Stabiliseringstid: Vad är det? (Formel och hur man hittar den i MATLAB)

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är stabiliseringstid?

Stabiliseringstiden för ett dynamiskt system definieras som den tid det tar för utgången att nå och stabilisera inom en given toleransband. Den betecknas med Ts. Stabiliseringstid består av propagationsfördröjning och tiden det tar att nå regionen kring dess slutvärde. Det inkluderar tiden för att återhämta sig från överbelastningsläge tillsammans med svängning och stabilisering nära toleransbandet.

Toleransbandet är det maximala tillåtna området där utgången kan stabiliseras. Generellt sett är toleransbanden 2% eller 5%.

Stabiliseringstiden i stegsvar för ett andragradssystem visas i figuren nedan.

Stabiliseringstid

Formel för stabiliseringstid

Stabiliseringstiden beror på naturlig frekvens och systemets respons. Den allmänna ekvationen för stabiliseringstid är;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Enhetsstegsvar för ett andragradssystem uttrycks som;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Denna ekvation delas in i två delar

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

För att beräkna inställningstiden behöver vi endast den exponentiella komponenten eftersom den tar bort den oscillerande delen av den sinusformade komponenten. Och toleransfraktionen är lika med den exponentiella komponenten.

$Tolerans \, fraktion = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerans \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerans \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hur man beräknar stabiliseringstid

För att beräkna stabiliseringstid betraktar vi ett förstagradssystem med enhetsskridåsvar.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

För enhetsskridåsvar,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Därför,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Beräkna nu värdet för A1 och A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Antalet s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Antalet s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

För 2% fel, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Denna ekvation ger inrättningstiden för ett förstagradssystem med enhetlig steginmatning.

För ett andragradssystem måste vi ta hänsyn till följande ekvation;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

I denna ekvation är exponentiella termen viktig för att hitta värdet på inrättningstiden.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nu överväger vi 2% fel. Därför är 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Värdet på dämpningsförhållandet (ξ) beror på typen av andragradssystem. Här överväger vi ett underdämpat andragradssystem. Och värdet på ξ ligger mellan 0 och 1.

Så, nämnaren i ovanstående ekvation är nästan lika med 1. Och för att göra en enkel beräkning kan vi ignorera den.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Denna ekvation kan endast användas för en felmarginal på 2 % och ett underdämpat system av andra ordning.

På liknande sätt, för en felmarginal på 5 %; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

För ett system av andra ordningen, innan vi hittar stillaståendestiden, måste vi beräkna dämpningsfaktorn.

Rotortidsmetod för stabiliseringstid

Stabiliseringstiden kan beräknas med hjälp av rotortidsmetoden. Stabiliseringstiden beror på dämpningsfaktorn och naturliga frekvensen.

Dessa storheter kan härledas med hjälp av rotortidsmetoden. Och vi kan hitta stabiliseringstiden.

Låt oss förstå med ett exempel.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Från rotortdiagrammet kan du hitta de dominanta polerna;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nu har vi värdet för ξ och ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Rötterna i plottet erhålls från MATLAB. För detta används "sisotool". Här kan du lägga till en begränsning för procentuell överskridning som är lika med 20%. Och få dominerande poler enkelt.

Nedan visas röttplootten från MATLAB.

Exempel på rotortdiagram

Vi kan hitta inrättningstiden med hjälp av MATLAB. Enhetsstegsresponsen för detta system visas i figuren nedan.

Inrättningstid i MATLAB

Hur man minskar inrättningstiden

Inrättningstiden är den tid som krävs för att nå målet. För alla reglersystem bör inrättningstiden hållas så låg som möjligt.

Att minska inrättningstiden är inte en lätt uppgift. Vi behöver designa en regulator för att minska inrättningstiden.

Som vi vet finns det tre regulatorer; proportionell (P), integrerande (I), derivator (D). Genom att kombinera dessa regulatorer kan vi uppfylla våra krav på systemet.

Förstärkningen av regulatorerna (KP, KI, KD) väljs utifrån systemets krav.

Ökning av proportionella förstärkningen KP resulterar i en liten förändring av inrättningstiden. Ökning av integrerande förstärkningen KI ökar inrättningstiden. Och ökning av derivatorförstärkningen KD minskar inrättningstiden.

