Stabiliseringstid: Vad är det? (Formel och hur man hittar den i MATLAB)

Electrical4u

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är stabiliseringstid?

Stabiliseringstiden för ett dynamiskt system definieras som den tid det tar för utgången att nå och stabilisera inom en given toleransband. Den betecknas med Ts. Stabiliseringstid består av propagationsfördröjning och tiden det tar att nå regionen kring dess slutvärde. Det inkluderar tiden för att återhämta sig från överbelastningsläge tillsammans med svängning och stabilisering nära toleransbandet.

Toleransbandet är det maximala tillåtna området där utgången kan stabiliseras. Generellt sett är toleransbanden 2% eller 5%.

Stabiliseringstiden i stegsvar för ett andragradssystem visas i figuren nedan.

Stabiliseringstid

Formel för stabiliseringstid

Stabiliseringstiden beror på naturlig frekvens och systemets respons. Den allmänna ekvationen för stabiliseringstid är;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Enhetsstegsvar för ett andragradssystem uttrycks som;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Denna ekvation delas in i två delar

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

För att beräkna inställningstiden behöver vi endast den exponentiella komponenten eftersom den tar bort den oscillerande delen av den sinusformade komponenten. Och toleransfraktionen är lika med den exponentiella komponenten.

$Tolerans \, fraktion = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerans \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerans \, fraktion \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hur man beräknar stabiliseringstid

För att beräkna stabiliseringstid betraktar vi ett förstagradssystem med enhetsskridåsvar.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

För enhetsskridåsvar,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Därför,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Beräkna nu värdet för A1 och A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Antalet s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Antalet s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

För 2% fel, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Denna ekvation ger inrättningstiden för ett förstagradssystem med enhetlig steginmatning.

För ett andragradssystem måste vi ta hänsyn till följande ekvation;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

I denna ekvation är exponentiella termen viktig för att hitta värdet på inrättningstiden.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nu överväger vi 2% fel. Därför är 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Värdet på dämpningsförhållandet (ξ) beror på typen av andragradssystem. Här överväger vi ett underdämpat andragradssystem. Och värdet på ξ ligger mellan 0 och 1.

Så, nämnaren i ovanstående ekvation är nästan lika med 1. Och för att göra en enkel beräkning kan vi ignorera den.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Denna ekvation kan endast användas för en felmarginal på 2 % och ett underdämpat system av andra ordning.

På liknande sätt, för en felmarginal på 5 %; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

För ett system av andra ordningen, innan vi hittar stillaståendestiden, måste vi beräkna dämpningsfaktorn.

Rotortidsmetod för stabiliseringstid

Stabiliseringstiden kan beräknas med hjälp av rotortidsmetoden. Stabiliseringstiden beror på dämpningsfaktorn och naturliga frekvensen.

Dessa storheter kan härledas med hjälp av rotortidsmetoden. Och vi kan hitta stabiliseringstiden.

Låt oss förstå med ett exempel.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Från rotortdiagrammet kan du hitta de dominanta polerna;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nu har vi värdet för ξ och ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Rötterna i plottet erhålls från MATLAB. För detta används "sisotool". Här kan du lägga till en begränsning för procentuell överskridning som är lika med 20%. Och få dominerande poler enkelt.

Nedan visas röttplootten från MATLAB.

Exempel på rotortdiagram

Vi kan hitta inrättningstiden med hjälp av MATLAB. Enhetsstegsresponsen för detta system visas i figuren nedan.

Inrättningstid i MATLAB

Hur man minskar inrättningstiden

Inrättningstiden är den tid som krävs för att nå målet. För alla reglersystem bör inrättningstiden hållas så låg som möjligt.

Att minska inrättningstiden är inte en lätt uppgift. Vi behöver designa en regulator för att minska inrättningstiden.

Som vi vet finns det tre regulatorer; proportionell (P), integrerande (I), derivator (D). Genom att kombinera dessa regulatorer kan vi uppfylla våra krav på systemet.

Förstärkningen av regulatorerna (KP, KI, KD) väljs utifrån systemets krav.

Ökning av proportionella förstärkningen KP resulterar i en liten förändring av inrättningstiden. Ökning av integrerande förstärkningen KI ökar inrättningstiden. Och ökning av derivatorförstärkningen KD minskar inrättningstiden.

