정착 시간: 무엇인가? (공식 및 MATLAB에서 찾는 방법)

필드: 기본 전기학

China

정착 시간이란?

동적 시스템의 정착 시간은 출력이 주어진 허용 오차 범위 내에서 도달하고 안정화하는 데 필요한 시간으로 정의됩니다. 이는 Ts로 표기됩니다. 정착 시간은 전파 지연과 최종 값의 영역에 도달하는 데 필요한 시간을 포함합니다. 이는 과부하 상태를 회복하고 슬루 및 허용 오차 범위 근처에서 안정화하는 데 필요한 시간을 포함합니다.

허용 오차 범위는 출력이 안정화될 수 있는 최대 허용 범위입니다. 일반적으로 허용 오차 범위는 2% 또는 5%입니다.

2차 시스템의 단계 응답에서의 정착 시간은 아래 그림과 같습니다.

정착 시간

정착 시간 공식

정착 시간은 시스템의 고유 주파수와 응답에 따라 달라집니다. 정착 시간의 일반적인 방정식은 다음과 같습니다.

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

2차 시스템의 단위 계단 응답은 다음과 같이 표현됩니다.

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

이 방정식은 두 부분으로 나뉩니다.

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

안정 시간을 계산하려면 지수 성분만 필요합니다. 이것은 사인 성분의 진동 부분을 상쇄시키기 때문입니다. 그리고 허용 오차 비율은 지수 성분과 같습니다.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

정착 시간 계산 방법

정착 시간을 계산하려면 단위 계단 응답을 가진 일차 시스템을 고려합니다.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

단위 계단 응답의 경우,

$R(s) = \frac{1}{s}$

따라서,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

이제 A₁과 A₂의 값을 계산해보겠습니다.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

s = 0으로 가정합니다.

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s = -1/T로 가정합니다.

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2% 오차를 위해 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

이 방정식은 단위 계단 입력을 가진 1차 시스템의 정착 시간을 제공합니다.

2차 시스템의 경우, 아래의 방정식을 고려해야 합니다.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

이 방정식에서 지수 항은 정착 시간 값을 찾는데 중요합니다.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

이제 2% 오차를 고려합니다. 따라서, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

감쇠비 (ξ)의 값은 2차 시스템의 유형에 따라 달라집니다. 여기서는 과도감쇠 2차 시스템을 고려합니다. 그리고 ξ의 값은 0과 1 사이에 있습니다.

따라서 위 식의 분모는 거의 1과 같습니다. 간단한 계산을 위해 이를 무시할 수 있습니다.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

이 방정식은 2% 오차 범위와 과도하게 감쇠되지 않은 2차 시스템에만 사용할 수 있습니다.

마찬가지로, 5% 오차 범위에서는 1 – C(t) = 0.05입니다.

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

두 번째 차수 시스템의 정착 시간을 찾기 전에 감쇠 비율을 계산해야 합니다.

루트 로커스 정착 시간

정착 시간은 루트 로커스 방법을 통해 계산할 수 있습니다. 정착 시간은 감쇠 비율과 고유 주파수에 따라 달라집니다.

이러한 값들은 루트 로커스 방법을 통해 도출할 수 있으며, 이를 통해 정착 시간을 찾을 수 있습니다.

예제를 통해 이해해봅시다.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

그리고 오버슈트는 20%입니다.

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

루트 로커스 플롯에서 주요 극을 찾을 수 있습니다.

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

이제 ξ와 ωn의 값을 얻었습니다,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

루트 로커스 플롯은 MATLAB에서 도출됩니다. 이를 위해 "sisotool"을 사용합니다. 여기서는 20%의 과도응답률 제약 조건을 추가할 수 있으며, 주요 극점을 쉽게 얻을 수 있습니다.

아래 그림은 MATLAB에서 도출된 루트 로커스 플롯입니다.

루트 로커스 예제

MATLAB을 이용하여 정착 시간을 찾을 수 있습니다. 이 시스템의 단위 계단 응답은 아래 그림과 같습니다.

MATLAB에서의 정착 시간

정착 시간 줄이기

정착 시간은 목표를 달성하는 데 필요한 시간입니다. 어떤 제어 시스템에서도 정착 시간은 최소로 유지되어야 합니다.

