Asetumisaika: Mikä se on? (Kaava ja kuinka löytää se MATLABissa)

Electrical4u

Kenttä: Perus sähkötiede

China

Mikä on tasaisuusaika?

Dynaamisen järjestelmän tasaisuusaika määritellään aikana, joka kuluu ennen kuin ulostulo saavuttaa ja pysyy annetun toleranssibandin sisällä. Se merkitään Ts:llä. Tasaisuusaika sisältää levitysvaiheen ja ajan, joka kuluu ennen kuin se saavuttaa lopullisen arvonsa alueen. Siihen sisältyy myös ylikuormituksen palautumisaika, joka liittyy suihkuvaiheeseen ja tasapainoon lähellä toleranssibandia.

Toleranssibandi on suurin sallittu alue, jossa ulostulo voi asettua. Yleensä toleranssibandit ovat 2 % tai 5 %.

Toisen asteen järjestelmän askelvastekuvaajan tasaisuusaika on nähtävissä alla olevassa kuvassa.

Tasaisuusaika

Tasaisuusaikan kaava

Tasaisuusaika riippuu luonnollisesta taajuudesta ja järjestelmän vastauksesta. Tasaisuusaikan yleinen yhtälö on;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Toisen asteen järjestelmän yksikköaskelvastekuvaaja ilmaistaan seuraavasti;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Tämä yhtälö jakautuu kahteen osaan;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Vakauden ajan laskemiseksi tarvitsemme vain eksponentiaalisen komponentin, koska se poistaa siniyhtälön värähtelykomponentin. Toleranssijakauma on sama kuin eksponentiaalinen komponentti.

$Toleranssi \, murtoluku = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleranssi \, murtoluku \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleranssi \, murtoluku \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kuinka lasketaan asettumisaika

Asettumisaikan laskemiseksi tarkastelemme ensimmäisen asteen järjestelmää yksikköaskelvasteksi.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Yksikköaskelvasteksi,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Siten,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyt lasketaan arvot A1 ja A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Oletetaan, että s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Oletetaan, että s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2 % virheen tapauksessa, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Tämä yhtälö antaa ensimmäisen asteen järjestelmän asettumisaajan yksikköaskelisella syötteenä.

Toisen asteen järjestelmän käsittelyssä meidän on otettava huomioon seuraava yhtälö;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Tässä yhtälössä eksponentiaalitermi on tärkeä asettumisajan arvon löytämiseksi.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nyt otamme huomioon 2 % virheen. Siksi 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vaimennusratiossa (ξ) arvo riippuu toisen asteen järjestelmän tyypistä. Tässä otamme huomioon alivaimennetun toisen asteen järjestelmän. ξ:n arvo on välillä 0 ja 1.

Yllä olevan yhtälön nimittäjä on melkein sama kuin 1. Ja helpottaa laskutoimitusta, voimme sivuuttaa sen.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Tämä yhtälö voidaan käyttää vain 2 % virhemarginaalilla ja alivaimennetussa toisen kertaluvun järjestelmässä.

Samoin, 5 % virhemarginaalille; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Toisen asteen järjestelmän asettumisaikaa laskettaessa meidän on ensin laskettava vaimennuskerroin.

Juurrekoiden asettumisaika

Asettumisaikaa voidaan laskea juurrekoiden menetelmällä. Asettumisaika riippuu vaimennuskerroin ja luonnollisesta taajuudesta.

Nämä määrät voidaan johtaa juurrekoiden menetelmän avulla. Ja voimme löytää asettumisaikan.

Ymmärrykäämme esimerkin avulla.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ja Ylivaihe = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Juuren paikka-kuvaajasta voit löytää dominoivat polut;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nyt meillä on ξ:n ja ωn arvot,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Juurihavainnointikaavio on tuotettu MATLABilla. Tähän käytetään "sisotoolia". Tässä voit lisätä rajoituksen, jossa ylikiristymäprosentti on 20 %. Ja saat helposti hallitsevat navat.

Alla oleva kuva näyttää juurihavainnointikaavion MATLABista.

Juurikäyrän esimerkki

Voimme löytää tasapainotuksen ajan MATLABin avulla. Järjestelmän yksikköaskelvastaus on kuvattu alla olevassa kuviossa.

Tasapainotusaika MATLABissa

Miten vähentää tasapainotuksen aikaa

Tasapainotusaika on aika, joka kuluu tavoitteen saavuttamiseen. Jokaisessa ohjausjärjestelmässä tasapainotuksen aika on pidettävä mahdollisimman lyhyenä.

Tasapainotuksen ajan vähentäminen ei ole helppoa tehtävää. Tarvitsemme ohjaimen, jolla voidaan vähentää tasapainotuksen aikaa.

Kuten tiedämme, on olemassa kolme ohjaimesta; verrannollinen (P), integraalinen (I), derivatiivinen (D). Näiden ohjaimien yhdistelmällä voimme saavuttaa järjestelmän vaatimukset.

Ohjaimien (KP, KI, KD) voimakkuus valitaan järjestelmän vaatimuksista riippuen.

Verrannollisen voimakkuuden KP lisääminen johtaa pieniin muutoksiin tasapainotuksen ajassa. Integraalisen voimakkuuden KI lisääminen kasvattaa tasapainotuksen aikaa. Derivatiivisen voimakkuuden KD lisääminen vähentää tasapainotuksen aikaa.

