Време за установяване: Какво е то? (Формула и как да го намерите в MATLAB)

Поле: Основни електротехника

China

Какво е време за стабилизиране?

Времето за стабилизиране на динамична система се дефинира като времето, необходимо за достигане и установяване на изхода в рамките на зададена допустима толерантност. То се означава с Ts. Времето за стабилизиране включва временна забава и времето, необходимо за достигане до областта на окончателната стойност. Включва времето за преодоляване на условията на прекомерна натовареност, свързани с бързо променящото се напрежение и стабилизиране близо до допустимата толерантност.

Допустимата толерантност е максимално позволеният диапазон, в който изходът може да се стабилизира. Обикновено допустимите толерантности са 2% или 5%.

Времето за стабилизиране в стъпковия отговор на второредна система е показано на следната фигура.

Време за стабилизиране

Формула за време за стабилизиране

Времето за стабилизиране зависи от природната честота и отговора на системата. Общата формула за време за стабилизиране е;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Единичният стъпков отговор на второредна система се изразява като;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Тази формула се дели на две части;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

За изчисляване на времето за установяване, ни е необходима само експоненциалната компонента, тъй като тя отменя осцилаторната част на синусоидалната компонента. И дробта на допустимостта е равна на експоненциалната компонента.

$Толерантностна фракция = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Толерантностна фракция \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Толерантностна фракция \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Как да изчислим времето за стабилизиране

За да изчислим времето за стабилизиране, разглеждаме система от първи ред с единичен стъпков отговор.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

За единичен стъпков отговор,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Следователно,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега, изчислете стойността за A1 и A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Приемете, че s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Приемете, че s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

За грешка от 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Тази формула дава времето за настаняване за първи ред системи с единичен стъпков вход.

За втори ред системи, трябва да вземем предвид следната формула;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

В тази формула, експоненциалният член е важен за намирането на времето за настаняване.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Сега разглеждаме грешка от 2%. Следователно, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Стойността на коефициента на демпфирование (ξ) зависи от типа второредова система. Тук разглеждаме недемпфирани второредови системи. И стойността на ξ се намира между 0 и 1.

Следователно, знаменателят на горното уравнение е почти равен на 1. За да направим лесни изчисления, можем да го пренебрегнем.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Тази формула може да се използва само за лента на грешка от 2% и недопълнена система от втори ред.

По същия начин, за лента на грешка от 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

За втора ред система, преди да намерим времето за установяване, трябва да изчислим коефициента на демпфирование.

Време на стабилизиране по метода на кореновата локуса

Времето на стабилизиране може да бъде изчислена чрез метода на кореновата локуса. Времето на стабилизиране зависи от кофициента на демпфирование и естествената честота.

Тези величини могат да бъдат изведени с помощта на метода на кореновата локуса. И ние можем да намерим времето на стабилизиране.

Нека разберем с пример.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Превишаване = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

От диаграмата на корените можете да намерите доминантните полюси;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Сега, имаме стойността на ξ и ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Диаграмата на корените е изведена от MATLAB. За това използвайте „sisotool“. Тук можете да добавите ограничение за процентния прехлъп, равен на 20%. И лесно да получите доминиращи полюси.

Надолу е показана диаграмата на корените от MATLAB.

Пример на коренов локус

Можем да намерим времето за установяване с помощта на MATLAB. Единичният стъпков отговор на тази система е показан в следващата фигура.

Време за установяване в MATLAB

Как да намалим времето за установяване

Времето за установяване е времето, необходимо за достигане на целта. За всяка управляваща система, времето за установяване трябва да бъде държано на минимум.

Намаляването на времето за установяване не е лесна задача. Трябва да проектираме регулатор за намаляване на времето за установяване.

Както знаем, има три типа регулатори; пропорционален (P), интегрален (I), диференциален (D). С комбинация от тези регулатори, можем да постигнем нашите изисквания към системата.

Печатните коефициенти на регулаторите (KP, KI, KD) се избират според изискванията на системата.

Увеличаването на пропорционалния печат KP, води до малко изменение във времето за установяване. Увеличаването на интегралния печат KI, увеличава времето за установяване. И увеличаването на диференциалния печат KD, намалява времето за установяване.

