وقت الاستقرار: ما هو؟ (الصيغة وكيفية إيجاده في MATLAB)

Electrical4u

حقل: الكهرباء الأساسية

China

ما هو وقت الاستقرار؟

يُعرّف وقت الاستقرار لنظام ديناميكي بأنه الوقت اللازم للإخراج ليصل ويستقر ضمن نطاق التسامح المحدد. يُرمز له بـ Ts. يتكون وقت الاستقرار من تأخير الانتشار والوقت اللازم للوصول إلى منطقة القيمة النهائية. ويشمل الوقت اللازم لاستعادة حالة التشبع المرتبطة بالسرعة والاستقرار بالقرب من نطاق التسامح.

نطاق التسامح هو المدى الأقصى المسموح به الذي يمكن أن يستقر فيه الإخراج. عادةً ما يكون نطاق التسامح 2% أو 5%.

يظهر وقت الاستقرار في استجابة الخطوة لنظام من الدرجة الثانية كما في الشكل أدناه.

وقت الاستقرار

صيغة وقت الاستقرار

يعتمد وقت الاستقرار على التردد الطبيعي واستجابة النظام. المعادلة العامة لوaktu waktu stabil bergantung pada frekuensi alami dan respons sistem. Persamaan umum untuk waktu stabil adalah; \[ T_S = \frac{ln(fraksi toleransi)}{rasio redaman \times Frekuensi alami} \]قت الاستقرار هي:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

يتم التعبير عن استجابة الخطوة لنظام من الدرجة الثانية كالتالي:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

تنقسم هذه المعادلة إلى جزأين؛

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

لحساب وقت الاستقرار، نحتاج فقط للجزء الأسي لأنه يلغي الجزء المتذبذب من المكون الدوري. ونسبة التسامح تساوي المكون الأسي.

$نسبة التسامح = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$نسبة التسامح \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( نسبة التسامح \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

كيفية حساب وقت الاستقرار

لحساب وقت الاستقرار، نعتبر نظامًا من الدرجة الأولى مع استجابة خطوة وحدة.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

بالنسبة لاستجابة الخطوة الوحدوية،

$R(s) = \frac{1}{s}$

وبالتالي،

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

الآن، حساب قيمة A1 و A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

افترض أن s = 0؛

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

افترض أن s = -1/T؛

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

للالتباس بنسبة خطأ 2%، 1-C(t) = 0.02؛

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

تعطي هذه المعادلة وقت الاستقرار لنظام من الدرجة الأولى مع مدخل خطوة الوحدة.

بالنسبة للنظام من الدرجة الثانية، يجب أن نأخذ بعين الاعتبار المعادلة التالية:

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

في هذه المعادلة، يعتبر المصطلح الأسي مهمًا لإيجاد قيمة وقت الاستقرار.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

الآن، نعتبر خطأ بنسبة 2٪. لذا، 1 – C(t) = 0.02؛

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

تعتمد قيمة نسبة التخميد (ξ) على نوع النظام من الدرجة الثانية. هنا، نعتبر نظامًا من الدرجة الثانية غير متخمّد. وتقع قيمة ξ بين 0 و 1.

لذا، فإن مقام المعادلة أعلاه يقارب 1. ولتسهيل الحسابات، يمكننا تجاهله.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

يمكن استخدام هذه المعادلة فقط لحزمة الخطأ 2٪ وأنظمة الدرجة الثانية غير المثبطة بشكل كافٍ.

وبالمثل، بالنسبة لحزمة الخطأ 5٪؛ 1 – C(t) = 0.05؛

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

بالنسبة للنظام من الدرجة الثانية، قبل إيجاد وقت الاستقرار، يجب علينا حساب نسبة التخميد.

وقت الاستقرار في موقع الجذر

يمكن حساب وقت الاستقرار باستخدام طريقة موقع الجذر. يعتمد وقت الاستقرار على نسبة التخميد والتواتر الطبيعي.

يمكن استنتاج هذه الكميات بمساعدة طريقة موقع الجذر. ويمكننا إيجاد وقت الاستقرار.

