Állapotállomány: Miben kifejeződik? (Képlet és hogyan található meg a MATLAB-ban)

Electrical4u

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi az állapotideje?

A dinamikus rendszer állapotideje az olyan idő, amelyet a kimenet szükséges, hogy elérje és stabilizálódjon egy adott toleranciakörben. Ezt T_s-vel jelöljük. Az állapotidő tartalmazza a terjedési késést és azt az időt, amit a végleges értékhez való eljutásig szükséges. Ez beleértendően tartalmazza az áterhelt állapotból való helyreállítást, valamint a toleranciakör közelségében történő stabilizálódást.

A toleranciakör a maximálisan megengedett tartomány, amelyen belül a kimenet stabilizálódhat. Általában a toleranciakörök 2% vagy 5%.

Az állapotidő a lépésválaszban egy másodrendű rendszer esetén az alábbi ábrán látható módon jelenik meg.

Állapotidő

Állapotidő képlet

Az állapotidő a természetes frekvenciától és a rendszer válaszától függ. Az állapotidő általános egyenlete a következő:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Egy másodrendű rendszer egységugrás-válasza a következőképpen fejezhető ki:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ez az egyenlet két részre osztható;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

A lecsengési idő meghatározásához csak az exponenciális komponens szükséges, mert ez a szinuszos komponens rezgő részét elhanyagolja. A toleranciatörtek értéke megegyezik az exponenciális komponens értékével.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hogyan számoljuk ki a beállási időt

A beállási idő kiszámításához egy elsőrendű rendszer egységugrás-válaszát veszünk figyelembe.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Az egységugrás-válasz esetén,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tehát,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Mostassuk meg A₁ és A₂ értékét.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Tegyük fel, hogy s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Tegyük fel, hogy s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

A 2%-os hibához 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ez az egyenlet adja meg az elsőrendű rendszer lehunytási időjét egységugrás bemenettel.

A másodrendű rendszer esetén a következő egyenletet kell figyelembe venni:

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Ebben az egyenletben az exponenciális tag fontos a lehunytási idő meghatározásához.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Most, tekintjük a 2%-os hibát. Tehát, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

A csillapítási arány (ξ) értéke függ a másodrendű rendszer típusától. Itt egy alulcsillapított másodrendű rendszert veszünk figyelembe. Az ξ értéke 0 és 1 között helyezkedik el.

Tehát, a fenti egyenlet nevezője nagyon közel van az 1-hez. Egyszerűbb számítások érdekében ezt elhanyagolhatjuk.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ez az egyenlet csak 2%-os hibahatárral és alulcsillapított másodrendű rendszerrel használható.

Hasonlóképpen, 5%-os hibahatár esetén; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Másodrendű rendszer esetén, mielőtt meghatározzuk a lehunyorodási időt, kiszámítanunk kell a szigetelési arányt.

Gyökérlokusz Állapotfelfüggesztő Idő

Az állapotfelfüggesztő idő kiszámítható a gyökérlokusz módszerrel. Az állapotfelfüggesztő idő függ a csillapítási aránytól és a természetes frekvenciától.

Ezek a mennyiségek a gyökérlokusz módszer segítségével származtathatók. Így megtalálhatjuk az állapotfelfüggesztő időt.

Értsük meg egy példán keresztül.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Túllendülés = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A gyökérhelyek diagramjából meghatározhatók a domináns pólusok;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Most már megvan ξ és ωn értéke,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

A gyökérhelyek diagramja a MATLAB-ból származik. Ehhez használja a „sisotool”-t. Itt hozzáadhat egy korlátozást, hogy a túllendülési arány 20%-os legyen. Így könnyen kaphatja meg a domináns pólusokat.

Az alábbi ábra a MATLAB-ból származó gyökérhelyek diagramját mutatja be.

Gyöklokus példa

A MATLAB segítségével meghatározhatjuk a beállítódási időt. A rendszer egységugrás-válasza az alábbi ábrán látható.

Beállítódási idő a MATLAB-ban

Hogyan csökkenthető a beállítódási idő

A beállítódási idő a cél eléréséhez szükséges idő. Bármilyen irányítórendszer esetén a beállítódási időt minimálisnak kell tartani.

A beállítódási idő csökkentése nem könnyű feladat. Szükség van egy irányítóra, amely csökkenti a beállítódási időt.

Mint tudjuk, három fajta irányító létezik: arányos (P), integráló (I), derivált (D). Ezeknek az irányítóknak a kombinációja segítségével elérhetjük a rendszer igényeit.

Az irányítók erősítése (KP, KI, KD) a rendszer igényeinek megfelelően választott.

Az arányos erősítés (KP) növelése kis változást okoz a beállítódási időben. Az integráló erősítés (KI) növelése a beállítódási időt megnöveli. A derivált erősítés (KD) növelése pedig a beállítódási időt csökkenti.

