Instelingsduur: Wat is het? (Formule en hoe het te vinden in MATLAB)

Electrical4u

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is Settling Time?

De settling time van een dynamisch systeem wordt gedefinieerd als de tijd die nodig is om de uitvoer binnen een gegeven tolerantieband te bereiken en te stabiliseren. Het wordt aangeduid met Ts. De settling time bestaat uit de propagatieduur en de tijd die nodig is om de regio van de eindwaarde te bereiken. Het omvat ook de tijd om de overbelastingsconditie te herstellen, samen met de slew en de stabilisatie nabij de tolerantieband.

De tolerantieband is het maximale toelaatbare bereik waarbinnen de uitvoer kan stabiliseren. Over het algemeen zijn de tolerantiebanden 2% of 5%.

De settling time in de staprespons van een tweede-orde systeem wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Settling Time

Formule voor Settling Time

De settling time hangt af van de natuurlijke frequentie en de respons van het systeem. De algemene vergelijking voor settling time is;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

De eenheidsstaprespons van een tweede-orde systeem wordt uitgedrukt als;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Deze vergelijking bestaat uit twee delen;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Om de settling time te berekenen, hebben we alleen de exponentiële component nodig, omdat deze het oscillatoire deel van de sinusvormige component opheft. Het tolerantiefactor is gelijk aan de exponentiële component.

$Tolerantiebreuk = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerantiebreuk \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerantiebreuk \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hoe te berekenen de settling time

Om de settling time te berekenen, beschouwen we een eerste orde systeem met een eenheidstreepproef.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Voor de eenheidstreepproef,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Daarom,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Bereken nu de waarden voor A1 en A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Neem aan s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Neem aan s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Voor een fout van 2%, is 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Deze vergelijking geeft de settling time voor een eerste orde systeem met een eenheidstree-input.

Voor een tweede orde systeem moeten we de volgende vergelijking overwegen;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In deze vergelijking is de exponentiële term belangrijk om de waarde van de settling time te bepalen.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nu nemen we 2% fout in overweging. Dus, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

De waarde van de dempingverhouding (ξ) hangt af van het type tweede orde systeem. Hier nemen we een ondergedempt tweede orde systeem in overweging. En de waarde van ξ ligt tussen 0 en 1.

Dus, de noemer van de bovenstaande vergelijking is bijna gelijk aan 1. En om een eenvoudige berekening te maken, kunnen we deze verwaarlozen.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Deze vergelijking kan alleen worden gebruikt voor een foutband van 2% en een ondergedempt tweede orde systeem.

Op dezelfde manier, voor een foutband van 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Voor een systeem van de tweede orde moeten we de dempingcoëfficiënt berekenen voordat we de settling time bepalen.

Wortellocus Instel Tijd

De insteltijd kan worden berekend met de wortellocus methode. De insteltijd hangt af van de dempingverhouding en de natuurlijke frequentie.

Deze grootheden kunnen worden afgeleid met behulp van de wortellocus methode. En we kunnen de insteltijd vinden.

Laten we begrijpen met een voorbeeld.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

En Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Uit de root locus plot kunt u de dominante polen vinden;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nu hebben we de waarden van ξ en ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

De wortellocusplot is afgeleid van MATLAB. Daarvoor gebruik je “sisotool”. Hier kun je een beperking toevoegen voor de procentuele overschrijding gelijk aan 20%. En krijg gemakkelijk dominante polen.

De onderstaande figuur toont de wortellocusplot uit MATLAB.

Voorbeeld van wortellocus

We kunnen de settling time met behulp van MATLAB bepalen. De eenheidstreeksrespons van dit systeem is zoals getoond in de onderstaande figuur.

Settling Time in MATLAB

Hoe de settling time te verkleinen

De settling time is de tijd die nodig is om het doel te bereiken. Voor elk regelsysteem moet de settling time minimaal worden gehouden.

Het verkleinen van de settling time is geen eenvoudige taak. We moeten een controller ontwerpen om de settling time te verkleinen.

Zoals we weten, zijn er drie soorten controllers; proportioneel (P), integraal (I), afgeleide (D). Met een combinatie van deze controllers kunnen we de vereisten van het systeem bereiken.

De gain van de controllers (KP, KI, KD) wordt gekozen op basis van de vereisten van het systeem.

Een toename van de proportionele gain KP resulteert in een kleine verandering in de settling time. Een toename van de integrale gain KI zorgt voor een toename van de settling time. En een toename van de afgeleide gain KD leidt tot een afname van de settling time.