Därför ökar derivativa vinsten för att minska inställningstiden. När du väljer värdena för PID-regulatorn kan det också påverka andra mängder som stigande tid, överskott och stillastående fel.

Hur man hittar stillastående tid i MATLAB

I MATLAB kan stillastående tid hittas med en stegfunktion. Låt oss förstå genom ett exempel.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Först beräknar vi stillastående tiden med hjälp av ekvationen. För detta jämför denna överföringsfunktion med den generella överföringsfunktionen för ett andraderivativsystem.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Därför,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Detta värde är ett approximativt värde eftersom vi har gjort antaganden vid beräkningen av ekvationen för stabiliserings tid. Men i MATLAB får vi det exakta värdet för stabiliserings tid. Så detta värde kan vara något annorlunda i båda fallen.

För att beräkna stabiliserings tid i MATLAB använder vi stegfunktionen.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Utdata:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Och du får en graf över svaret som visas i figuren nedan.

Beräkning av stabiliserings tid i MATLAB

I MATLAB är standardfelet 2%. Du kan ändra detta i grafen för olika felband. För detta, högerklicka på grafen > egenskaper > alternativ > "visa stabiliserings tid inom ___ %".

Egenskapsredigerare MATLAB

En annan metod för att hitta ställningstiden genom att köra en loop. Som vi vet, för det 2%-iga felfältet betraktar vi svaret mellan 0,98 till 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Utdata:

settling_time = 1.1886

Uttalande: Respektera det ursprungliga, bra artiklar är värda att dela, om det finns upphovsrättsskyddade material kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Energisystem

Styrningssystem

Om experter

Electrical4u

China

Rekommenderad

Mer

Fel och hantering av enfasjordning i 10kV-fördelningsledningar

Egenskaper och detekteringsanordningar för enfasiga jordfel1. Egenskaper hos enfasiga jordfelCentrala larmssignaler:Varningsklockan ringer och indikatorlampan med texten ”Jordfel på [X] kV bussavsnitt [Y]” tänds. I system med Petersens spole (bågsläckningsspole) för jordning av nollpunkten tänds också indikatorn ”Petersens spole i drift”.Indikationer från isoleringsövervakningsvoltmeter:Spänningen i den felaktiga fasen

Rockwill

01/30/2026

Neutralpunktsjordningsdriftsläge för transformatorer i 110kV～220kV-nät

Anslutningsläget för neutralpunktsjordning av transformatorer i 110kV～220kV nätverk bör uppfylla isoleringskraven för transformatorernas neutralpunkter, och man bör också sträva efter att hålla nollsekvensimpedansen i kraftstationerna i stort sett oförändrad, samtidigt som man säkerställer att det nollsekvenskompletta impedansen vid eventuella kortslutningspunkter i systemet inte överstiger tre gånger det positivsekvenskompletta impedansen.För 220kV- och 110kV-transformatorer i nya byggnadsproje

Vziman

01/29/2026

Varför använder anläggningar stenar grus kiselsten och krossad sten

Varför använder anläggningar stenar, grus, kiselsten och krossad sten?I anläggningar kräver utrustning som strömförande och distributionstransformatorer, överföringslinjer, spänningsomvandlare, strömtransformatorer och kopplingsbrytare all jordning. Utöver jordning kommer vi nu att utforska i detalj varför grus och krossad sten vanligtvis används i anläggningar. Trots att de verkar vara vanliga spelar dessa stenar en viktig säkerhets- och funktionsroll.I anläggningsjordningsdesign—särskilt när f

Echo

01/29/2026

HECI GCB för generatorer – Snabb SF₆-brytare

1.Definition och funktion1.1 Rollen av generatorbrytarenGeneratorbrytaren (GCB) är en kontrollerbar kopplingspunkt placerad mellan generatorn och stegupptransformatorn, som fungerar som ett gränssnitt mellan generatorn och elkraftnätet. Dess huvudsakliga funktioner inkluderar att isolera fel på generatorsidan och möjliggöra driftkontroll under generatorsynkronisering och nätanslutning. Driftprincipen för en GCB skiljer sig inte markant från den för en standardbrytare; emellertid, på grund av det

Garca

01/06/2026

Andragsordningssystem	Dämpningsfaktor (ξ)	Ställningstid (TS)
Underdämpat	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Odampt	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritiskt dämpat	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Överdämpat	ξ > 1	Beror på dominanta polen