Време на стабилизација: Што е тоа? (Формула и како да го најдете во MATLAB)

Electrical4u

Поле: Основни електрични

China

Што е време на стабилизација?

Времето на стабилизација на динамички систем се дефинира како време потребно за излезот да достигне и да се стабилизира во даден толерантен опсег. Ова време се означува со Ts. Времето на стабилизација вклучува забавување на пренос и време потребно за да се достигне регионот на крајната вредност. Тоа вклучува време за опоравување од претоварено состојба вклучено со брзина и стабилизација близу до толерантниот опсег.

Толерантниот опсег е максимален дозволен опсег во кој излезот може да се стабилизира. Обично, толерантните опсегови се 2% или 5%.

Времето на стабилизација во одговор на чекор на втор ред систем е прикажано на следната слика.

Време на стабилизација

Формула за време на стабилизација

Времето на стабилизација зависи од природна фrequentnost и одговор на системот. Општата равнка за време на стабилизација е;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Единичниот корак на одговор на системот од втор ред се изразува како;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Оваа равенка се дели на две делови;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

За пресметување на времето на стабилизација, ни е потребен само експоненцијалниот компонент бидејќи го отменува осцилаторскиот дел од синусоидниот компонент. И фракцијата на толеранција е еднаква на експоненцијалниот компонент.

$Toleranca frakcija = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleranca frakcija \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleranca frakcija \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Как да се пресмета временото на стабилизација

За да се пресмета временото на стабилизација, разгледуваме систем од прв ред со јединична стапка на одговор.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

За јединичен стапка на одговор,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Поради тоа,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега, пресметајте вредностите за A1 и A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Претпоставете дека s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Претпоставете дека s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

За грешка од 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Оваа равенка дава време на стабилизација за систем од прв ред со единичен степенски сигнал.

За систем од втор ред, треба да се земе предвид следнава равенка;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Во оваа равенка, експоненцијалниот член е важен за да се најде вредноста на временото на стабилизација.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Сега, ние го сметуваме 2% грешка. Следователно, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Вредноста на коефициентот на демпфирање (ξ) зависи од типот на системот од втор ред. Овде, ние го сметуваме поддемпфираниот систем од втор ред. И вредноста на ξ се наоѓа помеѓу 0 и 1.

Значи, именителот на горната равенка е приближно еднаков на 1. И за да ја направиме лесна пресметката, можеме да го игнорираме.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Оваа равенка може да се користи само за грешка од 2% и поддемпфирани системи од втор ред.

Слично, за грешка од 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

За втор ред систем, пред да се најде времето за стабилизација, треба да се пресмета коефициентот на демпфирање.

Време на стабилизација преку методот на коренската локуса

Времето на стабилизација може да се пресмета со методот на коренската локуса. Времето на стабилизација зависи од кофициентот на демпфирање и природната фреквенција.

Овие величини можат да се изведат со помош на методот на коренската локуса. И можеме да ја најдеме времената на стабилизација.

Да го разбереме со пример.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Превишок = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Од графикот на коренската локуса може да ја најдете доминантната пола;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Сега имаме вредноста на ξ и ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Дијаграмот на корените се изведува од MATLAB. За тоа се користи „sisotool“. Овде може да додадете ограничување за процентот на превишок што е еднаков на 20%. И лесно да добиете доминантни полуси.

Подолниот дијаграм покажува дијаграмот на корените од MATLAB.

Пример за месување на корени

Со помош на MATLAB можеме да го најдеме времето на стабилизација. Единичниот степенов одговор на овој систем е како што е прикажано подолу.

Време на стабилизација во MATLAB

Како да се намали временото на стабилизација

Времето на стабилизација е времето потребно за постигнување на целта. За секој контролен систем, временото на стабилизација мора да биде држано на минимум.

Намалувањето на временото на стабилизација не е лесна задача. Мора да дизајнираме контролер за намалување на временото на стабилизација.

Како што знаеме, има три контролери; пропорционален (P), интегрален (I), диференцијален (D). Со комбинација на овие контролери, можеме да ги постигнеме нашите барања од системот.

Придобивката на контролерите (KP, KI, KD) се избираат според барањата на системот.

Зголемувањето на пропорционалната придобивка KP, резултира со мал изменение во временото на стабилизација. Зголемувањето на интегралната придобивка KI, временото на стабилизација се зголемува. И зголемувањето на диференцијалната придобивка KD, временото на стабилизација се намалува.

