Instelingsduur: Wat is het? (Formule en hoe het te vinden in MATLAB)

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is Settling Time?

De settling time van een dynamisch systeem wordt gedefinieerd als de tijd die nodig is om de uitvoer binnen een gegeven tolerantieband te bereiken en te stabiliseren. Het wordt aangeduid met Ts. De settling time bestaat uit de propagatieduur en de tijd die nodig is om de regio van de eindwaarde te bereiken. Het omvat ook de tijd om de overbelastingsconditie te herstellen, samen met de slew en de stabilisatie nabij de tolerantieband.

De tolerantieband is het maximale toelaatbare bereik waarbinnen de uitvoer kan stabiliseren. Over het algemeen zijn de tolerantiebanden 2% of 5%.

De settling time in de staprespons van een tweede-orde systeem wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Settling Time

Formule voor Settling Time

De settling time hangt af van de natuurlijke frequentie en de respons van het systeem. De algemene vergelijking voor settling time is;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

De eenheidsstaprespons van een tweede-orde systeem wordt uitgedrukt als;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Deze vergelijking bestaat uit twee delen;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Om de settling time te berekenen, hebben we alleen de exponentiële component nodig, omdat deze het oscillatoire deel van de sinusvormige component opheft. Het tolerantiefactor is gelijk aan de exponentiële component.

$Tolerantiebreuk = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerantiebreuk \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerantiebreuk \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hoe te berekenen de settling time

Om de settling time te berekenen, beschouwen we een eerste orde systeem met een eenheidstreepproef.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Voor de eenheidstreepproef,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Daarom,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Bereken nu de waarden voor A1 en A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Neem aan s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Neem aan s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Voor een fout van 2%, is 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Deze vergelijking geeft de settling time voor een eerste orde systeem met een eenheidstree-input.

Voor een tweede orde systeem moeten we de volgende vergelijking overwegen;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In deze vergelijking is de exponentiële term belangrijk om de waarde van de settling time te bepalen.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nu nemen we 2% fout in overweging. Dus, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

De waarde van de dempingverhouding (ξ) hangt af van het type tweede orde systeem. Hier nemen we een ondergedempt tweede orde systeem in overweging. En de waarde van ξ ligt tussen 0 en 1.

Dus, de noemer van de bovenstaande vergelijking is bijna gelijk aan 1. En om een eenvoudige berekening te maken, kunnen we deze verwaarlozen.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Deze vergelijking kan alleen worden gebruikt voor een foutband van 2% en een ondergedempt tweede orde systeem.

Op dezelfde manier, voor een foutband van 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Voor een systeem van de tweede orde moeten we de dempingcoëfficiënt berekenen voordat we de settling time bepalen.

Wortellocus Instel Tijd

De insteltijd kan worden berekend met de wortellocus methode. De insteltijd hangt af van de dempingverhouding en de natuurlijke frequentie.

Deze grootheden kunnen worden afgeleid met behulp van de wortellocus methode. En we kunnen de insteltijd vinden.

Laten we begrijpen met een voorbeeld.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

En Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Uit de root locus plot kunt u de dominante polen vinden;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nu hebben we de waarden van ξ en ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

De wortellocusplot is afgeleid van MATLAB. Daarvoor gebruik je “sisotool”. Hier kun je een beperking toevoegen voor de procentuele overschrijding gelijk aan 20%. En krijg gemakkelijk dominante polen.

De onderstaande figuur toont de wortellocusplot uit MATLAB.

Voorbeeld van wortellocus

We kunnen de settling time met behulp van MATLAB bepalen. De eenheidstreeksrespons van dit systeem is zoals getoond in de onderstaande figuur.

Settling Time in MATLAB

Hoe de settling time te verkleinen

De settling time is de tijd die nodig is om het doel te bereiken. Voor elk regelsysteem moet de settling time minimaal worden gehouden.

Het verkleinen van de settling time is geen eenvoudige taak. We moeten een controller ontwerpen om de settling time te verkleinen.

Zoals we weten, zijn er drie soorten controllers; proportioneel (P), integraal (I), afgeleide (D). Met een combinatie van deze controllers kunnen we de vereisten van het systeem bereiken.

De gain van de controllers (KP, KI, KD) wordt gekozen op basis van de vereisten van het systeem.

Een toename van de proportionele gain KP resulteert in een kleine verandering in de settling time. Een toename van de integrale gain KI zorgt voor een toename van de settling time. En een toename van de afgeleide gain KD leidt tot een afname van de settling time.

