Állapotállomány: Miben kifejeződik? (Képlet és hogyan található meg a MATLAB-ban)

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi az állapotideje?

A dinamikus rendszer állapotideje az olyan idő, amelyet a kimenet szükséges, hogy elérje és stabilizálódjon egy adott toleranciakörben. Ezt T_s-vel jelöljük. Az állapotidő tartalmazza a terjedési késést és azt az időt, amit a végleges értékhez való eljutásig szükséges. Ez beleértendően tartalmazza az áterhelt állapotból való helyreállítást, valamint a toleranciakör közelségében történő stabilizálódást.

A toleranciakör a maximálisan megengedett tartomány, amelyen belül a kimenet stabilizálódhat. Általában a toleranciakörök 2% vagy 5%.

Az állapotidő a lépésválaszban egy másodrendű rendszer esetén az alábbi ábrán látható módon jelenik meg.

Állapotidő

Állapotidő képlet

Az állapotidő a természetes frekvenciától és a rendszer válaszától függ. Az állapotidő általános egyenlete a következő:

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Egy másodrendű rendszer egységugrás-válasza a következőképpen fejezhető ki:

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ez az egyenlet két részre osztható;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

A lecsengési idő meghatározásához csak az exponenciális komponens szükséges, mert ez a szinuszos komponens rezgő részét elhanyagolja. A toleranciatörtek értéke megegyezik az exponenciális komponens értékével.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hogyan számoljuk ki a beállási időt

A beállási idő kiszámításához egy elsőrendű rendszer egységugrás-válaszát veszünk figyelembe.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Az egységugrás-válasz esetén,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tehát,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Mostassuk meg A₁ és A₂ értékét.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Tegyük fel, hogy s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Tegyük fel, hogy s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

A 2%-os hibához 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ez az egyenlet adja meg az elsőrendű rendszer lehunytási időjét egységugrás bemenettel.

A másodrendű rendszer esetén a következő egyenletet kell figyelembe venni:

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Ebben az egyenletben az exponenciális tag fontos a lehunytási idő meghatározásához.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Most, tekintjük a 2%-os hibát. Tehát, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

A csillapítási arány (ξ) értéke függ a másodrendű rendszer típusától. Itt egy alulcsillapított másodrendű rendszert veszünk figyelembe. Az ξ értéke 0 és 1 között helyezkedik el.

Tehát, a fenti egyenlet nevezője nagyon közel van az 1-hez. Egyszerűbb számítások érdekében ezt elhanyagolhatjuk.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ez az egyenlet csak 2%-os hibahatárral és alulcsillapított másodrendű rendszerrel használható.

Hasonlóképpen, 5%-os hibahatár esetén; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Másodrendű rendszer esetén, mielőtt meghatározzuk a lehunyorodási időt, kiszámítanunk kell a szigetelési arányt.

Gyökérlokusz Állapotfelfüggesztő Idő

Az állapotfelfüggesztő idő kiszámítható a gyökérlokusz módszerrel. Az állapotfelfüggesztő idő függ a csillapítási aránytól és a természetes frekvenciától.

Ezek a mennyiségek a gyökérlokusz módszer segítségével származtathatók. Így megtalálhatjuk az állapotfelfüggesztő időt.

Értsük meg egy példán keresztül.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Túllendülés = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A gyökérhelyek diagramjából meghatározhatók a domináns pólusok;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Most már megvan ξ és ωn értéke,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

A gyökérhelyek diagramja a MATLAB-ból származik. Ehhez használja a „sisotool”-t. Itt hozzáadhat egy korlátozást, hogy a túllendülési arány 20%-os legyen. Így könnyen kaphatja meg a domináns pólusokat.

Az alábbi ábra a MATLAB-ból származó gyökérhelyek diagramját mutatja be.

Gyöklokus példa

A MATLAB segítségével meghatározhatjuk a beállítódási időt. A rendszer egységugrás-válasza az alábbi ábrán látható.

Beállítódási idő a MATLAB-ban

Hogyan csökkenthető a beállítódási idő

A beállítódási idő a cél eléréséhez szükséges idő. Bármilyen irányítórendszer esetén a beállítódási időt minimálisnak kell tartani.

A beállítódási idő csökkentése nem könnyű feladat. Szükség van egy irányítóra, amely csökkenti a beállítódási időt.

Mint tudjuk, három fajta irányító létezik: arányos (P), integráló (I), derivált (D). Ezeknek az irányítóknak a kombinációja segítségével elérhetjük a rendszer igényeit.

Az irányítók erősítése (KP, KI, KD) a rendszer igényeinek megfelelően választott.

Az arányos erősítés (KP) növelése kis változást okoz a beállítódási időben. Az integráló erősítés (KI) növelése a beállítódási időt megnöveli. A derivált erősítés (KD) növelése pedig a beállítódási időt csökkenti.

