सेटलिंग टाइम: यह क्या है? (सूत्र और MATLAB में इसे कैसे खोजें)

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सेटलिंग टाइम क्या है?

डाइनेमिक सिस्टम का सेटलिंग टाइम उत्पादन के लिए आवश्यक समय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक निर्दिष्ट सहनशीलता बैंड के भीतर पहुंचकर स्थिर हो जाता है। इसे T_s से निरूपित किया जाता है। सेटलिंग टाइम में प्रसारण देरी और अपने अंतिम मान के क्षेत्र तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय शामिल है। इसमें ओवरलोड स्थिति को ठीक करने का समय, स्ल्यू और सहनशीलता बैंड के पास स्थिर होने का समय शामिल है।

सहनशीलता बैंड एक अधिकतम अनुमत सीमा है, जिसके भीतर उत्पादन स्थिर हो सकता है। आमतौर पर, सहनशीलता बैंड 2% या 5% होते हैं।

द्वितीयक क्रम के सिस्टम के चरण प्रतिक्रिया में सेटलिंग टाइम निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।

सेटलिंग टाइम

सेटलिंग टाइम फॉर्मूला

सेटलिंग टाइम सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति और प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। सेटलिंग टाइम का सामान्य समीकरण निम्नलिखित है;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

द्वितीयक क्रम के सिस्टम का यूनिट स्टेप प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में व्यक्त की जाती है;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

यह समीकरण दो भागों में विभाजित है;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

स्थिरावस्था समय की गणना करने के लिए, हमें केवल घातांकीय घटक की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह साइनसोइडल घटक के दोलनीय भाग को रद्द कर देता है। और सहनशीलता अंश घातांकीय घटक के बराबर होता है।

$सहनशीलता अंश = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$सहनशीलता अंश \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( सहनशीलता अंश \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

सेटलिंग टाइम कैसे कैलकुलेट करें

सेटलिंग टाइम की गणना करने के लिए, हम एक पहले क्रम के सिस्टम को यूनिट स्टेप प्रतिक्रिया के साथ ध्यान में रखते हैं।

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

यूनिट स्टेप प्रतिक्रिया के लिए,

$R(s) = \frac{1}{s}$

इसलिए,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

अब, A₁ और A₂ के मान की गणना करें।

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

मान लीजिए s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

मान लीजिए s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2% त्रुटि के लिए, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

यह समीकरण एकांक कदम इनपुट के साथ प्रथम क्रम सिस्टम के लिए सेटलिंग समय देता है।

द्वितीय क्रम सिस्टम के लिए, हमें निम्न समीकरण को ध्यान में रखना होगा;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

इस समीकरण में, घातांकीय पद सेटलिंग समय के मान को खोजने के लिए महत्वपूर्ण है।

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

अब, हम 2% त्रुटि को ध्यान में रखते हैं। इसलिए, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

डैम्पिंग अनुपात (ξ) का मान द्वितीयक प्रणाली के प्रकार पर निर्भर करता है। यहाँ, हम एक अपर्याप्त डैम्प्ड द्वितीयक प्रणाली को ध्यान में रखते हैं। और ξ का मान 0 और 1 के बीच होता है।

इसलिए, उपरोक्त समीकरण का हर लगभग 1 के बराबर होता है। और आसानी से गणना करने के लिए, हम इसे नज़रअंदाज कर सकते हैं।

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

यह समीकरण केवल २% त्रुटि पट्टी और अपरदामित द्वितीयक क्रम प्रणाली के लिए उपयोग किया जा सकता है।

इसी तरह, ५% त्रुटि पट्टी के लिए; १ – C(t) = ०.०५;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

द्वितीय क्रम प्रणाली के लिए, सेटलिंग समय ज्ञात करने से पहले हमें डैम्पिंग अनुपात की गणना करनी होती है।

मूल स्थान विधि का सेटलिंग समय

सेटलिंग समय की गणना मूल स्थान विधि द्वारा की जा सकती है। सेटलिंग समय डैम्पिंग अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति पर निर्भर करता है।

ये मात्राएँ मूल स्थान विधि की मदद से निकाली जा सकती हैं। और हम सेटलिंग समय ज्ञात कर सकते हैं।

एक उदाहरण से समझें।

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

और ओवरशूट = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

मूल लोकस प्लाट से; आप मुख्य पोल्स को खोज सकते हैं;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