Daarom neemt de afgeleide winst toe om de instelingsduur te verkleinen. Bij het selecteren van de winstwaarden van de PID-regelaar kan dit ook andere grootheden beïnvloeden, zoals de opgangstijd, de overschrijding en de statische fout.

Hoe vind je de stabilisatietijd in MATLAB

In MATLAB kan de stabilisatietijd worden gevonden met behulp van een stapfunctie. Laten we dit begrijpen aan de hand van een voorbeeld.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Eerst berekenen we de stabilisatietijd met behulp van een vergelijking. Hiervoor vergelijken we deze overdrachtsfunctie met de algemene overdrachtsfunctie van een systeem van de tweede orde.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Dus,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Deze waarde is een benaderde waarde, omdat we aannames hebben gemaakt bij het berekenen van de vergelijking voor de settletijd. In MATLAB krijgen we echter de exacte waarde van de settletijd. Dus deze waarde kan in beide gevallen licht verschillen.

Om de settletijd in MATLAB te berekenen, gebruiken we de step-functie.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

En je krijgt een grafiek van de respons zoals getoond in de onderstaande figuur.

Berekening van de settletijd in MATLAB

In MATLAB is de standaard foutmarge 2%. Je kunt deze in de grafiek aanpassen voor een andere foutmarge. Daarvoor klik je met de rechtermuisknop op de grafiek > eigenschappen > opties > "toon settletijd binnen ___ %".

Eigenschappenbewerker MATLAB

Een andere manier om de settling time te vinden is door een lus uit te voeren. Zoals we weten, voor de 2% foutband, beschouwen we de respons tussen 0,98 en 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Uitvoer:

settling_time = 1.1886

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de elkaar waard om te delen, indien er inbreuk is wordt gevraagd om verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Energiesystemen

Besturingssystemen

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607

Aanbevolen

Meer

Fouten en afhandeling van eenfasige aarding in 10kV distributielijnen

Kenmerken en detectieapparatuur voor eenfasige aardfouten1. Kenmerken van eenfasige aardfoutenCentrale alarmsignalen:De waarschuwingsbel gaat af en de indicatielamp met de tekst „Aardfout op [X] kV-bussectie [Y]“ licht op. In systemen met een Petersen-coil (boogonderdrukkingscoil) die het neutraalpunt aardt, licht ook de indicatielamp „Petersen-coil in werking“ op.Aanduidingen van de isolatiemonitorvoltmeter:De spanning van de foutieve fase daalt (bij onvolledige aarding) of daalt tot nul (bij v

Rockwill

01/30/2026

Neutrale punt aarding bedrijfsmodus voor 110kV～220kV elektriciteitsnettransformatoren

De schakelwijze van de neutrale punt-aarding voor transformators in elektriciteitsnetwerken van 110kV～220kV moet voldoen aan de isolatie-eisen van de neutrale punten van de transformators en moet ook proberen om de nulsequentie-impedantie van de onderstations zo veel mogelijk ongewijzigd te houden, terwijl wordt verzekerd dat de nulsequentie-samenstelling van de impedantie op elk kortsluitpunt in het systeem niet drie keer de positieve sequentie-samenstelling van de impedantie overschrijdt.Voor

Vziman

01/29/2026

Waarom gebruiken onderstations stenen grind kiezel en fijn gesteente

Waarom gebruiken onderstations stenen, grind, kiezels en fijn gesteente?In onderstations vereisen apparatuur zoals kracht- en distributietransformatoren, transmissielijnen, spanningstransformatoren, stroomtransformatoren en afsluiters aarding. Naast aarding zullen we nu dieper ingaan op waarom grind en fijn gesteente vaak in onderstations worden gebruikt. Hoewel ze er gewoontjes uitzien, spelen deze stenen een cruciale rol voor veiligheid en functioneren.Bij de ontwerp van aarding in onderstatio

Echo

01/29/2026

HECI GCB voor Generatoren – Snelle SF₆ Schakelaar

1.Definitie en functie1.1 Rol van de Generator Circuit BreakerDe Generator Circuit Breaker (GCB) is een controleerbare onderbrekingspunt gelegen tussen de generator en de opstaptransformatie, fungerend als interface tussen de generator en het elektriciteitsnet. De primaire functies omvatten het isoleren van storingen aan de generatorzijde en het mogelijk maken van operationele controle tijdens de synchronisatie van de generator en het aansluiten op het net. Het werkingprincipe van een GCB versch

Garca

01/06/2026

Tweede-orde systeem	Dempingsverhouding (ξ)	Instel tijd (TS)
Ondergedempt	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ongeëmd	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritisch gedempt	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overgedempt	ξ > 1	Afhankelijk van de dominante pool