Ezért növekszik a deriválás nyeresége, hogy csökkentse a beállítási időt. A PID-vezérlő nyereségértékeinek kiválasztása során ez befolyásolhatja más mennyiségeket is, mint például a feljutási idő, a túllendülés és a szabályozott állapotbeli hiba.

Hogyan lehet megtalálni a beállítási időt a MATLAB-ban

A MATLAB-ban a beállítási idő egy lépcsős függvénnyel határozható meg. Nézzünk erre egy példát.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Először is, a beállítási időt az egyenlettel számítjuk ki. Ehhez hasonlítsuk össze ezt a átviteli függvényt a másodrendű rendszer általános átviteli függvényével.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Tehát,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ez az érték közelítő, mivel feltételezéseket alkalmaztunk a lecsengési idő kiszámításában. A MATLAB-ban azonban pontos értéket kapunk a lecsengési időre. Tehát a két esetben az érték kissé eltérhet.

A lecsengési idő kiszámításához a MATLAB-ban a step függvényt használjuk.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Kimenet:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

A válasz grafikonja a következő ábrán látható módon jelenik meg.

Lecsengési idő kiszámítása a MATLAB-ban

A MATLAB alapértelmezett hibaszintje 2%. Ezt a grafikonon módosíthatja más hibaszintekre. Ehhez jobb-kattintson a grafikonra, majd válassza a Properties > Options > "Show settling time within ___ %" opciót.

Tulajdonság-szerkesztő MATLAB

Egy másik módja a lecsengési idő meghatározásának egy ciklus futtatásával. Ahogy tudjuk, a 2% hibahatárra nézve a válaszot 0,98 és 1,02 között tekintjük.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
lecsengesi_ido = (S-1)*0.005

Kimenet:

lecsengesi_ido = 1.1886

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsa az eredeti anyagot, a jó cikkek megosztása értékes, ha szerzői jogokat sért, kérjük, lépjen kapcsolatba a törlés érdekében.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Energiaszerkezetek

Irányító rendszerek

Szakértők névjegye

Electrical4u

China

Ajánlott

Több

Milyen biztonsági intézkedések és iránymutatások vannak az AC terhelők használatához?

Az AC terhelésbankok olyan elektromos eszközök, amelyek valós világbeli terheléseket szimulálnak, és széles körben használják őket az energiarendszerekben, kommunikációs rendszerekben, automatizált irányítási rendszerekben és más területeken. A biztonságos használat érdekében a következő biztonsági elővigyázatosságokat és iránymutatásokat kell betartani:Megfelelő AC terhelésbank kiválasztása: Válasszon olyan AC terhelésbankot, amely megfelel a tényleges igényeknek, és győződjön meg róla, hogy ka

Echo

11/06/2025

Mit kell figyelembe venni a K típusú termopár telepítésekor?

A K típusú termopárok telepítésének elővigyázatossága létfontosságú a mérési pontosság biztosításához és az élettartam meghosszabbításához. Az alábbiakban a K típusú termopárok telepítési útmutatóját találja, amely nagyon hiteles forrásokból összeállított:1. Kiválasztás és ellenőrzés Válassza ki a megfelelő termopár típust: Válasszon megfelelő termopárt a mérési környezet hőmérsékleti tartományának, közeg tulajdonságainak és a szükséges pontosságnak megfelelően. A K típusú termopárok alkalmasak

James

11/06/2025

Olajváltókban fellépő tűz és robbanás okai és megelőző intézkedések

Az olajátkelőkben bekövetkező tűz és robbanás okai Amikor az olajátkelőben lévő olajszint túl alacsony, a kapcsolókra eső olajréteg túlságosan vékony lesz. Az elektromos ív hatására az olaj bomlik le, és gyújtófázisú gázokat bocsát ki. Ezek a gázok kumulálnak a fedél alatti térben, keveredve a leveggel, ami egy robbanható keveréket hoz létre, amely magas hőmérsékleten felgyulladhat vagy robbantatható. Ha a tartályban lévő olajszint túl magas, a kibocsátott gázoknak korlátozott helyük van a kiter

Felix Spark

11/06/2025

Harmonikus distorsiós tényező mérési hibastandardei az energiarendszer esetén

Az összes harmonikus torzítás (THD) hibatűrése: Egy részletes elemzés az alkalmazási helyzetek, a mérőeszköz pontosság és az ipari szabványok alapjánAz összes harmonikus torzítás (THD) elfogadható hibahatárait a konkrét alkalmazási kontextus, a mérőeszköz pontossága és az alkalmazandó ipari szabványok alapján kell értékelni. A lenti részletes elemzésben a kulcsfontosságú teljesítményindikátorokat vizsgáljuk elektromos rendszerek, ipari berendezések és általános mérési alkalmazások esetén.1. Harm

Edwiin

11/03/2025

Másodrendű rendszer	Dämpelési arány (ξ)	Beállítási idő (TS)
Aluldämpelt	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Nem dämpelt	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritikusan dämpelt	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Túldämpelt	ξ > 1	Függ a domináns pólustól