Lõppaeg: Mida see on? (Valem ja kuidas seda MATLABis leida)

Electrical4u

Väli: Põhiline Elekter

China

Mis on tasustusaeg?

Dünaamilise süsteemi tasustusaeg defineeritakse kui aeg, mille jooksul väljund jõuab ja stabiilne jääb etteantud tolerantsi piiride sisse. See tähistatakse Ts. Tasustusaeg sisaldab levikuaega ja aega, mis kulub lõpliku väärtuse piirkonda jõudmiseks. Selle hulka kuuluvad ka ülekoormuse taastumise aeg, kiirendus ja stabiilsus lähedal tolerantsi ribale.

Tolerantsriba on maksimaalne lubatud ulatus, milles väljund võib stabiliseeruda. Tavaliselt on tolerantsribad 2% või 5%.

Tasustusaeg teist järku süsteemi astmesignaali vastuses on näidatud järgnevates joonistes.

Tasustusaeg

Tasustusaeg valem

Tasustusaeg sõltub loomulikust sagedusest ja süsteemi reageeringust. Tasustusaega kirjeldav üldvalem on;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Teist järku süsteemi ühikastme signaali vastus avaldub kujul;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

See valem jagune kaheks osaks;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Stabiilsusaegi arvutamiseks vajame ainult eksponentiaalset komponenti, sest see tühistab sinusoidse komponendi ostsilleerivat osa. Tolerantsmurd on võrdne eksponentiaalse komponendiga.

$Tolerantsus fraktsioon = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerantsus fraktsioon \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerantsus fraktsioon \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kuidas arvutada tasakaalustumisaega

Tasakaalustumisaega arvutamiseks vaatame esimest järku süsteemi ühikulise sammufunktsiooni reageerimisega.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Ühikulise sammufunktsiooni puhul,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Seega,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nüüd arvuta väärtused A1 ja A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Eeldame, et s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Eeldame, et s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

2% vea korral, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

See võrrand annab esimest järku süsteemi seistesajast ühiku sammuga sisendiga.

Teist järku süsteemi puhul tuleb arvesse võtta järgmist võrrandit;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Selles võrrandis on eksponentiaalne term oluline seistesaja väärtuse leidmiseks.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nüüd eeldame 2% vea. Seega, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Väldamisnõguse (ξ) väärtus sõltub teise järku süsteemi tüübist. Siin eeldame allahevitatud teist järku süsteemi. Ja ξ väärtus asub nulli ja ühe vahel.

Seega on eelneva võrrandi nimetaja umbes võrdne ühega. Lihtsustatud arvutuste jaoks saame seda ignoreerida.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

See valem saab kasutada ainult 2% veavahemiku ja allidamise teist järku süsteemi korral.

Sarnaselt 5% veavahemiku korral; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Teisendussüsteemi puhul peame enne asümptootilise ajani leidmist arvutama dempeerimiskordaja.

Juurdiagrammi tõusuaeg

Tõusuaega saab arvutada juurdiagrammi meetodil. Tõusuaeg sõltub dempeeringu suhtest ja loomulikust sagedusest.

Need suurused saavad välja arvutada juurdiagrammi meetodi abil. Ja me saame leida tõusuaega.

Vaatame näidet.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Ja üleliigne võnkumine = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Juurdiagrammilt saad leida domineerivad poolused;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nüüd, meil on ξ ja ωn väärtused,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Juurdiagramm on tuletatud MATLABist. Selle jaoks kasutage "sisotool". Siin saate lisada piirangu ületõusu protsendi jaoks, mis on võrdne 20%. Ja leidke lihtsalt domineerivad poolikud.

Allpool näidatakse juurdiagrammi MATLABist.

Juurdiagrammi näide

MATLABi abil saame leida ülemääraaegu. Selle süsteemi ühikasamblireaktsioon on näidatud järgmisel joonisel.

Ülemääraaeg MATLABis

Kuidas vähendada ülemääraega

Ülemääraeg on aeg, mille jooksul saavutatakse eesmärk. Iga juhtimissüsteem peab hoidma ülemääraega võimalikult lühikeseks.

Ülemääraega vähendamine ei ole lihtne ülesanne. Peame disainima juhitaja, et vähendada ülemääraega.

Nagu me teame, on olemas kolm juhitajat; proportsionaalne (P), integraalne (I), diferentsiaalne (D). Nende juhitajate kombinatsiooni abil saame täita oma nõuded süsteemile.

Juhtimise tugevused (KP, KI, KD) valitakse vastavalt süsteemi nõudmistele.

Proportsionaalse tugevuse KP suurendamine tuletab väikest muutust ülemääraegas. Integraalse tugevuse KI suurendamine pikkendab ülemääraega. Diferentsiaalse tugevuse KD suurendamine vähendab ülemääraega.

Seega suureneb tuletise saamisväärtus, et vähendada seadistusaega. Valides PID-juhuri saamisväärtusi, võivad need mõjutada ka muud koguseid, nagu tõusuaja, ületäitumine ja tasakaalustatud oleku vea.

