Temps de Rétablissement : Qu'est-ce que c'est ? (Formule et Comment le Trouver dans MATLAB)

Electrical4u

Champ: Électricité de base

China

Qu'est-ce que le temps de stabilisation ?

Le temps de stabilisation d'un système dynamique est défini comme le temps nécessaire pour que la sortie atteigne et se stabilise dans une bande de tolérance donnée. Il est noté Ts. Le temps de stabilisation comprend le délai de propagation et le temps nécessaire pour atteindre la région de sa valeur finale. Il inclut le temps pour récupérer la condition de surcharge associée à la vitesse de montée et la stabilité proche de la bande de tolérance.

La bande de tolérance est la plage maximale autorisée dans laquelle la sortie peut se stabiliser. Généralement, les bandes de tolérance sont de 2% ou 5%.

Le temps de stabilisation dans la réponse en échelon d'un système du second ordre est illustré dans la figure ci-dessous.

Temps de stabilisation

Formule du temps de stabilisation

Le temps de stabilisation dépend de la fréquence naturelle et de la réponse du système. L'équation générale du temps de stabilisation est ;

$T_S = \frac{ln(fraction \, de \, tolérance)}{rapport \, d'amortissement \times Fréquence \, naturelle}$

La réponse en échelon d'un système du second ordre est exprimée comme suit ;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Cette équation se divise en deux parties ;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Pour calculer le temps de stabilisation, nous n'avons besoin que de la composante exponentielle car elle annule la partie oscillatoire de la composante sinusoïdale. Et la fraction de tolérance est égale à la composante exponentielle.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Comment calculer le temps de stabilisation

Pour calculer le temps de stabilisation, nous considérons un système du premier ordre avec une réponse en échelon unitaire.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Pour la réponse en échelon unitaire,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Par conséquent,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Maintenant, calculez la valeur de A1 et A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Supposons que s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Supposons que s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Pour une erreur de 2%, 1-C(t) = 0,02 ;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Cette équation donne le temps de stabilisation pour un système du premier ordre avec une entrée en échelon unitaire.

Pour un système du second ordre, nous devons considérer l'équation suivante ;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Dans cette équation, le terme exponentiel est important pour trouver la valeur du temps de stabilisation.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Maintenant, nous considérons une erreur de 2 %. Par conséquent, 1 – C(t) = 0,02 ;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

La valeur du rapport d'amortissement (ξ) dépend du type de système du second ordre. Ici, nous considérons un système du second ordre sous-amorti. Et la valeur de ξ se situe entre 0 et 1.

Ainsi, le dénominateur de l'équation ci-dessus est presque égal à 1. Et pour faciliter le calcul, nous pouvons le négliger.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Cette équation ne peut être utilisée que pour une bande d'erreur de 2% et un système du second ordre sous-amorti.

De même, pour une bande d'erreur de 5% ; 1 – C(t) = 0.05 ;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pour un système du second ordre, avant de trouver le temps de stabilisation, nous devons calculer le rapport d'amortissement.

Temps de stabilisation du lieu des racines

Le temps de stabilisation peut être calculé par la méthode du lieu des racines. Le temps de stabilisation dépend du rapport d'amortissement et de la fréquence naturelle.

Ces quantités peuvent être dérivées à l'aide de la méthode du lieu des racines. Et nous pouvons trouver le temps de stabilisation.

Comprendre avec un exemple.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Et dépassement = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

À partir du tracé de la racine, vous pouvez trouver les pôles dominants ;

$P = -0,866 \pm j 1,691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1,691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1,691 = \omega_n \sqrt{1-0,207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Maintenant, nous avons la valeur de ξ et ωn,

$temps \, de \, stabilisation \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Le diagramme de lieu des racines est dérivé de MATLAB. Pour cela, utilisez “sisotool”. Ici, vous pouvez ajouter une contrainte pour que le pourcentage de dépassement soit égal à 20 %. Et obtenir facilement les pôles dominants.

La figure ci-dessous montre le diagramme de lieu des racines provenant de MATLAB.

Exemple de lieu des racines

Nous pouvons trouver le temps de stabilisation avec l'aide de MATLAB. La réponse à un échelon unitaire de ce système est montrée dans la figure ci-dessous.

Temps de stabilisation dans MATLAB

Comment réduire le temps de stabilisation

Le temps de stabilisation est le temps nécessaire pour atteindre l'objectif. Pour tout système de contrôle, le temps de stabilisation doit être maintenu au minimum.

Réduire le temps de stabilisation n'est pas une tâche facile. Nous devons concevoir un contrôleur pour réduire le temps de stabilisation.

Comme nous le savons, il existe trois types de contrôleur ; proportionnel (P), intégral (I), dérivé (D). Avec une combinaison de ces contrôleurs, nous pouvons atteindre les exigences de notre système.

Les gains des contrôleurs (KP, KI, KD) sont choisis en fonction des exigences du système.

L'augmentation du gain proportionnel KP entraîne une petite modification du temps de stabilisation. L'augmentation du gain intégral KI augmente le temps de stabilisation. Et l'augmentation du gain dérivé KD diminue le temps de stabilisation.

Ainsi, le gain dérivé augmente pour diminuer le temps de réglage. Lors de la sélection des valeurs de gain du contrôleur PID, cela peut également affecter d'autres quantités comme le temps de montée, le dépassement et l'erreur en régime permanent.

Comment trouver le temps de stabilisation dans MATLAB

Dans MATLAB, le temps de stabilisation peut être trouvé à l'aide d'une fonction échelon. Comprendre par un exemple.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Tout d'abord, nous calculons le temps de stabilisation par l'équation. Pour cela, comparez cette fonction de transfert avec la fonction de transfert générale d'un système du second ordre.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Par conséquent,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$temps de stabilisation \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Cette valeur est une valeur approximative car nous avons fait des hypothèses lors du calcul de l'équation du temps de stabilisation. Cependant, dans MATLAB, nous obtenons la valeur exacte du temps de stabilisation. Ainsi, cette valeur peut être légèrement différente dans les deux cas.

Maintenant, pour calculer le temps de stabilisation dans MATLAB, nous utilisons la fonction step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Sortie:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Et vous obtenez un graphique de réponse comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Calcul du temps de stabilisation dans MATLAB

Dans MATLAB, par défaut, la bande de tolérance d'erreur est de 2 %. Vous pouvez modifier cela dans le graphique pour différentes bandes d'erreur. Pour cela, faites un clic droit sur le graphique > propriétés > options > "montrer le temps de stabilisation dans ___ %".

Éditeur de propriétés MATLAB

Une autre façon de trouver le temps de réponse en exécutant une boucle. Comme nous le savons, pour la bande d'erreur de 2 %, nous considérons la réponse entre 0,98 et 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
temps_de_réponse = (S-1)*0.005

Résultat:

temps_de_réponse = 1.1886

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Système du second ordre	Rapport d'amortissement (ξ)	Temps de réglage (TS)
Sous-amorti	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Non amorti	ξ = 0	$T_S = \infty$
Amortissement critique	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Suramorti	ξ > 1	Dépend du pôle dominant