Waktu Setel: Apa itu? (Rumus dan Cara Mencarinya di MATLAB)

Electrical4u

Bidang: Listrik Dasar

China

Apa itu Waktu Setel?

Waktu setel dari sistem dinamis didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan untuk output mencapai dan stabil dalam toleransi band tertentu. Hal ini ditandai dengan Ts. Waktu setel terdiri dari penundaan propagasi dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai wilayah nilai akhirnya. Ini termasuk waktu untuk pulih dari kondisi overload yang dikombinasikan dengan slew dan stabil dekat dengan toleransi band.

Toleransi band adalah rentang maksimum yang diizinkan di mana output dapat menetap. Secara umum, toleransi band adalah 2% atau 5%.

Waktu setel dalam respons step dari sistem orde kedua ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Waktu Setel

Rumus Waktu Setel

Waktu setel bergantung pada frekuensi alami dan respons sistem. Persamaan umum dari waktu setel adalah;

$T_S = \frac{ln(faksi \, toleransi)}{rasio \, redaman \times Frekuensi \, alami}$

Respons langkah satuan dari sistem orde kedua dinyatakan sebagai;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Persamaan ini dibagi menjadi dua bagian;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Untuk menghitung waktu settling, kita hanya membutuhkan komponen eksponensial karena itu menghilangkan bagian osilasi dari komponen sinusoidal. Dan fraksi toleransi sama dengan komponen eksponensial.

$Fraksi toleransi = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fraksi toleransi \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fraksi toleransi \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Cara Menghitung Waktu Settling

Untuk menghitung waktu settling, kita mempertimbangkan sistem orde pertama dengan respons langkah satuan.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Untuk respons langkah satuan,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Oleh karena itu,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sekarang, hitung nilai untuk A1 dan A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Anggap s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Anggap s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Untuk kesalahan 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Persamaan ini memberikan waktu penyelesaian untuk sistem orde pertama dengan masukan step satuan.

Untuk sistem orde kedua, kita perlu mempertimbangkan persamaan berikut;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Dalam persamaan ini, istilah eksponensial penting untuk menemukan nilai waktu penyelesaian.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Sekarang, kita mempertimbangkan kesalahan sebesar 2%. Oleh karena itu, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Nilai rasio redaman (ξ) tergantung pada jenis sistem orde kedua. Di sini, kita mempertimbangkan sistem orde kedua yang kurang diredam. Dan nilai ξ berada di antara 0 dan 1.

Jadi, penyebut dari persamaan di atas hampir sama dengan 1. Dan untuk melakukan perhitungan yang mudah, kita dapat mengabaikannya.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Persamaan ini hanya dapat digunakan untuk band error 2% dan sistem orde kedua yang kurang diredam.

Dengan cara yang sama, untuk band error 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Untuk sistem orde kedua, sebelum menentukan waktu penyelesaian, kita perlu menghitung rasio redaman.

Waktu Setel Lokus Akar

Waktu setel dapat dihitung dengan menggunakan metode lokus akar. Waktu setel tergantung pada rasio redaman dan frekuensi alami.

Kuantitas-kuantitas ini dapat diturunkan dengan bantuan metode lokus akar. Dan kita dapat menemukan waktu setel.

Mari kita pahami dengan contoh.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Dan Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Dari plot lokus akar; Anda dapat menemukan kutub dominan;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sekarang, kita memiliki nilai ξ dan ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Plot lokus akar diperoleh dari MATLAB. Untuk itu gunakan “sisotool”. Di sini, Anda dapat menambahkan batasan untuk persentase overshoot sebesar 20%. Dan dapatkan pole dominan dengan mudah.

Gambar di bawah ini menunjukkan plot lokus akar dari MATLAB.

Contoh Diagram Lokus Akar

Kita dapat menemukan waktu settling dengan bantuan MATLAB. Respon unit step dari sistem ini ditunjukkan pada gambar di bawah.

Waktu Settling dalam MATLAB

Cara Mengurangi Waktu Settling

Waktu settling adalah waktu yang diperlukan untuk mencapai target. Dan untuk setiap sistem kontrol, waktu settling harus dijaga agar tetap minimum.

Mengurangi waktu settling bukanlah tugas yang mudah. Kita perlu merancang pengontrol untuk mengurangi waktu settling.

Seperti yang kita ketahui, terdapat tiga pengontrol; proporsional (P), Integral (I), turunan (D). Dengan kombinasi dari pengontrol-pengontrol ini, kita dapat mencapai persyaratan sistem kita.

Gain dari pengontrol (KP, KI, KD) dipilih sesuai dengan persyaratan sistem.

Penambahan gain proporsional KP, menghasilkan perubahan kecil dalam waktu settling. Penambahan gain integral KI, waktu settling meningkat. Dan penambahan gain turunan KD, waktu settling berkurang.

Oleh karena itu, gain derivatif meningkat untuk mengurangi waktu penyetelan. Saat memilih nilai gain pengontrol PID, hal ini mungkin juga mempengaruhi kuantitas lain seperti waktu naik, overshoot, dan kesalahan steady-state.