Daarom neemt de afgeleide winst toe om de instelingsduur te verkleinen. Bij het selecteren van de winstwaarden van de PID-regelaar kan dit ook andere grootheden beïnvloeden, zoals de opgangstijd, de overschrijding en de statische fout.

Hoe vind je de stabilisatietijd in MATLAB

In MATLAB kan de stabilisatietijd worden gevonden met behulp van een stapfunctie. Laten we dit begrijpen aan de hand van een voorbeeld.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Eerst berekenen we de stabilisatietijd met behulp van een vergelijking. Hiervoor vergelijken we deze overdrachtsfunctie met de algemene overdrachtsfunctie van een systeem van de tweede orde.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Dus,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Deze waarde is een benaderde waarde, omdat we aannames hebben gemaakt bij het berekenen van de vergelijking voor de settletijd. In MATLAB krijgen we echter de exacte waarde van de settletijd. Dus deze waarde kan in beide gevallen licht verschillen.

Om de settletijd in MATLAB te berekenen, gebruiken we de step-functie.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

En je krijgt een grafiek van de respons zoals getoond in de onderstaande figuur.

Berekening van de settletijd in MATLAB

In MATLAB is de standaard foutmarge 2%. Je kunt deze in de grafiek aanpassen voor een andere foutmarge. Daarvoor klik je met de rechtermuisknop op de grafiek > eigenschappen > opties > "toon settletijd binnen ___ %".

Eigenschappenbewerker MATLAB

Een andere manier om de settling time te vinden is door een lus uit te voeren. Zoals we weten, voor de 2% foutband, beschouwen we de respons tussen 0,98 en 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Uitvoer:

settling_time = 1.1886

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de elkaar waard om te delen, indien er inbreuk is wordt gevraagd om verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Energiesystemen

Besturingssystemen

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607

Aanbevolen

Meer

Wat zijn de veiligheidsmaatregelen en richtlijnen voor het gebruik van AC belastingen?

AC-belastingen zijn elektrische apparaten die worden gebruikt om echte belastingen te simuleren en worden wijdverspreid toegepast in energievoorzieningen, communicatiesystemen, automatiserings- en besturingssystemen, en andere gebieden. Om persoonlijke en apparatuurveiligheid tijdens het gebruik te waarborgen, moeten de volgende veiligheidsmaatregelen en richtlijnen worden nageleefd:Kies een geschikte AC-belasting: Kies een AC-belasting die voldoet aan de werkelijke eisen, zodat de capaciteit, s

Echo

11/06/2025

Wat moet worden opgemerkt bij het installeren van een type K thermokoppel?

Voorzorgsmaatregelen bij het installeren van Type K thermokoppels zijn cruciaal voor het waarborgen van de meetnauwkeurigheid en het verlengen van de levensduur. Hieronder volgt een inleiding tot de installatie richtlijnen voor Type K thermokoppels, samengesteld uit zeer autoritaire bronnen:1. Selectie en inspectie Selecteer het juiste type thermokoppel: Kies het juiste thermokoppel op basis van het temperatuurbereik, de eigenschappen van het medium en de vereiste nauwkeurigheid van de meetomgev

James

11/06/2025

Oorzaken en voorkomende maatregelen van brand en explosie in oliecircuitbrekers

Oorzaken van brand en explosie in oliekringbrekers Wanneer het olieniveau in een oliekringbreker te laag is, wordt de olie-laag die de contacten bedekt te dun. Onder invloed van de elektrische boog breekt de olie af en worden brandbare gassen vrijgegeven. Deze gassen verzamelen zich in de ruimte onder de bovenkant, mengen zich met lucht om een explosief mengsel te vormen, dat bij hoge temperatuur kan ontbranden of ontploffen. Als het olieniveau in de tank te hoog is, hebben de vrijgekomen gassen

Felix Spark

11/06/2025

Meetingsfoutnormen voor THD in elektriciteitsnetwerken

Tolerantie van de totale harmonische vervorming (THD): Een grondige analyse op basis van toepassingsomstandigheden, apparatuuraccurate en industrieel standaardenDe aanvaardbare foutmarge voor de totale harmonische vervorming (THD) moet worden beoordeeld op basis van specifieke toepassingscontexten, meetapparatuuraccurate en van toepassing zijnde industrieel standaarden. Hieronder volgt een gedetailleerde analyse van belangrijke prestatie-indicatoren in energienetwerken, industriële apparatuur en

Edwiin

11/03/2025

Tweede-orde systeem	Dempingsverhouding (ξ)	Instel tijd (TS)
Ondergedempt	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ongeëmd	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritisch gedempt	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overgedempt	ξ > 1	Afhankelijk van de dominante pool