अब, हमारे पास ξ और ωn का मान है,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

मूल नक्शा मैटलैब से प्राप्त की गई है। इसके लिए "sisotool" का उपयोग करें। यहाँ, आप 20% अतिरिक्त दोलन के लिए एक विधि जोड़ सकते हैं और आसानी से अधिकारिक पोल प्राप्त कर सकते हैं।

निम्न चित्र में मैटलैब से मूल नक्शा दिखाया गया है।

मूल निर्देशांक का उदाहरण

हम MATLAB की मदद से सेटलिंग समय ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रणाली का यूनिट स्टेप प्रतिक्रिया नीचे दिखाए गए चित्र के रूप में है।

MATLAB में सेटलिंग समय

सेटलिंग समय को कैसे कम किया जाए

सेटलिंग समय लक्ष्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक समय है। और किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए, सेटलिंग समय को न्यूनतम रखना चाहिए।

सेटलिंग समय को कम करना आसान काम नहीं है। हमें एक नियंत्रक डिजाइन करना होगा जो सेटलिंग समय को कम करे।

जैसा कि हम जानते हैं, तीन नियंत्रक होते हैं; अनुपात (P), समाकल (I), व्युत्पन्न (D)। इन नियंत्रकों के संयोजन से, हम प्रणाली की आवश्यकताओं को पूरा कर सकते हैं।

नियंत्रकों (KP, KI, KD) का लाभ प्रणाली की आवश्यकताओं के अनुसार चुना जाता है।

अनुपाती लाभ KP को बढ़ाने से सेटलिंग समय में थोड़ा फेरफार होता है। समाकल लाभ KI को बढ़ाने से सेटलिंग समय बढ़ता है। और व्युत्पन्न लाभ KD को बढ़ाने से सेटलिंग समय घटता है।

इसलिए, डेरिवेटिव गेन बढ़ाया जाता है सेटिंग समय को कम करने के लिए। PID कंट्रोलर के गेन मूल्यों का चयन करते समय, यह राइज टाइम, ओवरशूट और स्थिर-अवस्था त्रुटि जैसी अन्य मात्राओं पर भी प्रभाव डाल सकता है।

MATLAB में सेटलिंग टाइम कैसे खोजें

MATLAB में, सेटलिंग टाइम को स्टेप फंक्शन द्वारा खोजा जा सकता है। उदाहरण से समझें।

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

पहले, हम समीकरण द्वारा सेटलिंग टाइम की गणना करते हैं। इसके लिए, इस ट्रांसफर फंक्शन को द्वितीयक क्रम प्रणाली के सामान्य ट्रांसफर फंक्शन के साथ तुलना करें।

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

इसलिए,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

यह मान लगभग है क्योंकि हमने सेटलिंग टाइम की गणना करते समय कुछ मान्यताएँ ली हैं। लेकिन MATLAB में, हम सेटलिंग टाइम का सटीक मान प्राप्त करते हैं। इसलिए, दोनों मामलों में यह मान थोड़ा अलग हो सकता है।

अब, MATLAB में सेटलिंग टाइम की गणना करने के लिए, हम step फंक्शन का उपयोग करते हैं।

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

और आपको नीचे दिखाए गए चित्र में दिखाए गए जैसा एक रिस्पोन्स का ग्राफ मिलता है।

MATLAB में सेटलिंग टाइम की गणना

MATLAB में, डिफ़ॉल्ट रूप से त्रुटि का प्रतिशत बैंड 2% होता है। आप ग्राफ में विभिन्न त्रुटि बैंड के लिए इसे बदल सकते हैं। इसके लिए, ग्राफ पर राइट-क्लिक करें > properties > options > “show settling time within ___ %”।

संपत्ति संपादक MATLAB

लूप चलाकर सेटलिंग टाइम खोजने का एक और तरीका। जैसा कि हम जानते हैं, 2% त्रुटि बैंड के लिए, हम 0.98 से 1.02 के बीच की प्रतिक्रिया को मानते हैं।

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

आउटपुट:

settling_time = 1.1886

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द्वितीयक प्रणाली	डैम्पिंग अनुपात (ξ)	सेटिंग समय (TS)
अधिकतर डैम्प्ड	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
अनडैम्प्ड	ξ = 0	$T_S = \infty$
संभवतः डैम्प्ड	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
अतिडैम्प्ड	ξ > 1	मुख्य ध्रुव पर निर्भर करता है