Уақыттың өтуі: Бұл не? (Формула және MATLAB-та оны қалай табуға болады)

Өріс: Негізгі электротехника

China

Дегеніміз не тұрақты уақыт?

Динамикалық жүйенің тұрақты уақыты - бұл шығыс параметрлері берілген терпімділік аралығына жету және онында тұру үшін қажет болатын уақыт. Бұл Ts деп белгіленеді. Тұрақты уақыт өту уақыты мен оның соңғы мәніне жету үшін қажет болатын уақытқа енгізіледі. Ол сюйлектік және терпімділік аралығына жақын қалау уақытын қамтиды.

Терпімділік аралығы - бұл шығыс параметрлері тұрақты болуға мүмкін максималды аралық. Көбінесе, терпімділік аралықтары 2% немесе 5% болады.

Екінші ретті жүйенің адымтық жауапындагы тұрақты уақыт төмендегі суретте көрсетілген.

Тұрақты уақыт

Тұрақты уақыт формуласы

Тұрақты уақыт табиғи тауықтық және жүйенің жауапына байланысты. Тұрақты уақыттың жалпы теңдеуі мынадай:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Екінші ретті жүйенің бір адымтық жауабы мынадай:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Бұл теңдеу екі бөлікке бөлінеді;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Орналасқан уақытты есептеу үшін экспоненциалды компонент ғана керек, себебі ол синусоидалы компоненттің осцилляциялық бөлігін жоюға мүмкіндік береді. Және толеранттық бөлігі экспоненциалды компонентке тең.

$Толеранттық бөлшектің формуласы = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Толеранттық бөлшектің формуласы \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Толеранттық бөлшектің формуласы \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Негізгі уақытты қалай есептеу керек

Негізгі уақытты есептеу үшін бірінші ретті жүйені бірлік кадам түсіндірмесімен қарастырамыз.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Бірлік кадам түсіндірмесі үшін,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Сонымен,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Енді A1 және A2 мәндерін есептеңіз.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Предположим, s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Предположим, s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Егер қате 2% болса, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Бұл теңдеу бірлік кадам енгізімі бар бірінші ретті жүйе үшін жылжу уақытын береді.

Екінші ретті жүйе үшін, төмендегі теңдеуді ескеру керек;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Бұл теңдеуде, экспоненталық термин жылжу уақытының мәнін табу үшін маңызды.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Енді біз 2% қате есептейміз. Сондықтан, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Ауытқу коэффициенты (ξ) мәні екінші ретті системаның түріне байланысты. Бұл жағдайда, біз ауытқулы емес екінші ретті системаны есептейміз. ξ мәні 0 мен 1 аралығында жатады.

Сонымен, жоғарыдағы теңдеудің бөлімі 1-ге жақын. Оңай есептеу үшін, оны ескермеуіміз мүмкін.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Бұл теңдеу 2% қатарлы аймағы үшін және екінші ретті үнемді емес система үшін ғана қолданылады.

Сол сияқты, 5% қатарлы аймақ үшін; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Екінші ретті системада, орналасу уақтын табудан бұрын, амортизация коэффициентін есептеу керек.

Корневой локус и время установления

Время установления можно вычислить с помощью метода корневого локуса. Время установления зависит от коэффициента демпфирования и собственной частоты.

Эти величины можно определить с помощью метода корневого локуса. И мы можем найти время установления.

Давайте разберемся на примере.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Перерегулирование = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Корнеген диаграммасынан доминантты пөлдерді таба аласыз;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Енді бізде ξ және ωn мәндері бар,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Корендеріс диаграмасы MATLAB-тан алынған. Осы үшін «sisotool» қолданыңыз. Мұнда, сіз %20 пайыз жоғары көтеру шектерін қоса аласыз. Сондықтан, негізгі полюстарды оңай таба аласыз.

Төмендегі суретте MATLAB-тан алынған корендеріс диаграмасы көрсетілген.

Корен жері арқылы мысал

Біз MATLAB қолданып, орындалу уақытын табуға болады. Бұл жүйенің бірлік кадам жауапы төмендегі суретте көрсетілген.

MATLAB қолданып орындалу уақытын табу

Орындалу уақытын азайту тәсілдері

Орындалу уақыты - бұл міндетті мақсатқа жету үшін қажетті уақыт. Кез келген басқару жүйесі үшін орындалу уақытын минималдау керек.

Орындалу уақытын азайту - бұл оңай емес жұмыс. Орындалу уақытын азайту үшін біз басқару аппаратын құрастыруымыз керек.

Біздің белгілімізге, үш түрлі басқару аппараттары бар: пропорционалды (P), интегралды (I), дифференциалды (D). Бұл аппараттардың комбинациясы арқылы біз жүйеміздің талаптарын қанағаттандыруға болады.

Аппараттардың көбейткіштері (KP, KI, KD) жүйенің талаптарына қарай таңдалады.

Пропорционалды көбейткіш KP артықтау, орындалу уақытын аз өзгертулерге әкеледі. Интегралды көбейткіш KI артықтау, орындалу уақыты артықтауға әкеледі. Дифференциалды көбейткіш KD артықтау, орындалу уақыты азайтуға әкеледі.

Сонымен, деривативтік көбейткіш арттырылады, сондықтан орналасу уақыты азайады. PID контроллердің көбейткіш мәндерін таңдау кезінде, бұл өсу уақыты, жоғарылау және стабилді-қалыптасу қателері сияқты басқа параметрлерге да әсер етуі мүмкін.