Siksi derivaattakerroin kasvaa vähentääkseen asetusajaa. Valittaessa PID-ohjaimen kerroin arvot, ne voivat vaikuttaa myös muihin suureihin kuten nousuaikaan, ylitykselle ja vakioituneeseen virheeseen.

Miten löytää tasausaika MATLABissa

MATLABissa tasausaikaa voidaan löytää askelfunktiolla. Ymmärrämme esimerkin avulla.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Laskemme ensin tasausajan yhtälöllä. Vertaamme tämän siirtofunktion toisen asteen järjestelmän yleiseen siirtofunktioon.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Joten,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Tämä arvo on likiarvo, koska olemme tehneet oletuksia laskiessamme asettumisaikaa. Mutta MATLAB:ssa saamme täsmällisen asettumisaika-arvon. Siksi nämä arvot voivat poiketa toisistaan hieman kummallakin tapauksella.

Nyt laskemme asettumisaikaa MATLAB:ssa käyttäen askelfunktiota.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Tulos:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ja saat vastaavan kuvaajan, kuten alla olevassa kuvassa näkyvästi.

Asettumisaikan laskenta MATLAB:ssa

MATLAB:n oletusvirheprosentti on 2 %. Voit muuttaa tätä eri virheprosentteihin graafissa. Tähän pääset klikkaamalla graafin oikealla ja valitsemalla "Properties" > "Options" > "Show settling time within ___ %".

Ominaisuuden muokkain MATLAB

Toinen tapa löytää tasapainotusaika suorittamalla silmukka. Kuten tiedämme, 2 % virheen sallitulla alueella pidetään vastausta välillä 0.98 ja 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Tulos:

settling_time = 1.1886

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyvät artikkelit ovat jaettavia, jos on loukattu tekijänoikeuksia, ota yhteyttä poistaaksesi.

Anna palkinto ja kannusta kirjoittajaa

Aiheet:

Sähköjärjestelmät

Ohjausjärjestelmät

Asiasta asiantuntijat

Electrical4u

China

Asiantuntemusala

Basic Electrical

Ammatillinen artikkeli

607

Suositeltu

Lisää

Mitä turvatoimenpiteitä ja ohjeita on noudatettava vaihtosähkölastujen käytössä?

Vaihtovirtajannitteet ovat sähkölaitteita, joita käytetään oikean maailman kuormien simuloimiseen, ja niitä sovelletaan laajasti sähköjärjestelmiin, viestintäjärjestelmiin, automaatio-ohjausjärjestelmiin ja muihin alueisiin. Jotta henkilö- ja laiteturvallisuus voidaan taata käytössä, on noudatettava seuraavia turvallisuusvarotoimia ja -ohjeita:Valitse sopiva vaihtovirtajannite: Valitse vaihtovirtajannite, joka vastaa todellisia tarpeita, varmistaen, että sen kapasiteetti, jännitesluokka ja muut

Echo

11/06/2025

Mitä on huomioitava tyyppi K-tyyppisen termoparin asennuksessa

Tyyppi K-termostaapien asennuksen varotoimet ovat olennaisia mittauksen tarkkuuden ja käyttöikänsä pidentämiseksi. Alla on yhteenveto tyyppi K-termostaapien asennusohjeista, joka on koottu erittäin autoriteettisista lähteistä:1. Valinta ja tarkastus Valitse sopiva termostaapityyppi: Valitse oikea termostaapi mittaustilanteen lämpötilavälin, keskusten ominaisuuksien ja vaaditun tarkkuuden perusteella. Tyyppi K-termostaapit soveltuvat -200°C:sta 1372°C:hen ja ne voidaan käyttää erilaisissa ympäris

James

11/06/2025

Säiliökytkentäkaappien palo- ja räjähdyshavaintojen syyt ja ennaltaehkäisevät toimenpiteet

Öljypäästökytkimen palo- ja räjähdyssyyt Jos öljyn taso öljypäästökytkimessä on liian alhainen, yhteyden peittävä öljykerros muuttuu liian ohuksi. Sähkökaaren vaikutuksesta öljy hajoaa ja vapauttaa syttyviä kaasuja. Nämä kaasut kertyvät pehmusteen alla olevaan tilaan, sekoittaen ilmaan muodostaen räjähdysaltistuksen, joka voi syttyä tai räjähtää korkeassa lämpötilassa. Jos säiliön sisällä oleva öljytaso on liian korkea, vapautuneilla kaasuilla on rajallinen tila laajeta, mikä johtaa liialliseen

Felix Spark

11/06/2025

Vaihtovirtajänniten epämuodostumien mittaamisen virhestandardit sähköjärjestelmissä

Virtuaalisen kokonaisharmonisen vääristymän (THD) virhemarginaalin kattoman analyysin perusteella sovelluskohtaisissa tilanteissa, mittauslaitteiden tarkkuudessa ja teollisissa standardeissaKokonaisen harmonisen vääristymän (THD) hyväksyttävän virhemarginaalin on arvioitava tietyissä sovellusyhteyksissä, mittauslaitteiden tarkkuuden ja sovellettavien teollisten standardien perusteella. Alla on yksityiskohtainen analyysi avaintekijöistä sähköjärjestelmissä, teollisessa laitteistossa ja yleisissä

Edwiin

11/03/2025

Toisen asteen järjestelmä	Vaimennuskerroin (ξ)	Asetusaika (TS)
Alivaimennettu	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ei vaimennettu	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kriittisesti vaimennettu	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Ylivaimennettu	ξ > 1	Riippuu dominoivasta polusta