Уақыттың өтуі: Бұл не? (Формула және MATLAB-та оны қалай табуға болады)

Electrical4u

Өріс: Негізгі электротехника

China

Дегеніміз не тұрақты уақыт?

Динамикалық жүйенің тұрақты уақыты - бұл шығыс параметрлері берілген терпімділік аралығына жету және онында тұру үшін қажет болатын уақыт. Бұл Ts деп белгіленеді. Тұрақты уақыт өту уақыты мен оның соңғы мәніне жету үшін қажет болатын уақытқа енгізіледі. Ол сюйлектік және терпімділік аралығына жақын қалау уақытын қамтиды.

Терпімділік аралығы - бұл шығыс параметрлері тұрақты болуға мүмкін максималды аралық. Көбінесе, терпімділік аралықтары 2% немесе 5% болады.

Екінші ретті жүйенің адымтық жауапындагы тұрақты уақыт төмендегі суретте көрсетілген.

Тұрақты уақыт

Тұрақты уақыт формуласы

Тұрақты уақыт табиғи тауықтық және жүйенің жауапына байланысты. Тұрақты уақыттың жалпы теңдеуі мынадай:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Екінші ретті жүйенің бір адымтық жауабы мынадай:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Бұл теңдеу екі бөлікке бөлінеді;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Орналасқан уақытты есептеу үшін экспоненциалды компонент ғана керек, себебі ол синусоидалы компоненттің осцилляциялық бөлігін жоюға мүмкіндік береді. Және толеранттық бөлігі экспоненциалды компонентке тең.

$Толеранттық бөлшектің формуласы = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Толеранттық бөлшектің формуласы \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Толеранттық бөлшектің формуласы \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Негізгі уақытты қалай есептеу керек

Негізгі уақытты есептеу үшін бірінші ретті жүйені бірлік кадам түсіндірмесімен қарастырамыз.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Бірлік кадам түсіндірмесі үшін,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Сонымен,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Енді A1 және A2 мәндерін есептеңіз.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Предположим, s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Предположим, s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Егер қате 2% болса, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Бұл теңдеу бірлік кадам енгізімі бар бірінші ретті жүйе үшін жылжу уақытын береді.

Екінші ретті жүйе үшін, төмендегі теңдеуді ескеру керек;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Бұл теңдеуде, экспоненталық термин жылжу уақытының мәнін табу үшін маңызды.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Енді біз 2% қате есептейміз. Сондықтан, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ауытқу коэффициенты (ξ) мәні екінші ретті системаның түріне байланысты. Бұл жағдайда, біз ауытқулы емес екінші ретті системаны есептейміз. ξ мәні 0 мен 1 аралығында жатады.

Сонымен, жоғарыдағы теңдеудің бөлімі 1-ге жақын. Оңай есептеу үшін, оны ескермеуіміз мүмкін.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Бұл теңдеу 2% қатарлы аймағы үшін және екінші ретті үнемді емес система үшін ғана қолданылады.

Сол сияқты, 5% қатарлы аймақ үшін; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Екінші ретті системада, орналасу уақтын табудан бұрын, амортизация коэффициентін есептеу керек.

Корневой локус и время установления

Время установления можно вычислить с помощью метода корневого локуса. Время установления зависит от коэффициента демпфирования и собственной частоты.

Эти величины можно определить с помощью метода корневого локуса. И мы можем найти время установления.

Давайте разберемся на примере.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Перерегулирование = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Корнеген диаграммасынан доминантты пөлдерді таба аласыз;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Енді бізде ξ және ωn мәндері бар,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Корендеріс диаграмасы MATLAB-тан алынған. Осы үшін «sisotool» қолданыңыз. Мұнда, сіз %20 пайыз жоғары көтеру шектерін қоса аласыз. Сондықтан, негізгі полюстарды оңай таба аласыз.

Төмендегі суретте MATLAB-тан алынған корендеріс диаграмасы көрсетілген.

Корен жері арқылы мысал

Біз MATLAB қолданып, орындалу уақытын табуға болады. Бұл жүйенің бірлік кадам жауапы төмендегі суретте көрсетілген.

MATLAB қолданып орындалу уақытын табу

Орындалу уақытын азайту тәсілдері

Орындалу уақыты - бұл міндетті мақсатқа жету үшін қажетті уақыт. Кез келген басқару жүйесі үшін орындалу уақытын минималдау керек.

Орындалу уақытын азайту - бұл оңай емес жұмыс. Орындалу уақытын азайту үшін біз басқару аппаратын құрастыруымыз керек.

Біздің белгілімізге, үш түрлі басқару аппараттары бар: пропорционалды (P), интегралды (I), дифференциалды (D). Бұл аппараттардың комбинациясы арқылы біз жүйеміздің талаптарын қанағаттандыруға болады.

Аппараттардың көбейткіштері (KP, KI, KD) жүйенің талаптарына қарай таңдалады.

Пропорционалды көбейткіш KP артықтау, орындалу уақытын аз өзгертулерге әкеледі. Интегралды көбейткіш KI артықтау, орындалу уақыты артықтауға әкеледі. Дифференциалды көбейткіш KD артықтау, орындалу уақыты азайтуға әкеледі.

Сонымен, деривативтік көбейткіш арттырылады, сондықтан орналасу уақыты азайады. PID контроллердің көбейткіш мәндерін таңдау кезінде, бұл өсу уақыты, жоғарылау және стабилді-қалыптасу қателері сияқты басқа параметрлерге да әсер етуі мүмкін.