Матлабта орналасу уақытын қалай табуға болады

Матлабта орналасу уақыты ступенчат функция арқылы табылады. Мысал арқылы түсінеміз.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Бірінші, теңдеу арқылы орналасу уақытын есептейміз. Бұл үшін, бұл өтпелік функция екінші ретті системаның жалпы өтпелік функциясымен салыстырамыз.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Сонымен,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Бұл мәні жуықтап есептелген, себебі теңдеуді шешкен кезде біз қабылдайтын араларды ескердік. Бірақ MATLAB-да тиімді уақыттың так мәнін алуға болады. Сондықтан, екеуінің мәндері бірі-бірімен қырғылауы мүмкін.

Енді MATLAB-та тиімді уақытты есептеу үшін step функциясын қолданамыз.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Шығыс:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Сонымен, сіз төмендегі суретте көрсетілгендей жауап графигін аласыз.

MATLAB-та тиімді уақытты есептеу

MATLAB-та, дефолттық ретте қате диапазоны 2% болады. Сіз графикалық интерфейсті пайдаланып, бұл қате диапазонын өзгертуге болады. Ол үшін, графикаға оң жақта тікелей басыңыз > properties > options > “show settling time within ___ %”.

Мүшелер редакторы MATLAB

Тұрақтылану уақытын табуға басқа бір ықтималдық - цикл арқылы орындау. Біздің білеміз шекарасы 2% қате болғанда, жауап 0.98 мен 1.02 аралығында есептеуге болады.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Шығыс:

settling_time = 1.1886

Ескерту: Оригиналға сәйкес, бөлісу мүмкіндігі бар жақсы мақалалар, егер автордық құқықтардың қолданылуына қарсы келсе, өшіруге өтінеміз.

Өнімдік беріңіз және авторды қолдаңыз!

Тақырыптар:

Энергетикалық жүйелер

Басқару жүйелері

Сарапшылар туралы

Electrical4u

China

Өnerілген

Көбірек

Негізгі трансформатордың авариялары және жарық газдың қызмет етудің проблемалары

1. Авариялық жазба (19 наурыз, 2019)19 наурыз, 2019 жылы 16:13 саатында, көрсеткіш беті №3 негізгі трансформатордың жарық газ әрекетін хабарлады. Электр энергиясының трансформаторларының өңдеу коды (DL/T572-2010) бойынша, эксплуатация және техникалық қызметкерлер №3 негізгі трансформатордың орнындағы абалын тексерді.Орнындағы растау: №3 негізгі трансформатордың WBH электрдік емес қорғау панелі B фазасының тіпті жарық газ әрекетін хабарлады, және қайта қою үшін әрекетті болмады. Эксплуатация және

Leon

02/05/2026

10кВ распределитель жолдарындағы бір фазалық жерге қосылу ауызшаруы мен оның шешімдері

Бір фазалы жерге қосылу ақаулығының сипаттамалары мен анықтау құрылғылары1. Бір фазалы жерге қосылу ақаулығының сипаттамаларыОрталық тревога сигналдары:Ескерту қоңырауы қосылады, ал «[X] кВ шина бөлігінде [Y] жерге қосылу» деген жазуы бар индикатор лампасы жанады. Петерсен орамы (арка өшіруші орам) арқылы нейтралды жерге қосылатын жүйелерде «Петерсен орамы іске қосылды» деген индикатор да жанады.Изоляцияны бақылау вольтметрінің көрсеткіштері:Ақаулы фазаның кернеуі төмендейді (толық емес жерге қо

Rockwill

01/30/2026

110кВ～220кВ электр жүйесінің трансформаторлары үшін нейтральдық нүктені жерге жалғандағы режимі

110кВ-220кВ электр жүйесінің трансформаторларының нейтральдық нүктесін земге қосу әдістері трансформаторлардың нейтральдық нүктелерінің изоляциялық күштіктеріне сәйкес болуы керек, сондай-ақ электр станцияларының нөлдік импедансының негізгі түрде өзгермейтіндігін сақтауға тырысу керек, бұл системаға кез келген шоттың нөлдік жалпы импедансы оң импедансынан үш есе асмауын қамтамасыз ету.Жаңа салынған және техникалық жаңартылған 220кВ және 110кВ трансформаторларының нейтральдық нүктелерінің земге қ

Vziman

01/29/2026

Неге подстанциялар таңғыштарды және қырсықтау материалдарын пайдаланады?

Негізінен неліктен подстанциялар тас, құрыш, шебеке және кескінген таспен қолданылады?Подстанцияларда, электр энергиясы мен бөлісу трансформаторлары, электр өткізгіштері, напрямдама трансформаторлары, ағым трансформаторлары және айналу алуаның барлық құрылғылары жерге қосылатын. Жерге қосу дегенімен, енді құрыш және кескінген тасты подстанцияларда қолдану туралы тереңірек зерттеу жүргізейік. Олар сірек көрінетін болса да, бұл тастар маңызды қауіпсіздік және функционалдық рөл атқарады. Матер

Echo

01/29/2026

Екінші ретті жүйе	Ауырсыну коэффициенті (ξ)	Орнату уақыты (TS)
Аз ауырсатталған	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Ауырсатталмаған	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критикалық ауырсатталған	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Жетілдірілген ауырсатталған	ξ > 1	Негізгі полюстан тәуелді