Време на стабилизација: Што е тоа? (Формула и како да го најдете во MATLAB)

Поле: Основни електрични

China

Што е време на стабилизација?

Времето на стабилизација на динамички систем се дефинира како време потребно за излезот да достигне и да се стабилизира во даден толерантен опсег. Ова време се означува со Ts. Времето на стабилизација вклучува забавување на пренос и време потребно за да се достигне регионот на крајната вредност. Тоа вклучува време за опоравување од претоварено состојба вклучено со брзина и стабилизација близу до толерантниот опсег.

Толерантниот опсег е максимален дозволен опсег во кој излезот може да се стабилизира. Обично, толерантните опсегови се 2% или 5%.

Времето на стабилизација во одговор на чекор на втор ред систем е прикажано на следната слика.

Време на стабилизација

Формула за време на стабилизација

Времето на стабилизација зависи од природна фrequentnost и одговор на системот. Општата равнка за време на стабилизација е;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Единичниот корак на одговор на системот од втор ред се изразува како;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Оваа равенка се дели на две делови;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

За пресметување на времето на стабилизација, ни е потребен само експоненцијалниот компонент бидејќи го отменува осцилаторскиот дел од синусоидниот компонент. И фракцијата на толеранција е еднаква на експоненцијалниот компонент.

$Toleranca frakcija = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleranca frakcija \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleranca frakcija \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Как да се пресмета временото на стабилизација

За да се пресмета временото на стабилизација, разгледуваме систем од прв ред со јединична стапка на одговор.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

За јединичен стапка на одговор,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Поради тоа,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега, пресметајте вредностите за A1 и A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Претпоставете дека s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Претпоставете дека s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

За грешка од 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Оваа равенка дава време на стабилизација за систем од прв ред со единичен степенски сигнал.

За систем од втор ред, треба да се земе предвид следнава равенка;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Во оваа равенка, експоненцијалниот член е важен за да се најде вредноста на временото на стабилизација.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Сега, ние го сметуваме 2% грешка. Следователно, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Вредноста на коефициентот на демпфирање (ξ) зависи од типот на системот од втор ред. Овде, ние го сметуваме поддемпфираниот систем од втор ред. И вредноста на ξ се наоѓа помеѓу 0 и 1.

Значи, именителот на горната равенка е приближно еднаков на 1. И за да ја направиме лесна пресметката, можеме да го игнорираме.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Оваа равенка може да се користи само за грешка од 2% и поддемпфирани системи од втор ред.

Слично, за грешка од 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

За втор ред систем, пред да се најде времето за стабилизација, треба да се пресмета коефициентот на демпфирање.

Време на стабилизација преку методот на коренската локуса

Времето на стабилизација може да се пресмета со методот на коренската локуса. Времето на стабилизација зависи од кофициентот на демпфирање и природната фреквенција.

Овие величини можат да се изведат со помош на методот на коренската локуса. И можеме да ја најдеме времената на стабилизација.

Да го разбереме со пример.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Превишок = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Од графикот на коренската локуса може да ја најдете доминантната пола;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Сега имаме вредноста на ξ и ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Дијаграмот на корените се изведува од MATLAB. За тоа се користи „sisotool“. Овде може да додадете ограничување за процентот на превишок што е еднаков на 20%. И лесно да добиете доминантни полуси.

Подолниот дијаграм покажува дијаграмот на корените од MATLAB.

Пример за месување на корени

Со помош на MATLAB можеме да го најдеме времето на стабилизација. Единичниот степенов одговор на овој систем е како што е прикажано подолу.

Време на стабилизација во MATLAB

Како да се намали временото на стабилизација

Времето на стабилизација е времето потребно за постигнување на целта. За секој контролен систем, временото на стабилизација мора да биде држано на минимум.

Намалувањето на временото на стабилизација не е лесна задача. Мора да дизајнираме контролер за намалување на временото на стабилизација.

Како што знаеме, има три контролери; пропорционален (P), интегрален (I), диференцијален (D). Со комбинација на овие контролери, можеме да ги постигнеме нашите барања од системот.

Придобивката на контролерите (KP, KI, KD) се избираат според барањата на системот.

Зголемувањето на пропорционалната придобивка KP, резултира со мал изменение во временото на стабилизација. Зголемувањето на интегралната придобивка KI, временото на стабилизација се зголемува. И зголемувањето на диференцијалната придобивка KD, временото на стабилизација се намалува.

Поради тоа, прираста на изводот се зголемува за да се намали временската поставување. При изборот на вредностите на гансиот ПИД контролер, може да влијае и на други количества како што се временската асимптота, прекоскокот и статичката грешка.

