Ustalitveni čas: Kaj je to? (Formula in kako ga najti v MATLAB)

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Kaj je čas usidranja?

Čas usidranja dinamičnega sistema je definiran kot čas, ki ga potrebuje izhod, da doseže in se usidri znotraj določenega tolerančnega pasu. Označuje se s Ts. Čas usidranja vključuje propagačni zakasnitev in čas, ki ga potrebujemo, da dosežemo območje končne vrednosti. Vključuje tudi čas za obnovitev pogojev pretirane obremenitve, povezanih z nagnjenjem in usidrenostjo blizu tolerančnega pasu.

Tolerančni pas je največji dovoljeni razpon, v katerem se lahko izhod usidri. Običajno so tolerančni pasovi 2% ali 5%.

Čas usidranja pri odzivu na korak drugega reda sistema je prikazan na spodnjem prikazu.

Čas usidranja

Formula časa usidranja

Čas usidranja je odvisen od naravne frekvence in odziva sistema. Splošna enačba časa usidranja je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Enotski odziv sistema drugega reda je izražen kot;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ta enačba se razdeli na dva dela;

$eksponentna komponenta = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusna komponenta = sin(\omega_d t + \theta)$

Za izračun časa ustalitve potrebujemo le eksponentno komponento, saj ona zniža oscilatorni del sinusne komponente. In ulomljeni delež je enak eksponentni komponenti.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kako izračunati čas uskladitve

Za izračun časa uskladitve upoštevamo sistemi prvega reda z enotsko odzivno funkcijo.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Za enotsko odzivno funkcijo,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Torej,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Zdaj izračunajte vrednost za A1 in A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Predpostavimo, da je s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Predpostavimo, da je s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Za napako 2 % je 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ta enačba določa čas usidranja za sistem prvega reda s stopničastim vhodom.

Za sistem drugega reda moramo upoštevati spodnjo enačbo;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

V tej enačbi je eksponentni člen pomemben za določitev vrednosti časa usidranja.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nedavno smo upoštevali 2% napako. Torej, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vrednost koeficienta dušenja (ξ) je odvisna od vrste sistema drugega reda. Tukaj upoštevamo poddušen sistem drugega reda. Vrednost ξ leži med 0 in 1.

Zato je imenovalec zgornje enačbe približno enak 1. Za lažjo izračunavanje ga lahko zanemarimo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ta enačba se lahko uporablja samo za napako 2% in podprljen sistem drugega reda.

Podobno za napako 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Za sistem drugega reda moramo pred določitvijo časa nastavitve izračunati dušilni razmerje.

Čas usposabljanja v metodi korennega lokusa

Čas usposabljanja se lahko izračuna z metodo korennega lokusa. Čas usposabljanja je odvisen od koeficienta pritlaga in naravne frekvence.

Te količine je mogoče izpeljati s pomočjo metode korennega lokusa. In tako lahko najdemo čas usposabljanja.

Razumimo to s primerom.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

In Presežek = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Iz grafika korenske lokacije lahko najdete dominantne poli.

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sedaj imamo vrednost ξ in ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Koreninski lokus je izpeljan iz MATLAB-a. Za to uporabite »sisotool«. Tukaj lahko dodate omejitev za odstotno prenihanje, ki je enako 20 %. Dominantne pole dobite preprosto.

Spodnja slika prikazuje koreninski lokus iz MATLAB-a.

Primer korennega lokusa

Čas dosežka lahko najdemo s pomočjo MATLAB-a. Enotska odzivna krivulja te sistema je prikazana na spodnji sliki.

Čas dosežka v MATLAB-u

Kako zmanjšati čas dosežka

Čas dosežka je čas, ki ga potrebujemo za dosego cilja. Za vsak regulacijski sistem mora biti čas dosežka čim manjši.

Zmanjšanje časa dosežka ni enostavna naloga. Potrebno je oblikovati regulator, ki bo zmanjšal čas dosežka.

Kot vemo, obstajajo tri vrste regulatorjev: proporcionalni (P), integralni (I) in odvodni (D). Z kombinacijo teh regulatorjev lahko dosežemo zahtevane lastnosti sistema.

Ojačilo regulatorjev (KP, KI, KD) se izbere glede na zahteve sistema.

Povečanje proporcionalnega ojačila KP povzroči majhno spremembo v času dosežka. Povečanje integralnega ojačila KI poveča čas dosežka. Povečanje odvodnega ojačila KD zmanjša čas dosežka.

Zato povečanje odvoda poveča zmanjšanje časa nastavitve. Pri izbiri vrednosti dobitka regulatorja PID lahko to vpliva tudi na druge količine, kot so čas naraščanja, prehajanje in napaka v stacionarnem stanju.

