Asetumisaika: Mikä se on? (Kaava ja kuinka löytää se MATLABissa)

Kenttä: Perus sähkötiede

China

Mikä on tasaisuusaika?

Dynaamisen järjestelmän tasaisuusaika määritellään aikana, joka kuluu ennen kuin ulostulo saavuttaa ja pysyy annetun toleranssibandin sisällä. Se merkitään Ts:llä. Tasaisuusaika sisältää levitysvaiheen ja ajan, joka kuluu ennen kuin se saavuttaa lopullisen arvonsa alueen. Siihen sisältyy myös ylikuormituksen palautumisaika, joka liittyy suihkuvaiheeseen ja tasapainoon lähellä toleranssibandia.

Toleranssibandi on suurin sallittu alue, jossa ulostulo voi asettua. Yleensä toleranssibandit ovat 2 % tai 5 %.

Toisen asteen järjestelmän askelvastekuvaajan tasaisuusaika on nähtävissä alla olevassa kuvassa.

Tasaisuusaika

Tasaisuusaikan kaava

Tasaisuusaika riippuu luonnollisesta taajuudesta ja järjestelmän vastauksesta. Tasaisuusaikan yleinen yhtälö on;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Toisen asteen järjestelmän yksikköaskelvastekuvaaja ilmaistaan seuraavasti;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Tämä yhtälö jakautuu kahteen osaan;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Vakauden ajan laskemiseksi tarvitsemme vain eksponentiaalisen komponentin, koska se poistaa siniyhtälön värähtelykomponentin. Toleranssijakauma on sama kuin eksponentiaalinen komponentti.

$Toleranssi \, murtoluku = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleranssi \, murtoluku \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleranssi \, murtoluku \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kuinka lasketaan asettumisaika

Asettumisaikan laskemiseksi tarkastelemme ensimmäisen asteen järjestelmää yksikköaskelvasteksi.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Yksikköaskelvasteksi,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Siten,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyt lasketaan arvot A1 ja A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Oletetaan, että s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Oletetaan, että s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2 % virheen tapauksessa, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Tämä yhtälö antaa ensimmäisen asteen järjestelmän asettumisaajan yksikköaskelisella syötteenä.

Toisen asteen järjestelmän käsittelyssä meidän on otettava huomioon seuraava yhtälö;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Tässä yhtälössä eksponentiaalitermi on tärkeä asettumisajan arvon löytämiseksi.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nyt otamme huomioon 2 % virheen. Siksi 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vaimennusratiossa (ξ) arvo riippuu toisen asteen järjestelmän tyypistä. Tässä otamme huomioon alivaimennetun toisen asteen järjestelmän. ξ:n arvo on välillä 0 ja 1.

Yllä olevan yhtälön nimittäjä on melkein sama kuin 1. Ja helpottaa laskutoimitusta, voimme sivuuttaa sen.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Tämä yhtälö voidaan käyttää vain 2 % virhemarginaalilla ja alivaimennetussa toisen kertaluvun järjestelmässä.

Samoin, 5 % virhemarginaalille; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Toisen asteen järjestelmän asettumisaikaa laskettaessa meidän on ensin laskettava vaimennuskerroin.

Juurrekoiden asettumisaika

Asettumisaikaa voidaan laskea juurrekoiden menetelmällä. Asettumisaika riippuu vaimennuskerroin ja luonnollisesta taajuudesta.

Nämä määrät voidaan johtaa juurrekoiden menetelmän avulla. Ja voimme löytää asettumisaikan.

Ymmärrykäämme esimerkin avulla.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ja Ylivaihe = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Juuren paikka-kuvaajasta voit löytää dominoivat polut;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nyt meillä on ξ:n ja ωn arvot,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Juurihavainnointikaavio on tuotettu MATLABilla. Tähän käytetään "sisotoolia". Tässä voit lisätä rajoituksen, jossa ylikiristymäprosentti on 20 %. Ja saat helposti hallitsevat navat.

Alla oleva kuva näyttää juurihavainnointikaavion MATLABista.

Juurikäyrän esimerkki

Voimme löytää tasapainotuksen ajan MATLABin avulla. Järjestelmän yksikköaskelvastaus on kuvattu alla olevassa kuviossa.

Tasapainotusaika MATLABissa

Miten vähentää tasapainotuksen aikaa

Tasapainotusaika on aika, joka kuluu tavoitteen saavuttamiseen. Jokaisessa ohjausjärjestelmässä tasapainotuksen aika on pidettävä mahdollisimman lyhyenä.

Tasapainotuksen ajan vähentäminen ei ole helppoa tehtävää. Tarvitsemme ohjaimen, jolla voidaan vähentää tasapainotuksen aikaa.

Kuten tiedämme, on olemassa kolme ohjaimesta; verrannollinen (P), integraalinen (I), derivatiivinen (D). Näiden ohjaimien yhdistelmällä voimme saavuttaa järjestelmän vaatimukset.

Ohjaimien (KP, KI, KD) voimakkuus valitaan järjestelmän vaatimuksista riippuen.

Verrannollisen voimakkuuden KP lisääminen johtaa pieniin muutoksiin tasapainotuksen ajassa. Integraalisen voimakkuuden KI lisääminen kasvattaa tasapainotuksen aikaa. Derivatiivisen voimakkuuden KD lisääminen vähentää tasapainotuksen aikaa.

