Temps de Estabilització: Què és? (Fórmula i Com Trobar-lo al MATLAB)

Electrical4u

Camp: Electricitat bàsica

China

Què és el temps d'assentament?

El temps d'assentament d'un sistema dinàmic es defineix com el temps necessari perquè la sortida arribi i es mantingui dins d'una banda de tolerància donada. Es denota com Ts. El temps d'assentament inclou el retard de propagació i el temps necessari per arribar a la regió del seu valor final. Inclou el temps per recuperar la condició de sobrecàrrega incorporada amb el slew i l'estabilització propera a la banda de tolerància.

La banda de tolerància és un rang màxim permès en què la sortida pot assentar-se. Generalment, les bandes de tolerància són de 2% o 5%.

El temps d'assentament en la resposta a l'escala d'un sistema de segon ordre es mostra en la figura següent.

Temps d'assentament

Fórmula del temps d'assentament

El temps d'assentament depèn de la freqüència natural i la resposta del sistema. L'equació general del temps d'assentament és;

$T_S = \frac{ln(fracció \, de \, tolerància)}{relació \, d'amortigament \times Freqüència \, natural}$

La resposta a l'escala unitària d'un sistema de segon ordre es expressa com;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Aquesta equació es divideix en dues parts;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Per calcular el temps d'assentament, només necessitem el component exponencial ja que anul·la la part oscil·lantòria del component sinusoidal. I la fracció de tolerància és igual al component exponencial.

$Fracció de tolerància = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Fracció de tolerància \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Fracció de tolerància \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Com calcular el temps d'assentament

Per calcular el temps d'assentament, considerem un sistema d'ordre u amb resposta a l'escala unitària.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Per la resposta a l'escala unitària,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Per tant,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ara, calculeu el valor de A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Suposem s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Suposem s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Per un error del 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Aquesta equació dóna el temps de estableciment per a un sistema d'ordre u amb entrada d'escala unitària.

Per a un sistema d'ordre dos, hem de considerar la següent equació;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

En aquesta equació, el terme exponencial és important per trobar el valor del temps de estableciment.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ara, considerem un error del 2%. Per tant, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

El valor de la raó d'amortigament (ξ) depèn del tipus de sistema de segon ordre. Aquí, considerem un sistema de segon ordre subamortit. I el valor de ξ es troba entre 0 i 1.

Per tant, el denominador de l'equació anterior és gairebé igual a 1. I per fer un càlcul fàcil, podem ignorar-lo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Aquesta equació només es pot utilitzar per a una banda d'error del 2% i un sistema de segon ordre subamortit.

De manera similar, per a una banda d'error del 5%; 1 – C(t) = 0,05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Per al sistema d'ordre dos, abans de trobar el temps de repos, hem de calcular la raó d'amortigament.

Temps de reglamentació del lloc de les arrels

El temps de reglamentació es pot calcular mitjançant el mètode del lloc de les arrels. El temps de reglamentació depèn de la raó d'escorça i la freqüència natural.

Aquests valors es poden derivar amb l'ajuda del mètode del lloc de les arrels. I podem trobar el temps de reglamentació.

Entenguem-ho amb un exemple.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

I Sobretensió = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

A partir de la gràfica de lloc de les arrels, podeu trobar els pols dominants;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ara, tenim el valor de ξ i ωn,

$temps de convergència t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 segons$

El diagrama de lloc de les arrels es deriva del MATLAB. Per a això, utilitza “sisotool”. Aquí, pots afegir una restricció per al percentatge de sobrepàs igual a 20%. I obtenir fàcilment els pols dominants.

La figura inferior mostra el diagrama de lloc de les arrels del MATLAB.

Exemple de lòcus de les arrels

Podem trobar el temps d'assentament amb l'ajuda del MATLAB. La resposta a l'escala unitària d'aquest sistema es mostra a la figura següent.

Temps d'assentament al MATLAB

Com reduir el temps d'assentament

El temps d'assentament és el temps necessari per aconseguir l'objectiu. I per a qualsevol sistema de control, el temps d'assentament ha de mantenir-se mínim.

Reduir el temps d'assentament no és una tasca fàcil. Hem de dissenyar un controlador per reduir el temps d'assentament.

Com sabem, hi ha tres controladors; proporcional (P), integral (I), derivatiu (D). Amb una combinació d'aquests controladors, podem aconseguir els requisits del nostre sistema.

La ganancia dels controladors (KP, KI, KD) s'escull segons els requisits del sistema.

Augmentar la ganancia proporcional KP, resulta en un petit canvi en el temps d'assentament. Un augment de la ganancia integral KI, incrementa el temps d'assentament. I un increment de la ganancia derivativa KD, disminueix el temps d'assentament.

