Innstillingstid: Hva er det? (Formel og hvordan finne den i MATLAB)

Electrical4u

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

Hva er innstillingsperiode?

Innstillingsperioden for et dynamisk system defineres som tiden det tar for utdataen å nå og stabilisere seg innenfor en gitt toleransebånd. Den betegnes som Ts. Innstillingsperioden omfatter propagasjonstid og tiden det tar å nå regionen av sitt endelige verdi. Det inkluderer tiden til å gjenopprette overlastsbetingelsen sammen med slew og stabil nær toleransebåndet.

Toleransebåndet er den maksimale tillatte rekkevidden der utdataen kan stabilisere seg. Generelt er toleransebåndene 2% eller 5%.

Innstillingsperioden i stegresponsen for et system av andre orden er vist i figuren nedenfor.

Innstillingsperiode

Innstillingsperiode Formel

Innstillingsperioden avhenger av naturlig frekvens og respons fra systemet. Generell ligning for innstillingsperiode er;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Enhetens stegrespons for et system av andre orden uttrykkes som;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Denne ligningen deles inn i to deler;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

For å beregne innsvingstiden, trenger vi bare den eksponentielle komponenten, da denne nullstiller den oscillerende delen av den sinusformede komponenten. Og toleransefraksjonen er lik den eksponentielle komponenten.

$Toleransebrøk = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Toleransebrøk \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Toleransebrøk \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Hvordan beregne innstillingsperiode

For å beregne innstillingsperioden, vurderer vi et førsteordens system med enhetstrinnrespons.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

For enhetstrinnrespons,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dermed,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nå, beregn verdien for A1 og A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Antalet s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Antalet s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

For 2% feil, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Denne ligningen gir innstillingstid for et førsteordens system med enhetssteginngang.

For et andreordens system må vi vurdere følgende ligning;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

I denne ligningen er eksponentialleddet viktig for å finne innstillingstiden.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nå betrakter vi 2 % feil. Derfor er 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Verdien av dempingforholdet (ξ) avhenger av typen andreordens system. Her betrakter vi et underdempet andreordens system. Og verdien av ξ ligger mellom 0 og 1.

Så nevneren i ovenstående ligning er nesten lik 1. Og for å forenkle beregningen, kan vi utelate den.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Denne ligningen kan kun brukes for 2 % feilmargin og underdempet andreordens system.

Tilsvarende for 5 % feilmargin; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

For andreordens systemer, før vi finner innstillingstiden, må vi beregne dempingforholdet.

Rotsettlingtid for rotlokusmetoden

Rotsettlingstiden kan beregnes ved hjelp av rotlokusmetoden. Rotsettlingstiden avhenger av dempingforholdet og naturlig frekvens.

Disse størrelsene kan utledes med hjelp av rotlokusmetoden. Og vi kan finne rotsettlingstiden.

La oss forstå dette gjennom et eksempel.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Overskyting = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Fra rotlokusplottet kan du finne de dominante polene;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nå har vi verdien av ξ og ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Røtlokusplottet er utledet fra MATLAB. For dette bruker du «sisotool». Her kan du legge til en begrensning for prosentvis overskudd som er lik 20 %. Og få dominante poler lett.

Nedenfor vises røtlokusplottet fra MATLAB.

Eksempel på rotasjonskrets

Vi kan finne innsnusningstiden med hjelp av MATLAB. Enhetsstegresponsen for dette systemet er vist i figuren nedenfor.

Innsnusningstid i MATLAB

Hvordan redusere innsnusningstid

Innsnusningstiden er tiden som kreves for å oppnå målet. For ethvert kontrollsystem må innsnusningstiden holdes så lav som mulig.

Å redusere innsnusningstiden er ikke en enkel oppgave. Vi må designe en kontroller for å redusere innsnusningstiden.

Som vi vet, finnes det tre kontrollerer; proporsjonell (P), integrerende (I), derivativ (D). Med en kombinasjon av disse kontrollerene kan vi oppfylle kravene til systemet.

Forsterkningsfaktoren til kontrollerne (KP, KI, KD) velges ut fra systemets behov.

En økning i proporsjonell forsterkningsfaktor KP resulterer i en liten endring i innsnusningstiden. En økning i integrerende forsterkningsfaktor KI øker innsnusningstiden. En økning i derivativ forsterkningsfaktor KD reduserer innsnusningstiden.

Derfor øker derivativforsterkningen for å redusere innstillingstiden. Når man velger forsterkningsverdiene for PID-regulatoren, kan det også påvirke andre størrelser som stigningstid, overskyting og statisk feil.