Kuidas leida seadistusaeg MATLAB-is

MATLAB-is saab seadistusaega leida astmefunktsiooniga. Vaatame seda näitega.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Kõigepealt arvutame seadistusaega valemiga. Selleks võrdleme seda ülekandefunktsiooni teist järku süsteemi üldise ülekandefunktsiooniga.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Seega,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

See väärtus on ligikaudne, sest me oleme arvutanud stabiiliseerumisaega tehes mingisuguseid eeldusi. Kuid MATLAB-is saame täpse stabiiliseerumisaega. Seetõttu võivad need väärtused mõlemas juhul väheste erinevat.

Nüüd, et arvutada stabiiliseerumisaega MATLAB-is, kasutame sammufunktsiooni.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Väljund:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ja saate graafiku, mis näeb välja järgmiselt.

Stabiiliseerumisaega arvutamine MATLAB-is

MATLAB-is on vaikimisi vea protsentuaalne piir 2%. Seda saate muuta graafikus, et saada erineva veapiiri. Selleks paremklõpsake graafikule > omadused > valikud > "näita stabiiliseerumisaega ___ % sees".

Omaduse redaktor MATLAB

Teine viis leidmaks seadumisaega on tsüklit käivitada. Kui me teame, siis 2% veavahemiku puhul vaatame vastust vahemikus 0.98 kuni 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
seadumisaeg = (S-1)*0.005

Väljund:

seadumisaeg = 1.1886

Deklaratsioon: Austa originaali, heade artiklite jaoks on väärt jagamist, kui on rikkumine siis palun võta ühendust selleks, et kustutada.

Anna vihje ja julgesta autorit!

Teemad:

Elektrisüsteemid

Juhtimissüsteemid

Ekspertide kohta

Electrical4u

China

Eraldusvaldkond

Basic Electrical

Professionaalne artikkel

607

Soovitatud

Rohkem

Mis on turvameetmed ja juhised AC laadikute kasutamisel?

Vahelduvjärgulised laadikud on elektrilised seadmed, mida kasutatakse tegeliku koormuse simulatsiooniks ja mida laialdaselt rakendatakse energiasüsteemides, side- ja automaatkontrollisüsteemides ning muudes valdkondades. Kasutamise ajal isikliku ja tarbijaohutuse tagamiseks tuleb järgida järgmisi ohutusnõudeid ja -juhiseid:Valige sobiv vahelduvjärguline laadik: Valige vahelduvjärguline laadik, mis vastab tegelikele nõudmistele, tagades, et selle võimsus, pingereiting ja muud parameetrid rahuldav

Echo

11/06/2025

Mis tuleks tähele panelt Type K termopaaride installeerimisel?

Tüübi K termopaaride paigaldamise eeskirjad on olulised selleks, et tagada mõõtmiste täpsus ja pikendada kasutusaega. Allpool on koostatud väga autoriteetlikest allikatest tüübi K termopaaride paigaldamise juhised:1. Valik ja kontroll Valige sobiv termopaaritüüp: Valige õige termopaar lähtuvalt mõõtmiskeskkonna temperatuurivalikust, meediumi omadustest ja nõutavast täpsusest. Tüübi K termopäärid on sobivad temperatuuride vahemiku -200°C kuni 1372°C jaoks ning neid saab kasutada erinevates keskko

James

11/06/2025

Põhjused ja ennetusmeetmed naftalõhna katkisullete põlevikule ja plahvatusel

Kõrvalduse ja plahvatusi põhjustavad tegurid naftakoristurites Kui naftakoristuri naftataseme on liiga madal, siis kontaktide kate naht liiga õhukeseks. Elektrilise lõhnava mõju all nafta laguneb ja vabastab süttimisele soovivaid gaase. Need gaasid kogunevad katuse all olevasse ruumi, segnevad õhuga ja moodustavad plahvatusliku segu, mis võib kõrge temperatuuri mõjul süttida või plahvatada. Kui naftataseme tankis on liiga kõrge, siis vabastatud gaaside laienemiseks on piiratud ruum, mis viib eba

Felix Spark

11/06/2025

Võrgusüsteemide THD mõõtmise veakriteeriumid

Koguse tolerantside täistoonilise häire (THD) analüüs: Üldine analüüs rakendussituaatide, seadmete täpsuse ja tööstusstandardite põhjalTäistoonilise häire (THD) aktsepteeritav vea vahemik tuleb hinnata konkreetsete rakendussituaatide, mõõtmise seadme täpsuse ja kehtivate tööstusstandardite põhjal. Allpool on toodud detailne analüüs võimeliikumistes, tööstusseadmetes ja üldistes mõõtmisrakendustes kasutatavatest olulistest performantsiparameetritest.1. Harmoniline veastandard elektroenergeetikas1

Edwiin

11/03/2025

Teine järku süsteem	Dempingu suhe (ξ)	Seadistusaeg (TS)
Alladempitud	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Omadempitud	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kriitiliselt adempitud	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Üladempitud	ξ > 1	Sõltub domineerivast poolusest