Следователно, диференциалната печалба се увеличава, за да намали времето за настройка. При избора на стойностите на печалбата на ПИД контролера, това може да повлияе и на други величини като времето за нарастване, прекомерното отклонение и статичната грешка.

Как да намерите времето за установяване в MATLAB

В MATLAB, времето за установяване може да бъде намерено чрез функцията step. Нека разберем по пример.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Първо, ние пресмятаме времето за установяване чрез уравнение. За това, сравняваме тази предавателна функция с общата предавателна функция на системата от втори ред.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Следователно,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Тази стойност е приблизителна, тъй като сме направили някои предположения при изчисляването на уравнението за време на установяване. В MATLAB обаче получаваме точната стойност на времето на установяване. Следователно, тази стойност може леко да варира в двете случаи.

Сега, за да изчислим времето на установяване в MATLAB, използваме функцията step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Изход:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Получавате графиката на отговора, както е показано на следващата фигура.

Изчисление на времето на установяване в MATLAB

По подразбиране в MATLAB процентният диапазон на грешката е 2%. Можете да промените това в графика за различни диапазони на грешка. За това, десен клик върху графика > свойства > опции > „покажи време на установяване в рамките на ___ %“.

Редактор на свойства MATLAB

Друг начин за намиране на времето за установяване чрез изпълнение на цикъл. Както знаем, за границата на грешката от 2%, приемаме отговора между 0.98 и 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Изход:

settling_time = 1.1886

Заявление: Почитайте оригинала, добрия статии са стойни за споделяне, ако има нарушаване на правата върху авторската собственост, моля, свържете се за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Електрически системи

Управлени системи

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607

Препоръчано

Повече

Поръчани и обработка на еднофазни земни замыкания в разпределителни линии от 10 кВ

Характеристики и устройства за откриване на еднофазни земни повреди1. Характеристики на еднофазните земни повредиЦентрализирани алармени сигнали:Звънът за предупреждение звъни, а индикаторната лампа с надпис „Земна повреда на шинния участък [X] kV [Y]“ светва. В системи със заземяване на неутралната точка чрез Петерсенов бобин (бобина за гасене на дъга), светва и индикаторът „Петерсенов бобин в действие“.Показания на волтметър за мониторинг на изолацията:Напрежението на повредената фаза намалява

Rockwill

01/30/2026

Нейтрална точка на заземяване на трансформаторите в мрежата от 110кВ до 220кВ

Разположението на режимите на заземяване на нейтралната точка на трансформаторите в мрежата от 110кВ до 220кВ трябва да отговаря на изискванията за издръжливост на изолацията на нейтралната точка на трансформаторите и също така трябва да се стреми да поддържа нулевата последователностна импеданса на електроцентралиците почти непроменена, като се гарантира, че нулевият комплексен импеданс във всяка точка на кратко замыкание в системата не надвишава три пъти положителния комплексен импеданс.За нов

Vziman

01/29/2026

Защо трансформаторните станции използват камъни гравий калъдари и дробени скали

Защо трансформаторните станции използват камъни, гравий, калъдари и дробени камъни?В трансформаторните станции, оборудване като трансформатори за енергия и разпределение, линии за пренос, напреженчески трансформатори, токови трансформатори и включващи-изключващи ключове, всички изискват заземяване. Освен заземяването, ще разгледаме по-задълбочено защо гравий и дробени камъни са често използвани в трансформаторните станции. Въпреки че изглеждат обикновени, тези камъни играят важна роля за безопас

Echo

01/29/2026

HECI GCB за генератори – Бърз SF₆ прекъсвач

1. Дефиниция и функция1.1 Роля на апаратът за изключване на генератораАпаратът за изключване на генератора (GCB) е контролируема точка за разединяване, разположена между генератора и трансформатора за повишаване на напрежението, служещ като интерфейс между генератора и мрежата за електроенергия. Неговите основни функции включват изолиране на аварии от страната на генератора и осигуряване на оперативен контрол по време на синхронизацията на генератора и неговото свързване с мрежата. Принципът на

Garca

01/06/2026

Система от втори ред	Коефициент на демпфирование (ξ)	Време за настройка (TS)
Поддемпфирани	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Недемпфирани	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично демпфирани	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Предемпфирани	ξ > 1	Зависи от доминиращия полюс