لنفهم ذلك بمثال.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

ومعدل التجاوز = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

من خلال رسم موقع الجذور، يمكنك العثور على الأقطاب الرئيسية؛

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

الآن، لدينا قيمة ξ و ωن,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

يتم استخراج رسم المسار الجذري من MATLAB. لهذا الغرض، استخدم "sisotool". هنا، يمكنك إضافة قيد لـ نسبة التجاوز تساوي 20٪. والحصول على الأقطاب السائدة بسهولة.

يوضح الشكل أدناه رسم المسار الجذري من MATLAB.

مثال على موقع الجذور

يمكننا إيجاد وقت الاستقرار بمساعدة MATLAB. استجابة النظام لخطوة الوحدة تظهر في الشكل أدناه.

وقت الاستقرار في MATLAB

كيفية تقليل وقت الاستقرار

يُعتبر وقت الاستقرار هو الوقت اللازم لتحقيق الهدف. ولأي نظام تحكم، يجب أن يكون وقت الاستقرار أدنى ما يمكن.

تقليل وقت الاستقرار ليس مهمة سهلة. نحتاج إلى تصميم محرك تحكم لتقليل وقت الاستقرار.

كما نعلم، هناك ثلاثة محركات تحكم؛ التناسبي (P)، التكاملي (I)، التفاضلي (D). من خلال الجمع بين هذه المحركات، يمكننا تحقيق متطلبات نظامنا.

يتم اختيار مكاسب المحركات (KP, KI, KD) وفقًا لمتطلبات النظام.

زيادة المكسب التناسبي KP يؤدي إلى تغيير صغير في وقت الاستقرار. زيادة المكسب التكاملي KI يؤدي إلى زيادة في وقت الاستقرار. وزيادة المكسب التفاضلي KD يؤدي إلى تقليل وقت الاستقرار.

لذلك، يزداد مكسب المشتق لتخفيض وقت الإعداد. عند اختيار قيم المكاسب لمتحكم PID، قد يؤثر ذلك أيضًا على الكميات الأخرى مثل وقت الصعود والتجاوز والخطأ الثابت.

كيفية إيجاد وقت الاستقرار في MATLAB

في MATLAB، يمكن إيجاد وقت الاستقرار باستخدام دالة الخطوة. دعونا نفهم ذلك من خلال مثال.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

أولاً، نحسب وقت الاستقرار بواسطة المعادلة. من أجل ذلك، نقارن هذه دالة التحويل مع دالة التحويل العامة لنظام الدرجة الثانية.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

وبالتالي،

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

هذا القيمة هي قيمة تقريبية حيث اعتمدنا على بعض الفرضيات أثناء حساب معادلة وقت الاستقرار. ولكن في MATLAB، نحصل على القيمة الدقيقة لوقت الاستقرار. لذلك، قد تكون هذه القيمة مختلفة قليلاً في الحالتين.

الآن، لحساب وقت الاستقرار في MATLAB، نستخدم دالة الخطوة.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

وتُظهر لك رسمًا للرد كما هو موضح في الشكل أدناه.

حساب وقت الاستقرار في MATLAB

في MATLAB، نسبة الخطأ الافتراضية هي 2٪. يمكنك تغيير هذه النسبة في الرسم البياني لشرائح خطأ مختلفة. للقيام بذلك، انقر بزر الماوس الأيمن على الرسم البياني > خصائص > خيارات > "إظهار وقت الاستقرار ضمن ___٪".

محرر الخصائص MATLAB

طريقة أخرى لإيجاد وقت الاستقرار عن طريق تشغيل حلقة. كما نعلم، للفترة الزمنية الخطأ بنسبة 2٪، نعتبر الرد بين 0.98 إلى 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

النتيجة:

settling_time = 1.1886

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، إذا كان هناك انتهاك يرجى الاتصال للحذف.