Därför ökar derivativa vinsten för att minska inställningstiden. När du väljer värdena för PID-regulatorn kan det också påverka andra mängder som stigande tid, överskott och stillastående fel.

Hur man hittar stillastående tid i MATLAB

I MATLAB kan stillastående tid hittas med en stegfunktion. Låt oss förstå genom ett exempel.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Först beräknar vi stillastående tiden med hjälp av ekvationen. För detta jämför denna överföringsfunktion med den generella överföringsfunktionen för ett andraderivativsystem.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Därför,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Detta värde är ett approximativt värde eftersom vi har gjort antaganden vid beräkningen av ekvationen för stabiliserings tid. Men i MATLAB får vi det exakta värdet för stabiliserings tid. Så detta värde kan vara något annorlunda i båda fallen.

För att beräkna stabiliserings tid i MATLAB använder vi stegfunktionen.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Utdata:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Och du får en graf över svaret som visas i figuren nedan.

Beräkning av stabiliserings tid i MATLAB

I MATLAB är standardfelet 2%. Du kan ändra detta i grafen för olika felband. För detta, högerklicka på grafen > egenskaper > alternativ > "visa stabiliserings tid inom ___ %".

Egenskapsredigerare MATLAB

En annan metod för att hitta ställningstiden genom att köra en loop. Som vi vet, för det 2%-iga felfältet betraktar vi svaret mellan 0,98 till 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Utdata:

settling_time = 1.1886

Uttalande: Respektera det ursprungliga, bra artiklar är värda att dela, om det finns upphovsrättsskyddade material kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Energisystem

Styrningssystem

Om experter

Electrical4u

China

Rekommenderad

Mer

Vilka säkerhetsåtgärder och riktlinjer gäller för användning av AC-belastningsbankar?

AC-laster är elektriska enheter som används för att simulera verkliga laster och används vidare inom energisystem, kommunikationssystem, automatiserade kontrollsystem och andra områden. För att säkerställa person- och utrustningssäkerhet under användningen måste följande säkerhetsförsiktigheter och riktlinjer iakttas:Välj en lämplig AC-last: Välj en AC-last som uppfyller de faktiska kraven, se till att dess kapacitet, spänningsklass och andra parametrar uppfyller den avsedda tillämpningen. Dessu

Echo

11/06/2025

Vad bör noteras vid installation av en typ K termoelement?

Monteringsförsiktigheter för typ K termoelement är viktiga för att säkerställa mätningarnas noggrannhet och förlänga tjänstelivslängden. Nedan följer en introduktion till monteringsriktlinjerna för typ K termoelement, samlade från mycket auktoritativa källor:1. Val och inspektion Välj rätt typ av termoelement: Välj rätt termoelement baserat på temperaturintervallet, mediumegenskaperna och den önskade noggrannheten i mätningen. Typ K termoelement passar för temperaturer mellan -200°C och 1372°C o

James

11/06/2025

Orsaker och förebyggande åtgärder för brand och explosion i oljecirkuitbrytare

Orsaker till brand och explosion i oljekretsuttagare När oljenivån i en oljekretsuttagare är för låg blir oljeskiktet som täcker kontaktarna för tunnt. Under effekten av elektriska bågar dekomponerar oljan och frigör brännbara gaser. Dessa gaser samlas i utrymmet under övertäckningen, blandas med luft och bildar en explosiv blandning som kan tändas eller explodera vid höga temperaturer. Om oljenivån inuti tanken är för hög har de frigjorda gaserna begränsat utrymme att expandera, vilket leder ti

Felix Spark

11/06/2025

Felformeringsstandarder för THD-mätning i elkraftsystem

Felförtrogenhet för total harmonisk distorsion (THD): En omfattande analys baserad på tillämpningsområden, utrustningsprecision och branschstandarderDen acceptabla felförtrogna mängden för total harmonisk distorsion (THD) måste utvärderas baserat på specifika tillämpningskontexter, mätutrustningsprecision och gällande branschstandarder. Nedan följer en detaljerad analys av nyckelindikatorer inom kraftsystem, industriutrustning och allmänna mätapplikationer.1. Harmoniska felskatter i kraftsystem1

Edwiin

11/03/2025

Andragsordningssystem	Dämpningsfaktor (ξ)	Ställningstid (TS)
Underdämpat	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Odampt	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritiskt dämpat	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Överdämpat	ξ > 1	Beror på dominanta polen