Per tant, el guany derivatiu augmenta per reduir el temps de configuració. En seleccionar els valors dels guanys del controlador PID, pot afectar també altres quantitats com el temps de pujada, el sobrerecorregut i l'error estacionari.

Com trobar el temps de estableciment en MATLAB

A MATLAB, el temps de estableciment es pot trobar mitjançant una funció d'escala. Comprenguem-ho amb un exemple.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Primer, calculem el temps de estableciment mitjançant l'equació. Per això, comparem aquesta funció de transferència amb la funció de transferència general d'un sistema d'ordre dos.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Per tant,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$temps de convergència (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Aquest valor és un valor aproximatiu ja que hem fet supòsits en calcular l'equació del temps de reposició. Però, al MATLAB, obtenim el valor exacte del temps de reposició. Així doncs, aquest valor pot ser lleugerament diferent en tots dos casos.

Ara, per calcular el temps de reposició al MATLAB, utilitzem la funció step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Sortida:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

I obtindreu una gràfica de la resposta com es mostra a la figura següent.

Calcul del temps de reposició al MATLAB

Al MATLAB, per defecte, la banda percentual d'error és del 2%. Pots canviar-ho a la gràfica per a diferents bandes d'error. Per fer-ho, fes clic amb el botó dret sobre la gràfica > propietats > opcions > "mostra el temps de reposició dins de ___ %".

Editor de propietats MATLAB

Una altra manera de trobar el temps d'assentament és executant un bucle. Com sabem, per a la banda d'error del 2%, considerem la resposta entre 0,98 i 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
temps_d_assentament = (S-1)*0.005

Sortida:

temps_d_assentament = 1.1886

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles valen la pena compartir, si hi ha infracció contacteu per suprimir.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Sistemes elèctrics

Sistemes de control

Sobre experts

Electrical4u

China

Recomanat

Més

Quines són les precaucions i directrius de seguretat per a l'ús de bancs de càrrega CA?

Les bancs de càrrega AC són dispositius elèctrics utilitzats per simular càrregues del món real i es fan servir ampliament en sistemes d'energia, sistemes de comunicació, sistemes de control d'automatització i altres àmbits. Per assegurar la seguretat personal i de l'equipament durant el seu ús, s'han d'observar les següents precaucions i orientacions de seguretat:Seleccioneu un banc de càrrega AC adequat: Trieu un banc de càrrega AC que compleixi amb els requisits reals, assegurant-vos que la s

Echo

11/06/2025

Què s'ha de tenir en compte en instal·lar un termopar de tipus K?

Les precaucions d'instal·lació dels termopars de tipus K són essencials per assegurar la precisió de la mesura i prolongar la vida útil. A continuació, es presenta una introducció a les línies guia d'instal·lació dels termopars de tipus K, compilades a partir de fonts altament autoritzades:1. Selecció i inspecció Seleccioneu el tipus de termopar adequat: Trieu el termopar correcte en funció de l'interval de temperatures, les propietats del medi i la precisió requerida de l'entorn de mesura. Els

James

11/06/2025

Causas i mesures preventives d'incendi i explosió en interruptors d'oli

Causas d'incendi i explosió en els interruptors d'oli Quan el nivell d'oli en un interruptor d'oli és massa baix, la capa d'oli que cobreix els contactes es fa massa fina. Sota l'efecte de l'arc elèctric, l'oli es descompon i allibera gasos inflamables. Aquests gasos s'acumulen en l'espai sota la tapa superior, mesclant-se amb l'aire per formar una barreja explosiva, que pot encendre o explotar a temperatures altes. Si el nivell d'oli dins del dipòsit és massa alt, els gasos alliberats tenen esp

Felix Spark

11/06/2025

Estàndards d'error de mesura THD per a sistemes elèctrics

Tolerància d'Error de la Distorsió Harmònica Total (THD): Una Anàlisi Comprehensiva Basada en Escenaris d'Aplicació, Precisió dels Equipaments i Normes IndustrialsL'interval d'error acceptable per a la Distorsió Harmònica Total (THD) ha de ser avaluat basant-se en contextos d'aplicació específics, precisió dels equipaments de mesura i normes industrials aplicables. A continuació es presenta un anàlisi detallat dels indicadors clau de rendiment en sistemes elèctrics, maquinària industrial i aplic

Edwiin

11/03/2025

Sistema de segon ordre	Ratí de sòrig (ξ)	Temps de configuració (TS)
Subsòrig	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Sense sòrig	ξ = 0	$T_S = \infty$
Critica sòrig	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Sobre-sòrig	ξ > 1	Depèn del pol dominant