Ezért növekszik a deriválás nyeresége, hogy csökkentse a beállítási időt. A PID-vezérlő nyereségértékeinek kiválasztása során ez befolyásolhatja más mennyiségeket is, mint például a feljutási idő, a túllendülés és a szabályozott állapotbeli hiba.

Hogyan lehet megtalálni a beállítási időt a MATLAB-ban

A MATLAB-ban a beállítási idő egy lépcsős függvénnyel határozható meg. Nézzünk erre egy példát.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Először is, a beállítási időt az egyenlettel számítjuk ki. Ehhez hasonlítsuk össze ezt a átviteli függvényt a másodrendű rendszer általános átviteli függvényével.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Tehát,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ez az érték közelítő, mivel feltételezéseket alkalmaztunk a lecsengési idő kiszámításában. A MATLAB-ban azonban pontos értéket kapunk a lecsengési időre. Tehát a két esetben az érték kissé eltérhet.

A lecsengési idő kiszámításához a MATLAB-ban a step függvényt használjuk.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Kimenet:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

A válasz grafikonja a következő ábrán látható módon jelenik meg.

Lecsengési idő kiszámítása a MATLAB-ban

A MATLAB alapértelmezett hibaszintje 2%. Ezt a grafikonon módosíthatja más hibaszintekre. Ehhez jobb-kattintson a grafikonra, majd válassza a Properties > Options > "Show settling time within ___ %" opciót.

Tulajdonság-szerkesztő MATLAB

Egy másik módja a lecsengési idő meghatározásának egy ciklus futtatásával. Ahogy tudjuk, a 2% hibahatárra nézve a válaszot 0,98 és 1,02 között tekintjük.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
lecsengesi_ido = (S-1)*0.005

Kimenet:

lecsengesi_ido = 1.1886

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsa az eredeti anyagot, a jó cikkek megosztása értékes, ha szerzői jogokat sért, kérjük, lépjen kapcsolatba a törlés érdekében.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Energiaszerkezetek

Irányító rendszerek

Szakértők névjegye

Electrical4u

China

Ajánlott

Több

10 kV elosztási vonalak egyfázisú földeléseinek hibái és kezelése

Egyfázisú földzárlatok jellemzői és érzékelő eszközei1. Egyfázisú földzárlatok jellemzőiKözponti riasztójelek:A figyelmeztető csengő megszólal, és az „[X] kV buszszakasz [Y] földzárlata” feliratú jelzőlámpa világítani kezd. Petersen-kör (ívföltöltés-kiegyenlítő tekercs) által földelt semlegespontú rendszerekben a „Petersen-kör működésben” jelzőlámpa is megvilágosodik.Szigetelés-ellenőrző feszültségmérő jelei:A hibás fázis feszültsége csökken (részleges földelés esetén) vagy nullára esik (teljes

Rockwill

01/30/2026

110kV～220kV villamos hálózati transzformátorok nullapontjának földelési módja

A 110kV–220kV villamos háló transzformátorainak semleges pontjának kötőzetének módja meg kell felelni a transzformátorok semleges pontjának izolációs tűrőképességének, és törekedni kell arra, hogy az átalakító telepek nulladrendű ellenállása alapvetően változtatástól mentesen maradjon, miközben biztosítani kell, hogy a rendszer bármely rövidzárlati pontján a nulladrendű összegző ellenállás legfeljebb háromszorosa legyen a pozitív rendű összegző ellenállásnak.Az új építési projektekben és technol

Vziman

01/29/2026

Miért használják a transzformátorházak kavicsokat sziklát és darabkát?

Miért használják a kőzeteket, a sziklát, a kavicsokat és a törött kőt az átalakítóállomásokban?Az átalakítóállomásokban, mint például a tápegységek, a terheléselosztó transzformátorok, a továbbítási vezetékek, a feszültségtranszformátorok, az áramerősség-transzformátorok és a kapcsolók összes eszközének meg kell kapcsolódnia a földdel. A földkapcsolódáson túl most részletesen ismertetjük, miért használják gyakran kavicsot és törött követ az átalakítóállomásokban. Bár ezek a kavicsok általánosnak

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – Gyors SF₆ áramköri törő

1. Definíció és funkció1.1 A generátor átmeneti relé szerepeA Generátor Átmeneti Relé (GCB) egy irányítható kapcsolópont a generátor és a fokozó transzformátor között, amely a generátor és az energiahálózat közötti interfész. Főbb funkciói a generátorszintű hibák elszakítása, valamint a generátor szinkronizálásának és hálózati csatlakoztatásának működési ellenőrzése. Egy GCB működési elve nem jelentősen tér el egy szabványos átmeneti relétől; azonban a generátor hibaáramai nagy DC-komponens miat

Garca

01/06/2026

Másodrendű rendszer	Dämpelési arány (ξ)	Beállítási idő (TS)
Aluldämpelt	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Nem dämpelt	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritikusan dämpelt	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Túldämpelt	ξ > 1	Függ a domináns pólustól