정착 시간을 줄이는 것은 쉬운 작업이 아닙니다. 정착 시간을 줄이기 위해 컨트롤러를 설계해야 합니다.

우리가 알다시피, 비례(P), 적분(I), 미분(D) 세 가지 컨트롤러가 있습니다. 이러한 컨트롤러들의 조합으로 시스템 요구 사항을 충족할 수 있습니다.

컨트롤러의 이득(KP, KI, KD)는 시스템 요구 사항에 따라 선택됩니다.

비례 이득 KP를 증가시키면 정착 시간에 작은 변화가 생깁니다. 적분 이득 KI를 증가시키면 정착 시간이 증가합니다. 그리고 미분 이득 KD를 증가시키면 정착 시간이 감소합니다.

따라서, 미분 이득이 증가하여 설정 시간을 줄입니다. PID 제어기의 이득 값을 선택할 때, 상승 시간, 오버슈트, 정상 상태 오차와 같은 다른 요소에도 영향을 미칠 수 있습니다.

MATLAB에서 안정 시간 찾기

MATLAB에서는 스텝 함수를 사용하여 안정 시간을 찾을 수 있습니다. 예제를 통해 이해해 보겠습니다.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

먼저, 방정식으로 안정 시간을 계산합니다. 이를 위해 이 전달 함수를 2차 시스템의 일반적인 전달 함수와 비교합니다.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

따라서,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$안정 시간 (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

이 값은 방정식을 계산할 때 가정을 사용했기 때문에 근사값입니다. 그러나 MATLAB에서는 정확한 안정화 시간 값을 얻을 수 있습니다. 따라서 두 경우에서 이 값은 약간 다를 수 있습니다.

이제 MATLAB에서 안정화 시간을 계산하기 위해 step 함수를 사용합니다.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

그리고 아래 그림과 같이 응답 그래프를 얻게 됩니다.

MATLAB에서의 안정화 시간 계산

MATLAB에서는 기본적으로 오차 밴드가 2%로 설정되어 있습니다. 다른 오차 밴드를 사용하려면 그래프에서 오른쪽 클릭 > 속성 > 옵션 > "___ % 내에서 안정화 시간 표시"를 선택하세요.

속성 편집기 MATLAB

루프를 실행하여 정착 시간을 찾는 또 다른 방법입니다. 2% 오차 범위에서 반응은 0.98에서 1.02 사이로 고려합니다.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

출력:

settling_time = 1.1886

작가에게 팁을 주고 격려하세요

주제:

전력 시스템

제어 시스템

전문가 정보

Electrical4u

China

추천

주 변압기 사고 및 경가스 작동 문제

1. 사고 기록 (2019년 3월 19일)2019년 3월 19일 오후 4시 13분, 모니터링 백그라운드에서 3호 주 변압기의 경 가스 동작이 보고되었습니다. 전력 변압기 운전 규칙 (DL/T572-2010)에 따라 운영 및 유지보수 (O&M) 인원이 3호 주 변압기의 현장 상태를 점검했습니다.현장 확인 결과: 3호 주 변압기의 WBH 비전기 보호 패널에서 변압기 본체 B상의 경 가스 동작이 발생했으며, 재설정이 불가능했습니다. O&M 인원은 3호 주 변압기의 B상 가스 계전기와 가스 샘플링 박스를 점검하고, 변압기 본체의 코어와 클램프 접지 전류를 테스트했습니다.오후 4시 36분, 변전소 모니터링 백그라운드에서 3호 주 변압기의 중 가스 동작 트립이 보고되었으며, B상 본체에서 화재가 발생했습니다. 변압기의 고정형 폼 분사 소화 시스템이 정상적으로 작동하였습니다 (신호 사진 제공).이 사고 대응 조치: 경 가스-트립 변환 계획 수립: 기술 개조 방안을 작성하고, 후속