Siksi derivaattakerroin kasvaa vähentääkseen asetusajaa. Valittaessa PID-ohjaimen kerroin arvot, ne voivat vaikuttaa myös muihin suureihin kuten nousuaikaan, ylitykselle ja vakioituneeseen virheeseen.

Miten löytää tasausaika MATLABissa

MATLABissa tasausaikaa voidaan löytää askelfunktiolla. Ymmärrämme esimerkin avulla.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Laskemme ensin tasausajan yhtälöllä. Vertaamme tämän siirtofunktion toisen asteen järjestelmän yleiseen siirtofunktioon.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Joten,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Tämä arvo on likiarvo, koska olemme tehneet oletuksia laskiessamme asettumisaikaa. Mutta MATLAB:ssa saamme täsmällisen asettumisaika-arvon. Siksi nämä arvot voivat poiketa toisistaan hieman kummallakin tapauksella.

Nyt laskemme asettumisaikaa MATLAB:ssa käyttäen askelfunktiota.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Tulos:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ja saat vastaavan kuvaajan, kuten alla olevassa kuvassa näkyvästi.

Asettumisaikan laskenta MATLAB:ssa

MATLAB:n oletusvirheprosentti on 2 %. Voit muuttaa tätä eri virheprosentteihin graafissa. Tähän pääset klikkaamalla graafin oikealla ja valitsemalla "Properties" > "Options" > "Show settling time within ___ %".

Ominaisuuden muokkain MATLAB

Toinen tapa löytää tasapainotusaika suorittamalla silmukka. Kuten tiedämme, 2 % virheen sallitulla alueella pidetään vastausta välillä 0.98 ja 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Tulos:

settling_time = 1.1886

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyvät artikkelit ovat jaettavia, jos on loukattu tekijänoikeuksia, ota yhteyttä poistaaksesi.

Anna palkinto ja kannusta kirjoittajaa

Aiheet:

Sähköjärjestelmät

Ohjausjärjestelmät

Asiasta asiantuntijat

Electrical4u

China

Asiantuntemusala

Basic Electrical

Ammatillinen artikkeli

607

Suositeltu

Lisää

10kV-jakojohtojen yksivaiheinen maajäristys ja sen korjaaminen

Yksivaiheisten maasulkuja koskevat ominaisuudet ja havaintolaitteet1. Yksivaiheisten maasulkuja koskevat ominaisuudetKeskivaroitusmerkit:Varoituskello soi ja merkkivalo ”Maasulku [X] kV:n väyläosassa [Y]” syttyy. Petersen-kellassa (kaaritukikela) neutraalipisteen maadoitettavissa olevissa järjestelmissä myös ”Petersen-kela käytössä” -merkkivalo syttyy.Eristysvalvontajännitemittarin näyttämät:Virheellisen vaiheen jännite laskee (epätäydellisessä maasulussa) tai putoaa nollaan (kiinteässä maasulus

Rockwill

01/30/2026

110kV～220kV sähköverkkomuuntajien neutraalipisteen maan kytkentätoimintatapa

110kV～220kV-sähköverkon muuntimien neutraalipisteen maanjäristyksen asettelun on vastattava muuntimen neutraalipisteen eristysvaatimuksia ja pyrittävä pitämään sähköasemien nollajärjestysimpedanssi lähes samana, varmistaen, että järjestelmän minkä tahansa lyhytuspaikan nollajärjestysyhdistetty impedanssi ei ylitä kolme kertaa positiivijärjestysyhdistetty impedanssi.Uudisrakentamis- ja teknologianuorten hankkeiden 220kV:n ja 110kV:n muuntimien neutraalipisteen maanjäristyksen asettelun on noudate

Vziman

01/29/2026

Miksi alijamia käyttää kiviä gravaa raakakiveä ja murskausta?

Miksi alijohdantoasemat käyttävät kiviä, sora, pelloja ja murskausta?Alijohdantoasemissa laitteet, kuten voima- ja jakelumuuntimet, siirtolinjat, jännite- ja virtamuuntimet sekä erottimet, vaativat maanpäähdyksen. Maanpäähdyksen lisäksi tutkimme nyt syvällisemmin, miksi sora ja murskaus ovat yleisiä alijohdantoasemissa. Vaikka ne näyttävät tavallisilta, nämä kivet pelaavat kriittisen turvallisuuden ja toiminnallisen roolin.Alijohdantoaseman maanpäähdyssuunnittelussa – erityisesti kun käytetään u

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generaattorit – Nopea SF₆-sekvenssivalo

1. Määritelmä ja toiminta1.1 Generaattorin sähkökatkaisimen rooliGeneraattorin sähkökatkaisin (GCB) on ohjattava katkaisupiste, joka sijaitsee generaattorin ja kohotusmuuntajan välillä, toimien rajapinnana generaattorin ja sähköverkon välillä. Sen päärakenteiset toiminnot sisältävät generaattorisivun virheiden eristämisen ja operaatiokontrollin generaattorin synkronoinnin ja verkon yhdistämisen aikana. GCB:n toimintaperiaate ei poikkea merkittävästi tavanomaisen sähkökatkaisimen periaatteesta; k

Garca

01/06/2026

Toisen asteen järjestelmä	Vaimennuskerroin (ξ)	Asetusaika (TS)
Alivaimennettu	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ei vaimennettu	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kriittisesti vaimennettu	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Ylivaimennettu	ξ > 1	Riippuu dominoivasta polusta