Pana nga Panahon: Ano ito? (Pormula Ug Paunsa Ang Pagpangita Niini Sa MATLAB)

Electrical4u

Larangan: Basic Electrical Basikong Elektikal

China

Ano ang Settling Time?

Ang settling time sa usa ka dynamic system gitukod isip ang oras nga gikinahanglan aron ang output mahimong makarating ug mabuntag sa usa ka gihatagan nga tolerance band. Gitumong kini isip Ts. Ang settling time nagsulob sa propagation delay ug oras nga gikinahanglan aron makarating sa rehiyon sa iyang final value. Kini kasama ang oras aron mabawi ang overload condition nga gisuloban sa slew ug steady near sa tolerance band.

Ang tolerance band mao ang maximum allowable range diin ang output mahimo nga makarating. Kasagaran, ang tolerance bands mao ang 2% o 5%.

Ang settling time sa step response sa usa ka second-order system gitrayaho sa ubos nga figura.

Settling Time

Formula sa Settling Time

Ang settling time depende sa natural frequency ug response sa sistema. Ang general equation sa settling time mao;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Ang unit step response sa second order system gipahayag isip;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ang ekwasyon niini gisakat sa duha ka bahin;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Arangarang ang exponential nga bahin lang gikinahanglan aron mahimo ang pagkalkula sa settling time tungod kay kini ang nag-cancel sa oscillatory nga bahin sa sinusoidal nga bahin. Ug ang tolerance fraction sama sa exponential nga bahin.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Pamuno sa Pagkuha sa Settling Time

Arangin ang pagkuha sa settling time, gitimbangan nato ang unang klase nga sistema uban unit step response.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Para sa unit step response,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Sulod niini,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Karon, kalkula ang valor para sa A1 ug A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Pagpresumpa nga s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pagpresumpa nga s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Para sa 2% error, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

An angay kining ekwasyon sa pagtumong sa panahon para sa unang order nga sistema ngadto sa unit step input.

Para sa ikaduha nga order nga sistema, kinahanglan nato molihok sa sumusunod nga ekwasyon;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Sa kining ekwasyon, ang exponential term importante aron makuha ang value sa settling time.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Karon, kita mokonsidera ang 2% error. Ania, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ang valor sa damping ratio (ξ) depende sa tipo sa second order system. Karon, kita mokonsidera ang underdamped second order system. Ug ang valor ni ξ naa sa pagitan sa 0 ug 1.

Ania, ang denominator sa uban nga equation gamay ra kaayo sama sa 1. Ug aron mas sayon ang kalkulasyon, kita mahimo mosangpot niini.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ang ekwasyon kini mahimong gamiton lamang para sa 2% error band ug underdamped second order system.

Parehas, para sa 5% error band; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Para sa sistema sa segundo orden, bago mahanap ang panahon sa pag-settle, kailangan natin na i-kalkula ang ratio sa damping.

Oras sa Pag-settle sa Root Locus

Ang oras sa pag-settle mahimong makalkula pinaagi sa paraan sa root locus. Ang oras sa pag-settle depende sa ratio sa damping ug natural nga frequency.

Ang mga kantidad kini mahimo molambo pinaagi sa paraan sa root locus. Ug mahimo nato ang oras sa pag-settle.

Hayaayon ta pinaagi sa usa ka ehempiyo.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ug Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Gikan sa root locus plot, makakita ka sa dominant poles;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Kini, kami adun ang halaga sa ξ ug ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Ang plot sa root locus gikuhit gikan sa MATLAB. Para niini, gamiton ang “sisotool”. Hinihi, makapila ka constraints alang sa percentage overshoot nga sama sa 20%. Ug madali nga makita ang dominant poles.

Ang sumusunod nga figura nagpakita sa plot sa root locus gikan sa MATLAB.

Halimbawa sa Root Locus

Mahimo natin makita ang panahon sa pagtakda pinaabot sa tulong sa MATLAB. Ang unit step response sa sistema niini mao ang gipakita sa sumusunod nga figure.

Panahon sa Pagtakda sa MATLAB

Paano Pababain ang Panahon sa Pagtakda

Ang panahon sa pagtakda mao ang panahon nga kinahanglan aron matuman ang target. Ug para sa bisan unsa nga sistema sa kontrol, ang panahon sa pagtakda kailangan ipaglabay sa minimum.

Pababain ang panahon sa pagtakda dili usa ka sayon nga gawas. Kailangan nato magdisenyo og controller arong mapababain ang panahon sa pagtakda.

Alangdon nato, adunay tulo ka mga controller; proportional (P), Integral (I), derivative (D). Sa pagkombinasyon sa kini nga mga controller, mahimo nato ang atong requirements sa sistema.

Ang gain sa mga controller (KP, KI, KD) gi-pili batas sa requirement sa sistema.

Pagtaas sa proportional gain KP, resulta sa gamay nga pagbag-o sa panahon sa pagtakda. Pagtaas sa integral gain KI, ang panahon sa pagtakda nagtaas. Ug pagtaas sa derivative gain KD, ang panahon sa pagtakda nagbaba.