Како да ја најдете временската поставување во MATLAB

Во MATLAB, временската поставување може да се најде со користење на функцијата step. Да разбереме со пример.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Прво, пресметуваме временската поставување со употреба на равенка. За тоа, споредете ова преносна функција со општата преносна функција на систем од втор ред.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Значи,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Оваа вредност е приближна бидејќи се направени претпоставки при пресметката на равенката за времето на стабилизација. Меѓутоа, во MATLAB, добиваме точната вредност на временото на стабилизација. Значи, оваа вредност може да е мало различна во двете случаи.

Сега, за да пресметаме временото на стабилизација во MATLAB, користиме функцијата step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Излез: H = RiseTime: 0.3708 SettlingTime: 1.1886 SettlingMin: 0.9071 SettlingMax: 1.0948 Overshoot: 9.4780 Undershoot: 0 Peak: 1.0948 PeakTime: 0.7850

И добивате график на одговор како што е прикажано на следната слика.

Пресметка на временото на стабилизација во MATLAB

По подразбирано, процентниот опсег на грешката во MATLAB е 2%. Можете да го промените овој опсег на грешката во графика. За тоа, десно кликнете на графиката > својства > опции > „прикажи временото на стабилизација во ___ %“.

Уредник на својства MATLAB

Друг начин за пронаоѓање времето на стабилизација е со извршување на циклус. Како што знаеме, за грешката од 2%, сметуваме дека одговорот е помеѓу 0,98 и 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Излез:

settling_time = 1.1886

Изјава: Почитувајте оригиналот, добри чланици се вредни за споделување, ако постои нарушение на правата на авторот се обратете за брисање.

Дадете бакшиш и одобрувајте авторот!

Теми:

Енергетски системи

Контролни системи

За експертите

Electrical4u

China

Препорачано

Повеќе

Грешки и управување со еднофазно земјско поврзување во дистрибутивни линии на 10кВ

Карактеристики и уреди за детекција на еднофазни земјани врски1. Карактеристики на еднофазни земјани врскиЦентрални алармни сигнали:Звоното за предупредување звони, а индикаторската лампичка со натпис „Земјана врска на [X] кВ шина одделение [Y]“ се вклучува. Во системи со заземјување на неутралната точка преку Петерсенова бобина (бобина за гасење на лак), исто така се вклучува индикаторот „Петерсенова бобина во работа“.Покажувања на волтметарот за надзор на изолацијата:Напрегањето на фазата со д

Rockwill

01/30/2026

Нейтрална точка на земја за трансформаторите во електропроток 110кВ～220кВ

Разпоредбата на начините на земјско поврзување на нултата точка за трансформатори во мрежа од 110кВ до 220кВ треба да ги исполнува барањата за издржливост на изолацијата на нултата точка на трансформаторите и исто така треба да се стреми да се задржи нултото импеданс на подстанциите приближно непроменет, додека се осигурува дека нултото комплексно импеданс на било која точка на кратко поврзување во системот не надминува три пати позитивното комплексно импеданс.За нови и технички обновени проекти

Vziman

01/29/2026

Зошто подстанциите користат каменни блокови гравел бисери и ситен камен

Зошто подстанциите користат камен, гравел, чакли и дроблени камен?Во подстанциите, опремата како електрични и распределбени трансформатори, преносни линии, волтметри, амперметри и прекинувачи се потребни за земљење. Освен земљењето, сега ќе детално истражиме зошто гравелот и дроблениот камен често се користат во подстанции. Иако изгледаат обични, овие каменки играат критична улога во безопасноста и функционалноста.Во дизајнот на земљење на подстанции - особено кога се користат повеќе методи на з

Echo

01/29/2026

HECI GCB за генератори – Бргува SF₆ прекинувач на цепот

1. Дефиниција и функција1.1 Улога прекинувачот на генераторотПрекинувачот на генераторот (GCB) е контролируема точка за одсечување расположена помеѓу генераторот и стапувањето на трансформаторот, служи како интерфејс помеѓу генераторот и мрежата за електрична енергија. Неговите основни функции вклучуваат изолација на повреди од страната на генераторот и овозможување на оперативна контрола во време на синхронизација на генераторот и поврзување со мрежата. Принципот на работа на GCB не е значителн

Garca

01/06/2026

Система од втор ред	Коефициент демпфирање (ξ)	Време на поставување (TS)
Поддемпфирани	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Недемпфирани	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично демпфирани	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Преподдемпфирани	ξ > 1	Зависи од доминантен пол