n beheereenheid ontwerp om die stabiliseringstyd te verminder.

Soos ons weet, is daar drie beheereenhede; proporsioneel (P), integraal (I), afgeleide (D). Met 'n kombinasie van hierdie beheereenhede, kan ons die vereistes van die stelsel bereik.

Die versterkings van die beheereenhede (KP, KI, KD) word volgens die stelselvereistes gekies.

'n Toename in die proporsionele versterking KP lei tot 'n klein verandering in die stabiliseringstyd. 'n Toename in die integrale versterking KI lei tot 'n toename in die stabiliseringstyd. En 'n toename in die afgeleide versterking KD lei tot 'n afname in die stabiliseringstyd.

Daarom neem die afgeleide versterking toe om die insteltyd te verminder. By die keuse van die versterkingswaardes van die PID-bestuurder kan dit ook ander groothede soos opstygtyd, oorskoot en Stasionêre fout beïnvloed.

Hoe om Insteltyd in MATLAB te vind

In MATLAB kan insteltyd deur 'n stapfunksie gevind word. Laat ons dit verstaan deur middel van 'n voorbeeld.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Eerstens bereken ons die insteltyd deur middel van 'n vergelyking. Hiervoor vergelyk ons hierdie oorgangsfunksie met die algemene oorgangsfunksie van 'n tweede-orde stelsel.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Dus,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Hierdie waarde is 'n benaderde waarde, aangesien ons aannames geneem het ter berekening van die vergelyking vir die vestigingstyd. Maar in MATLAB kry ons die presiese waarde van die vestigingstyd. Dus, hierdie waarde kan in albei gevalle liggies verskil.

Nou, om die vestigingstyd in MATLAB te bereken, gebruik ons die stapfunksie.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Uitset:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

En jy kry 'n grafiek van die reaksie soos in die onderstaande figuur gewys.

Vestigingstyd berekening in MATLAB

In MATLAB is die standaard foutmarge 2%. Jy kan hierdie verander in die grafiek vir 'n verskillende foutmarge. Hiervoor kan jy met die regterkliks op die grafiek > eienskappe > opsies > "toon vestigingstyd binne ___ %".

Eienskap Redakteur MATLAB

'n Ander manier om die stabiliseringstyd te vind deur 'n lus uit te voer. Soos ons weet, vir die 2% foutband, beskou ons die reaksie tussen 0.98 en 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Uitset:

settling_time = 1.1886

Verklaring: Respekteer die origineel, goeie artikels is deelbaar, as dit inbreuk maak kontak vir verwydering.

Gee 'n fooitjie en moedig die outeur aan!

Onderwerpe:

Kragstelsels

Stuurbesturingstelsels

Oor deskundiges

Electrical4u

China

Kundigheidsgebied

Basic Electrical

Professionele artikel

607

Aanbevole

Meer

Wat is die veiligheidsvoorsorge en riglyne vir die gebruik van AC laadbanks?

AC-laeastels is elektriese toestelle wat gebruik word om werklike lae te simuleer en word wyd toegepas in kragstelsels, kommunikasie-stelsels, outomatiseringbeheerstelsels en ander velde. Om persoonlike en toerustingveiligheid tydens gebruik te verseker, moet die volgende veiligheidsvoorsorgmaatreëls en riglyne nagekom word:Kies 'n geskikte AC-laeastel: Kies 'n AC-laeastel wat aan die werklike vereistes voldoen, en verseker dat sy kapasiteit, spanningsbeoordeling en ander parameters die beoogde

Echo

11/06/2025

Wat moet opgemerk word wanneer 'n Tipe K termiese koppel geïnstalleer word?

Die installasie van Maatstaf K termokoppels is krities om die akkuraatheid van temperatuurmetings te verseker en die leeftyd te verleng. Hier is 'n inleiding tot die installasie-riël vir Maatstaf K termokoppels, saamgestel uit hoogs outoritiewe bronne:1. Keuse en Inspeksie Kies die gepaste termokoppel: Kies die regte termokoppel op grond van die temperatuurbereik, mediumeienskappe, en vereiste akkuraatheid van die metingomgewing. Maatstaf K termokoppels is geskik vir temperature van -200°C tot 1

James

11/06/2025

Oorsake en voorkomende maatreëls van brand en ontploffing in oliesirkuitskringers

Oorsake van Brand en Eksplosie in Oliekruisbrekers Wanneer die olievlak in 'n olikruisbreker te laag is, word die olie-laag wat die kontakte bedek, te dun. Onder die effek van die elektriese boog, dekomposeer die olie en vrylaat brandbare gasse. Hierdie gasse hoope op in die ruimte onder die bo-kap, meng met lug om 'n eksplosiewe mengsel te vorm, wat kan ontsteek of ontplof onder hoë temperatuur. As die olievlak binne die tanke te hoog is, het die vrygelate gasse beperkte ruimte om uit te brei,

Felix Spark

11/06/2025

Foutstandaarde vir THD-meting in kragstelsels

Fouttoleransie van Totaal Harmoniese Verstoring (THD): 'n Omvattende Analise Gebaseer op Toepassingsomstandighede, Instrumentakkuraatheid en BedryfsstandaardeDie aanvaarbare foutreeks vir Totaal Harmoniese Verstoring (THD) moet op spesifieke toepassingskontekste, meetinstrumentakkuraatheid en toepaslike bedryfsstandaarde beoordeel word. Hier is 'n gedetailleerde analise van sleutelleistings in kragstelsels, industriële toerusting en algemene meettoepassings.1. Harmoniese Foutstandaarde in Kragst

Edwiin

11/03/2025

Tweede-orde Sisteem	Dempingsverhouding (ξ)	Steltyd (TS)
Ondergedempt	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ongedempt	ξ = 0	$T_S = \infty$
Krities gedempt	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Oorgedempt	ξ > 1	Hang af van dominante pool