Hvordan finne stabiliserings tid i MATLAB

I MATLAB kan stabiliserings tiden finnes ved hjelp av en skritt funksjon. La oss forstå dette gjennom et eksempel.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Først beregner vi stabiliserings tiden ved hjelp av en ligning. For dette sammenligner vi denne overføringsfunksjonen med den generelle overføringsfunksjonen for et andreakt system.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Derfor,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Denne verdien er en tilnærmet verdi, for vi har tatt forutsetninger under beregningen av likningen for stabiliseringstid. Men i MATLAB får vi den eksakte verdien av stabiliseringstiden. Så denne verdien kan være litt forskjellig i begge tilfeller.

Nå, for å beregne stabiliseringstid i MATLAB, bruker vi trinnsfunksjonen.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Og du får et svargraf som vist i figuren nedenfor.

Beregning av stabiliseringstid i MATLAB

I MATLAB er standard feilprosenten 2%. Du kan endre dette i grafen for ulike feilprosenter. For det, høyreklikk på grafen > egenskaper > alternativer > "vis stabiliseringstid innen ___ %".

Egenskaper Editor MATLAB

En annen måte å finne innsvingstiden er ved å kjøre en løkke. Som vi vet, for 2 % feilmargin, betrakter vi responsen mellom 0.98 til 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
innsvingstid = (S-1)*0.005

Output:

innsvingstid = 1.1886

Erklæring: Respekt for originaliteten, godt artikler verdt å deles, hvis det er kränkning kontakt slett.

Gi en tips og oppmuntre forfatteren

Emner:

Kraftsystemer

Kontrollsystemer

Om eksperter

Electrical4u

China

Anbefalt

Mer

Hva er sikkerhetsforanstaltningene og retningslinjene for bruk av AC-belastningsenheter?

AC lastbelaster er elektriske enheter som brukes til å simulere sanne belastninger og blir bredt anvendt i kraftsystemer, kommunikasjonssystemer, automatiserte kontrollsystemer og andre felt. For å sikre person- og utstyrstrygghet under bruk, må følgende sikkerhetsforholdsregler og retningslinjer overholdes:Velg en passende AC lastbelaster: Velg en AC lastbelaster som oppfyller de faktiske kravene, og sørger for at kapasiteten, spenningsspesifikasjonen og andre parametre tilfredsstiller den fore

Echo

11/06/2025

Hva skal merkes ved montering av en type K termoelement?

Installasjonsforholds for typen K termokobler er viktig for å sikre målnøyaktighet og forlenge levetiden. Under er en introduksjon til installasjonsretningslinjer for typen K termokobler, samlet fra høyautoritative kilder:1. Valg og inspeksjon Velg riktig termokobletype: Velg riktig termokoble basert på temperaturområde, mediumsegenskaper og nødvendig målnøyaktighet i måleomgivelsene. Typen K termokobler er egnet for temperaturer fra -200°C til 1372°C og kan brukes i ulike omgivelser og medier.

James

11/06/2025

Årsaker og forebyggende tiltak for brann og eksplosjon i oljesirkuitspærer

Årsaker til brann og eksplosjon i oljesirkuitsbrytere Når olseniveauet i en oljesirkuitsbryter er for lavt, blir oljelaget som dekker kontaktene for tynn. Under effekten av elektrisk bue dekomponerer oljen seg og slipper ut brennbare gasser. Disse gassene akkumulerer seg i rommet under toppdekslet, blander seg med luft og danner et eksplosivt blanding, som kan tennes eller eksplodere ved høy temperatur. Hvis olseniveauet inne i tanken er for høyt, har de slippe gassene begrenset rom å ekspandere

Felix Spark

11/06/2025

THD Målingsfeilstandarder for kraftsystemer

Toleranse for total harmonisk deformasjon (THD): En omfattende analyse basert på anvendelsesscenarier, utstyrspresisjon og bransjestandarderDen akseptable feilmarginen for total harmonisk deformasjon (THD) må vurderes basert på spesifikke anvendelseskontekster, presisjon i måleutstyr og gjeldende bransjestandarder. Nedenfor følger en detaljert analyse av nøkkelperformanseindikatorer i kraftsystemer, industriutstyr og generelle målingsanvendelser.1. Harmoniske feilstandarder i kraftsystemer1.1 Na

Edwiin

11/03/2025

Andreordens system	Dempingsforhold (ξ)	Innstillingstid (TS)
Underdempet	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Udempet	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritisk dempet	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Overdempet	ξ > 1	Avhenger av dominante poler