قدم نصيحة وشجع الكاتب

المواضيع:

أنظمة الطاقة

أنظمة التحكم

حول الخبراء

Electrical4u

China

مُنصح به

المزيد

ما هي الاحتياطات والمبادئ التوجيهية للسلامة عند استخدام مجموعات الأحمال المتناوبة؟

تعتبر مجموعات الأحمال التبادلية (AC) أجهزة كهربائية تُستخدم لمحاكاة الأحمال الحقيقية وتُطبق على نطاق واسع في أنظمة الطاقة وأنظمة الاتصالات وأنظمة التحكم الآلي وغيرها من المجالات. لضمان سلامة الأفراد والمعدات أثناء الاستخدام، يجب اتباع الاحتياطات والإرشادات التالية:اختر مجموعة أحمال تبادلية مناسبة: اختر مجموعة أحمال تبادلية تلبي المتطلبات الفعلية، مع ضمان أن قدرتها وتصنيف الجهد وغيرها من المعلمات تلبي التطبيق المقصود. بالإضافة إلى ذلك، اختر المنتجات التي تحمل ضمان الجودة والشهادات المعترف بها للس

Echo

11/06/2025

ما الذي يجب ملاحظته عند تركيب زوج حراري من نوع K

تعتبر الاحتياطات اللازمة لتركيب الأزواج الحرارية من نوع K ضرورية للتأكد من دقة القياس وتمديد عمر الخدمة. فيما يلي مقدمة إلى إرشادات التركيب للأزواج الحرارية من نوع K، مستخرجة من مصادر ذات سلطة عالية:1. الاختيار والتفتيش اختر الزوج الحراري المناسب: اختر الزوج الحراري الصحيح بناءً على نطاق درجة الحرارة، خصائص الوسط، ودقة القياس المطلوبة في بيئة القياس. الأزواج الحرارية من نوع K مناسبة لنطاق درجات حرارة من -200°C إلى 1372°C ويمكن استخدامها في بيئات وأوساط مختلفة. تفقّد مظهر الزوج الحراري: قبل الترك

James

11/06/2025

أسباب وتدابير الوقاية من الحريق والانفجار في قواطع الدائرة النفطية

أسباب الحرائق والانفجارات في مفاتيح الدائرة المغمورة بالزيت عندما يكون مستوى الزيت في مفتاح الدائرة المغمور بالزيت منخفضًا جدًا، يصبح طبقة الزيت التي تغطي نقاط التلامس رقيقة جدًا. تحت تأثير القوس الكهربائي، يتم تحلل الزيت وإطلاق غازات قابلة للاشتعال. تتراكم هذه الغازات في الفضاء أسفل الغطاء العلوي، وتختلط مع الهواء لتشكيل خليط قابل للانفجار، والذي يمكن أن يشتعل أو ينفجر تحت درجة حرارة عالية. إذا كان مستوى الزيت داخل الخزان مرتفعًا جدًا، فإن الغازات المنبعثة لديها مساحة محدودة للتوسع، مما يؤدي إل

Felix Spark

11/06/2025

معايير خطأ قياس التوافقيات الكلية لنظم الطاقة

تسامح الخطأ في التشوه التوافقي الكلي (THD): تحليل شامل بناءً على سيناريوهات التطبيق ودقة المعدات ومعايير الصناعةيجب تقييم نطاق الخطأ القابل للقبول لتشوه التوافقي الكلي (THD) بناءً على السياقات التطبيقية الخاصة، ودقة معدات القياس، ومعايير الصناعة المعمول بها. فيما يلي تحليل مفصل للمؤشرات الرئيسية للأداء في أنظمة الطاقة والمعدات الصناعية وتطبيقات القياس العامة.1. معايير خطأ التوافقي في أنظمة الطاقة1.1 متطلبات المعايير الوطنية (GB/T 14549-1993) تشوه التوافقي الكلي للجهد (THDv):لشبكات الطاقة العامة،

Edwiin

11/03/2025

نظام من الدرجة الثانية	نسبة التخميد (ξ)	وقت الاستقرار (TS)
غير مخمّد بما فيه الكفاية	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
غير مخمّد	ξ = 0	$T_S = \infty$
مخمّد بحد أقصى	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
مفرط التخميد	ξ > 1	يعتمد على القطب المهيمن