Ania, ang derivative gain mag-increase aron mapabag-o ang setting time. Tungod sa pili sa gain values sa PID controller, mahimong makaapekto kini sa uban pang quantities sama sa rise time, overshoot, ug Steady-state error.

Paano Makuha ang Settling Time sa MATLAB

Sa MATLAB, ang settling time makukuha gamit ang step function. Huna-huna nato pinaagi sa example.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Unang-una, atong pagkuha ang settling time pinaagi sa equation. Aron makuha kini, ikompara kini nga transfer function sa general transfer function sa second order system.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Ania,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ang valor niini usa ka approximate value tungod kay gi-assume nato ang mga kondisyon sa pagkuha sa equation sa settling time. Apan sa MATLAB, makakuha kita og eksakto nga balore sa settling time. Busa, mahimong magdala og kaunti nga pagkakaiba ang mga balore sa duha ka kasinatian.

Karon, aron makalkula ang settling time sa MATLAB, gamiton nato ang step function.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Og makadawat nimo og graph sa response sama sa figure sa ubos.

Pagkalkula sa settling time sa MATLAB

Sa MATLAB, default nga percentage band of error mao ang 2%. Mahimo nimong baguhin kini sa graph para sa iba pang error band. Aron mahimo kini, right-click sa graph > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Property Editor MATLAB

Isunod nga paagi sa pagpangita sa settling time pinaagi sa pag-operasyon og loop. Asa ka tawo mao ang atong gikinahanglan sa 2% error band, gitangtang ang response sa pagitan sa 0.98 hangtod 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Statement: Respetar el original, los buenos artículos valen la pena compartir, si hay infracción por favor contacte para eliminar.

Maghatag og tip ug pagsalig sa author

Mga Paksa:

Sistema sa Pwerha

Sistema sa Kontrol

Mahitungod sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan nga Eskperto

Basic Electrical

Artikulo nga Profesyonale

607

Gipareserbado

Mas daghan pa

Unsa ang mga pananglitan ug pamaagi sa paggamit sa AC load banks?

Ang mga AC load banks mao ang mga elektrisidad nga mga aparato nga gigamit aron simularon ang tun-ang nga mga carga ug gilaas sa mga sistema sa kuryente, komunikasyon, awtomatikong kontrol, ug uban pang mga larangan. Aron siguraduhon ang seguridad sa personal ug sa ekwipo sa panahon sa paggamit, kinahanglan sundon ang sumusunod nga mga pahinungdan ug mga direksyon:Pili og maayo nga AC load bank: Pili og AC load bank nga naghatsa sa aktwal nga mga pangangailhan, siguraduhon nga ang kapasidad, rat

Echo

11/06/2025

Unsa ang dapat buhaton sa pag-install og Type K thermocouple?

Ang mga pag-amping sa pag-install sa Type K thermocouples maoy kritikal aron masigurado ang akurat nga pagsukod ug mapalubon ang panahon sa pagserbisyo. Sumala sa uban pa sa mga pinaka-authoritative nga mga pinaghimo, ania ang mga pamantaran sa pag-install para sa Type K thermocouples:1. Pagpili ug Pagsusi Pili og angkop nga tipo sa thermocouple: Pili og angkop nga thermocouple batas sa range sa temperatura, katangian sa medium, ug gikinahanglan nga kalidad sa pagsukod. Ang Type K thermocouples

James

11/06/2025

Mga Dapat Iwasan ug mga Paghulagway sa Pagkainog ug Pagbuhag sa Oil Circuit Breakers

Mga Dulos sa Pagkainit ug Pag-eksplodir sa Oil Circuit Breakers Kon ang nivel sa langis sa oil circuit breaker kay masyadong kaubos, ang capa sa langis nga nangubanan sa mga contact mahimong magtinuod. Sa epekto sa electric arc, ang langis magdulot og pagdiscompose ug maglibog og flammable gases. Ang mga gas niini magdugay sa espasyo sa ilalum sa top cover, miksiman sa hangin aron makabuo og explosive mixture, nga mahimong magkainit o mag-eksplodir sa mataas nga temperatura. Kon ang nivel sa lan

Felix Spark

11/06/2025

Pamantayan sa Kasayahan sa Pagkuha sa THD para sa mga Sistemang Pwersa

Ang Toleransi sa Error sa Total Harmonic Distortion (THD): Isang Komprehensibong Analisis Batay sa mga Sitwasyon ng Paggamit, Katumpakan ng Kagamitan, at Pamantayan ng IndustriyaAng tanggap na range ng error para sa Total Harmonic Distortion (THD) ay dapat ma-evaluate batay sa tiyak na konteksto ng paggamit, katumpakan ng kagamitang pagsukat, at naka-apply na pamantayan ng industriya. Sa ibaba ay isang detalyadong analisis ng mga pangunahing indikador ng performance sa mga sistema ng kapangyarih

Edwiin

11/03/2025

Sistema sa Segundo-Orden	Rason sa Damping (ξ)	Tiempo sa Setting (TS)
Underdamped	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Undamped	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critical damped	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdamp	ξ > 1	Depende sa dominant pole