Kako najti čas nastavitve v MATLAB-u

V MATLAB-u lahko čas nastavitve določimo s korakom funkcije. Poglejmo si primer.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Najprej izračunamo čas nastavitve po enačbi. Zato to prenosno funkcijo primerjamo s splošno prenosno funkcijo sistema drugega reda.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Torej,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ta vrednost je približna vrednost, saj smo pri izračunu enačbe za čas usmernitve uporabili nekaj predpostavk. V MATLAB-u pa dobimo točen čas usmernitve. Zato se ta vrednost v obeh primerih lahko malo razlikuje.

Zdaj, da bi izračunali čas usmernitve v MATLAB-u, uporabimo funkcijo step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Izhod:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

In pridobite graf odziva, kot je prikazano na spodnji sliki.

Izračun časa usmernitve v MATLAB-u

V MATLAB-u je privzeta procentna območje napake 2 %. To lahko spremenite v grafikonu za drugačno območje napak. Za to desno kliknite na grafikon > lastnosti > možnosti > “prikaži čas usmernitve znotraj ___ %”.

Urejevalnik lastnosti MATLAB

Druga metoda za iskanje časa ustalitve je z zagonom zanke. Kot vemo, za 2% obseg napak upoštevamo odziv med 0,98 in 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
ustalitveni_cas = (S-1)*0.005

Izhod:

ustalitveni_cas = 1.1886

Izjava: Spoštujte izvirnico, dobre članke je vredno deliti, če gre za kršitev avtorskih pravic se obvestite z brisanjem.

Podari in ohrani avtorja!

Teme:

Sistemi za energijo

Kontrolni sistemi

O strokovnjakih

Electrical4u

China

Področje strokovnosti

Basic Electrical

Stranski članek

607

Priporočeno

Več

Katera varnostna opozorila in smernice veljajo za uporabo nabizarnikov z izmenično napajanjem?

Nalovi AC so električni napravi, uporabljene za simulacijo stvarnih obremenitev in so široko uporabljene v sistemih oskrbe s strujom, komunikacijskih sistemih, sistemih avtomatske kontrole in drugih področjih. Za zagotovitev varnosti osebja in opreme med uporabo je treba spoštovati naslednje varnostne ukrepe in smernice:Izberite primerni nalov AC: Izberite nalov AC, ki zadošča dejanskim zahtevam, tako da njegova zmogljivost, napetostna stopnja in druge parametri ustrezajo namenjenemu uporabnemu

Echo

11/06/2025

Kaj je treba upoštevati pri namestitvi termoparovega voda tipa K?

Preventiva pri namestitvi termoparov tipa K so ključne za zagotavljanje natančnosti meritve in podaljšanje življenjske dobe. Spodaj je predstavljena vodila za namestitev termoparov tipa K, zbrana iz visoko avtoritativnih virov:1. Izbor in pregled Izberite pravilno vrsto termopara: Izberite pravilni termopar glede na temperaturni obseg, lastnosti medija in zahtevano natančnost merilnega okolja. Termopari tipa K so primernejši za temperature od -200°C do 1372°C in se lahko uporabljajo v različnih

James

11/06/2025

Vzroki in preventivne mere za požar in eksplozijo v oljnem prekidaču

Vzroki požarov in eksplozij v oljnem prekidaču Ko je raven olja v oljnem prekidaču prenizka, postane plast olja, ki pokriva stikala, pretanka. Pod vplivom električnega loka se olje razbije in izpušča goriva plini. Ti plini se nabirajo pod zgornjo pokrovno ploščo, mešajo z zrakom in oblikujejo eksplozivno mešanico, ki se lahko pri visokih temperaturah zapali ali ekspodira. Če je raven olja znotraj rezervorja previsoka, imajo izpuščeni plini omejeno prostor za širjenje, kar vodi do prekomerne notr

Felix Spark

11/06/2025

Merila napak pri merjenju THD v sistemih za proizvodnjo električne energije

Toleranca napak celostne harmonske deformacije (THD): Podroben analiza glede na uporabniške scene, natančnost opreme in industrijske standardePripravljivost za prihodnje napake celostne harmonske deformacije (THD) mora biti ocenjena glede na specifične uporabniške kontekste, natančnost merilne opreme in veljavne industrijske standarde. Spodaj je podrobna analiza ključnih kazalnikov uspešnosti v električnih sistemih, industrijski opremi in splošnih merilnih aplikacijah.1. Standardi napak harmonik

Edwiin

11/03/2025

Sistemi drugega reda	Koeficient priguševanja (ξ)	Čas postavitve (TS)
Podprigušeno	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Nepodprigušeno	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritično podprigušeno	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Prenadprigušeno	ξ > 1	Odvisno od dominantnega pola