Leon

02/05/2026

10kV 배전선로의 단상 접지 고장 및 처리

단상 접지 고장의 특성 및 검출 장치1. 단상 접지 고장의 특성중앙 경보 신호:경고 벨이 울리고, "[X] kV 버스 구간 [Y] 접지 고장"이라고 표시된 지시등이 켜집니다. 중성점에彼得森线圈（消弧线圈）接地的系统中，“彼得森线圈运行”指示灯也会亮起。绝缘监测电压表指示:故障相电压下降（在不完全接地的情况下）或降至零（在完全接地的情况下）。其他两相电压上升——在不完全接地时超过正常相电压，或在完全接地时升至线电压。在稳定接地情况下，电压表指针保持稳定；如果持续波动，则故障为间歇性（电弧接地）。在彼得森线圈接地系统中:如果安装了中性点位移电压表，在不完全接地时会显示一定读数，或在完全接地时达到相电压。彼得森线圈的接地报警灯也会激活。电弧接地现象:电弧接地会产生过电压，导致非故障相电压显著升高。这可能会熔断电压互感器（VT）的高压熔丝，甚至损坏VT本身。2. 真实接地故障与误报的区别VT中的高压熔丝熔断:VT某一相的熔丝熔断可以触发接地故障信号。然而：实际接地故障：故障相电压下降，其他两相上升，但线电压保持不变。熔丝熔断：一相电压下降，其他两相不上升，且线电压下降。变

Rockwill

01/30/2026

110kV～220kV 전력망 변압기의 중성점 접지 운전 모드

110kV～220kV 전력망 변압기의 중성점 접지 운용 모드 배치는 변압기 중성점의 절연 내구 요구사항을 충족해야 하며 또한 변전소의 제로 시퀀스 임피던스가 기본적으로 변경되지 않도록 노력해야 합니다. 이와 동시에 시스템의 모든 단락점에서의 제로 시퀀스 종합 임피던스가 정 시퀀스 종합 임피던스의 세 배를 초과하지 않도록 보장해야 합니다.신규 건설 및 기술 개조 프로젝트에서의 220kV 및 110kV 변압기의 중성점 접지 모드는 다음 요구 사항을 엄격히 준수해야 합니다:1. 자가변압기자가변압기의 중성점은 직접 접지되거나 소형 반응기를 통해 접지되어야 합니다.2. 얇은 절연 변압기(미개조)미개조된 얇은 절연 변압기의 중성점은 가능하면 직접 접지 운용이 이루어져야 합니다.3. 220kV 변압기220kV 변압기의 110kV 측 중성점의 절연 등급이 35kV인 경우 220kV 측과 110kV 측의 중성점 모두 직접 접지 운용이 이루어져야 합니다.변압기의 220kV 및 110kV 측 중성점의

Vziman

01/29/2026

변전소에서 왜 돌멩이와 자갈 그리고 깨진 암석을 사용하나요

변전소에서 왜 자갈, 깔린 자갈, 조약돌 및 파쇄된 암석을 사용할까?변전소에서는 전력용 및 배전용 변압기, 송전선로, 전압변성기, 전류변성기, 차단개폐기 등 다양한 장비가 접지되어야 한다. 접지 이외에도, 이제 우리는 자갈 및 파쇄된 석재가 변전소에서 일반적으로 사용되는 이유를 심층적으로 살펴볼 것이다. 비록 평범해 보이지만, 이러한 돌들은 핵심적인 안전 및 기능적 역할을 수행한다.변전소의 접지 설계—특히 여러 가지 접지 방식이 병행 적용되는 경우—에서 파쇄된 암석 또는 자갈을 현장 전체에 포설하는 데는 몇 가지 주요한 이유가 있다.변전소 현장에 자갈을 포설하는 주요 목적은 지면 전위 상승(Ground Potential Rise, GPR)을 감소시키는 것으로, 이는 ‘걸음 전압(step voltage)’ 및 ‘접촉 전압(touch voltage)’으로도 정의된다. 정의는 다음과 같다: 지면 전위 상승(GPR): 원격 지면 기준점(진정한 영 전위로 간주됨) 대비 변전소 접지 격자가 도

Echo

01/29/2026

이차 시스템	감쇠 비율 (ξ)	설정 시간 (TS)
과도 감쇠	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
무감쇠	ξ = 0	$T_S = \infty$
임계 감쇠	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
과감쇠	ξ > 1	지배 극에 따라 달라짐