Cara Menemukan Waktu Penyetelan di MATLAB

Dalam MATLAB, waktu penyetelan dapat ditemukan dengan fungsi step. Mari kita pahami melalui contoh.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Pertama, kita menghitung waktu penyetelan dengan persamaan. Untuk itu, bandingkan fungsi transfer ini dengan fungsi transfer umum sistem orde kedua.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Oleh karena itu,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$waktu \, penyelesaian \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Nilai ini adalah nilai perkiraan karena kami telah membuat asumsi saat menghitung persamaan waktu penyelesaian. Namun, di MATLAB, kita mendapatkan nilai eksak dari waktu penyelesaian. Jadi, nilai ini mungkin sedikit berbeda dalam kedua kasus.

Sekarang, untuk menghitung waktu penyelesaian di MATLAB, kita menggunakan fungsi step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Dan Anda akan mendapatkan grafik respons seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Penghitungan waktu penyelesaian di MATLAB

Di MATLAB, secara default, persen band kesalahan adalah 2%. Anda dapat mengubah ini dalam grafik untuk band kesalahan yang berbeda. Untuk itu, klik kanan pada grafik > properti > opsi > “tampilkan waktu penyelesaian dalam ___ %”.

Pengedit Properti MATLAB

Cara lain untuk menemukan waktu settling dengan menjalankan loop. Seperti yang kita ketahui, untuk batas kesalahan 2%, kita mempertimbangkan respons antara 0.98 hingga 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
waktu_settling = (S-1)*0.005

Output:

waktu_settling = 1.1886

Pernyataan: Hormati yang asli, artikel yang bagus layak dibagikan, jika ada pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk menghapus.

Berikan Tip dan Dorong Penulis

Topik:

Sistem Tenaga Listrik

Sistem Kontrol

Tentang para ahli

Electrical4u

China

Direkomendasikan

Lainnya

Apa saja tindakan pencegahan dan pedoman keselamatan untuk menggunakan beban AC?

Bank beban AC adalah perangkat listrik yang digunakan untuk mensimulasikan beban dunia nyata dan diterapkan secara luas dalam sistem tenaga, sistem komunikasi, sistem kontrol otomatis, dan bidang lainnya. Untuk memastikan keselamatan pribadi dan peralatan selama penggunaan, petunjuk keselamatan dan panduan berikut harus dipatuhi:Pilih bank beban AC yang sesuai: Pilih bank beban AC yang memenuhi kebutuhan sebenarnya, memastikan kapasitas, tegangan nominal, dan parameter lainnya memenuhi aplikasi

Echo

11/06/2025

Apa yang harus diperhatikan saat menginstal termokopel Tipe K?

Tindakan pencegahan instalasi untuk termokopel Tipe K sangat penting untuk memastikan akurasi pengukuran dan memperpanjang masa pakai. Berikut adalah panduan instalasi untuk termokopel Tipe K, yang dikompilasi dari sumber-sumber yang sangat otoritatif:1. Pemilihan dan Pemeriksaan Pilih jenis termokopel yang tepat: Pilih termokopel yang sesuai berdasarkan rentang suhu, sifat media, dan akurasi yang diperlukan dari lingkungan pengukuran. Termokopel Tipe K cocok untuk suhu antara -200°C hingga 1372

James

11/06/2025

Penyebab dan Tindakan Pencegahan Kebakaran dan Ledakan pada Pemutus Sirkuit Minyak

Penyebab Kebakaran dan Ledakan pada Pemutus Sirkuit Minyak Ketika tingkat minyak dalam pemutus sirkuit minyak terlalu rendah, lapisan minyak yang menutupi kontak menjadi terlalu tipis. Di bawah efek busur listrik, minyak mengalami dekomposisi dan melepaskan gas yang mudah terbakar. Gas-gas ini menumpuk di ruang di bawah tutup atas, bercampur dengan udara membentuk campuran yang mudah meledak, yang dapat menyala atau meledak pada suhu tinggi. Jika tingkat minyak di dalam tangki terlalu tinggi, ga

Felix Spark

11/06/2025

Standar Kesalahan Pengukuran THD untuk Sistem Tenaga Listrik

Toleransi Kesalahan Distorsi Harmonik Total (THD): Analisis Komprehensif Berdasarkan Skenario Aplikasi, Akurasi Peralatan, dan Standar IndustriRentang kesalahan yang dapat diterima untuk Distorsi Harmonik Total (THD) harus dievaluasi berdasarkan konteks aplikasi spesifik, akurasi peralatan pengukuran, dan standar industri yang berlaku. Berikut ini adalah analisis mendetail dari indikator kinerja utama dalam sistem tenaga, peralatan industri, dan aplikasi pengukuran umum.1. Standar Kesalahan Harm

Edwiin

11/03/2025

Sistem Orde Dua	Rasio Redaman (ξ)	Waktu Penyetelan (TS)
Kurang Redaman	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Tanpa Redaman	ξ = 0	$T_S = \infty$
Redaman Kritis	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Lebih dari Redaman	ξ > 1	Bergantung pada pole dominan