Поради тоа, прираста на изводот се зголемува за да се намали временската поставување. При изборот на вредностите на гансиот ПИД контролер, може да влијае и на други количества како што се временската асимптота, прекоскокот и статичката грешка.

Како да ја најдете временската поставување во MATLAB

Во MATLAB, временската поставување може да се најде со користење на функцијата step. Да разбереме со пример.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Прво, пресметуваме временската поставување со употреба на равенка. За тоа, споредете ова преносна функција со општата преносна функција на систем од втор ред.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Значи,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Оваа вредност е приближна бидејќи се направени претпоставки при пресметката на равенката за времето на стабилизација. Меѓутоа, во MATLAB, добиваме точната вредност на временото на стабилизација. Значи, оваа вредност може да е мало различна во двете случаи.

Сега, за да пресметаме временото на стабилизација во MATLAB, користиме функцијата step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Излез: H = RiseTime: 0.3708 SettlingTime: 1.1886 SettlingMin: 0.9071 SettlingMax: 1.0948 Overshoot: 9.4780 Undershoot: 0 Peak: 1.0948 PeakTime: 0.7850

И добивате график на одговор како што е прикажано на следната слика.

Пресметка на временото на стабилизација во MATLAB

По подразбирано, процентниот опсег на грешката во MATLAB е 2%. Можете да го промените овој опсег на грешката во графика. За тоа, десно кликнете на графиката > својства > опции > „прикажи временото на стабилизација во ___ %“.

Уредник на својства MATLAB

Друг начин за пронаоѓање времето на стабилизација е со извршување на циклус. Како што знаеме, за грешката од 2%, сметуваме дека одговорот е помеѓу 0,98 и 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Излез:

settling_time = 1.1886

Изјава: Почитувајте оригиналот, добри чланици се вредни за споделување, ако постои нарушение на правата на авторот се обратете за брисање.

Дадете бакшиш и одобрувајте авторот!

Теми:

Енергетски системи

Контролни системи

За експертите

Electrical4u

China

Препорачано

Повеќе

Што се однесува до безбедносните мерки и насоки за користење на алтернативни оптеретувачки агрегати?

AC оплодотворувачите се електрични уреди користени за симулација на реални оплодувања и широко се применуваат во системи за енергија, комуникација, автоматско контролно управување и други полиња. За да се осигура личната безбедност и безбедноста на опремата при користењето, следните мерки и насоки за безбедност мораат да се спазваат:Изберете соодветен AC оплодотворувач: Изберете AC оплодотворувач кој одговара на реалните потреби, осигуривајќи дека неговата капацитет, напонска класа и други парам

Echo

11/06/2025

Што треба да се забележи при инсталирањето на термоцупла од тип K?

Предосторитви за инсталирање на термопарите од тип K се критични за осигурување на точноста на мерењето и продлението на временото на служба. Поведно воведување во насоките за инсталирање на термопарите од тип K, компилирани од високо авторитетни извори:1. Избор и инспекција Изберете соодветен тип на термопара: Изберете правилната термопара според опсегот на температурата, својствата на медиумот и барањето за точност во околината на мерење. Термопарите од тип K се прифатливи за температури од -2

James

11/06/2025

Причини и превентивни мерки за пожар и експлозија во маслените прекинувачи

Причини на пожар и експлозии во масни прекинувачи Кога нивото на масло во масниот прекинувач е премногу ниско, слојот масла кој ги покрива контактите станува премногу тенок. Под влијание на електричниот лук, маслото се распаѓа и испушта горливи гасови. Овие гасови се накопуваат во просторот под горната капа, мешајќи се со воздух и формирајќи експлозивна мешавина, која може да се запали или да експлодира при висока температура. Ако нивото на масло во резервоарот е премногу високо, издаваните гасо

Felix Spark

11/06/2025

Стандарди за грешки во мерењето на THD за енергетски системи

Толеранција на грешката на тоталната хармоничка деформација (THD): Комплексна анализа базирана на сценарија за применување, точноста на опремата и индустријските стандардиПрифатливата опсег на грешки за Тоталната хармоничка деформација (THD) мора да се оцени според специфични контексти на применување, точноста на мерната опрема и применивите индустријски стандарди. Пониже е детална анализа на критичните показатели на перформансите во системите за енергија, индустријската опрема и општите мерни п

Edwiin

11/03/2025

Система од втор ред	Коефициент демпфирање (ξ)	Време на поставување (TS)
Поддемпфирани	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Недемпфирани	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично демпфирани	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Преподдемпфирани	ξ > 1	Зависи од доминантен пол