Матлабта орналасу уақытын қалай табуға болады

Матлабта орналасу уақыты ступенчат функция арқылы табылады. Мысал арқылы түсінеміз.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Бірінші, теңдеу арқылы орналасу уақытын есептейміз. Бұл үшін, бұл өтпелік функция екінші ретті системаның жалпы өтпелік функциясымен салыстырамыз.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Сонымен,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Бұл мәні жуықтап есептелген, себебі теңдеуді шешкен кезде біз қабылдайтын араларды ескердік. Бірақ MATLAB-да тиімді уақыттың так мәнін алуға болады. Сондықтан, екеуінің мәндері бірі-бірімен қырғылауы мүмкін.

Енді MATLAB-та тиімді уақытты есептеу үшін step функциясын қолданамыз.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Шығыс:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Сонымен, сіз төмендегі суретте көрсетілгендей жауап графигін аласыз.

MATLAB-та тиімді уақытты есептеу

MATLAB-та, дефолттық ретте қате диапазоны 2% болады. Сіз графикалық интерфейсті пайдаланып, бұл қате диапазонын өзгертуге болады. Ол үшін, графикаға оң жақта тікелей басыңыз > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Мүшелер редакторы MATLAB

Тұрақтылану уақытын табуға басқа бір ықтималдық - цикл арқылы орындау. Біздің білеміз шекарасы 2% қате болғанда, жауап 0.98 мен 1.02 аралығында есептеуге болады.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Шығыс:

settling_time = 1.1886

Ескерту: Оригиналға сәйкес, бөлісу мүмкіндігі бар жақсы мақалалар, егер автордық құқықтардың қолданылуына қарсы келсе, өшіруге өтінеміз.

Өнімдік беріңіз және авторды қолдаңыз!

Тақырыптар:

Энергетикалық жүйелер

Басқару жүйелері

Сарапшылар туралы

Electrical4u

China

Өnerілген

Көбірек

АС жүк банкаларын пайдалану үшін қандай кеңестер мен ережелер бар?

AC жүк банкалары - бұл нақты жүктерді симуляциялау үшін қолданылатын электр техникалық приборлар. Олар кез келген энергетикалық, байланыс, автоматтандыру және басқа тармактарда кеңінен қолданылады. Пайдалану кезінде адамдар мен пайдаланылатын құрылғылардың қауіпсіздігін қамтамасыз ету үшін, төмендегі қауіпсіздік ережелері мен кеңеслерін сақтау керек:Тиімді AC жүк банкасын таңдаңыз: Жүк банкасының қабілеті, напрямдамасы және басқа параметрлері талап етілетін қолданысқа сай болуы керек. Сондай-ақ,

Echo

11/06/2025

Келесі нәрселерді ескеру керек К типтері термопарасын орнатқанда: 【注意事项】 - өзін-өзі жүйелік талаптарға сәйкес жұмыс істеу керек - қолданылатын материалдар мен технологиялардың сапасын бақылау керек - электр құрылғыларының және жүйелердің техникалық құжаттарына сәйкес жұмыс істеу керек - қою арқылы қамтылуы мүмкін болатын қауіпсіздік талаптарын ескеру керек

Тип K термопараларды орнату мерекелері издеу және өлшемдердің дұрыстығын, қызмет ету мерзімін жеделдету үшін маңызды. Төмендегі нұсқаулар тип K термопараларды орнатудың нұсқаулықтары туралы, бұл материалдар авторитетті басқалардан жиналған:1. Тандап алу және тексеру Құрылымға қарағанда ыңғайлы термопараты таңдаңыз: Өлшем аймағына, ортақ мүше қасиеттеріне және өлшемдік дәлдіктің талаптарына қарай тура термопараты тандап алыңыз. Тип K термопаралар -200°C мен 1372°C аралығында пайдаланылады және ар

James

11/06/2025

Мұнайлы ауытқыштарда жарылып қалу мен пішімдердің себептері және алдын алу шешімдері

Мұнайлы ақыретшілердегі жарылу және патшылық себептері Егер мұнайлы ақыретшілерде мұнай деңгейі төмен болса, контактын басқару үшін мұнай қабырғасы өте жеңіл болады. Электр аркасының әсерінен мұнай бөлініп, жанарты газдар шығады. Бұл газдар басқаңың астында нысанып, ауадағы кезектермен жаңарты қоспаларды құрайды, олар жоғары температураларда жарылады немесе патшылады. Егер резервуардың ішіндегі мұнай деңгейі өте жоғары болса, шығатын газдар қозғалысқа қолданылатын аймақты лимиттеді, сондықтан іш

Felix Spark

11/06/2025

Жүйелердегі THD өлшерісіндегі қат стандарттары

Жалпы гармоникалық деформация (THD) үшін келісімді погрешность: Түрлі қолданыс сценарилеріне, жабдықтың дәлдігіне және өнеркәсіптік стандарттарына негізделген толық талдауЖалпы гармоникалық деформация (THD) үшін келісімді погрешность өзгеріп отырған қолданыс контексттеріне, өлшеу жабдықтарының дәлдігіне және қолданылатын өнеркәсіптік стандарттарға негізделіп, бағалануы керек. Төменде энергетикалық жүйелер, өнеркәсіптік жабдықтар және жалпы өлшеу қолданыстарындағы негізгі өнімдердің индикаторлары

Edwiin

11/03/2025

Екінші ретті жүйе	Ауырсыну коэффициенті (ξ)	Орнату уақыты (TS)
Аз ауырсатталған	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ауырсатталмаған	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критикалық ауырсатталған	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Жетілдірілген ауырсатталған	ξ > 1	Негізгі полюстан тәуелді