Време за установяване: Какво е то? (Формула и как да го намерите в MATLAB)

Electrical4u

Поле: Основни електротехника

China

Какво е време за стабилизиране?

Времето за стабилизиране на динамична система се дефинира като времето, необходимо за достигане и установяване на изхода в рамките на зададена допустима толерантност. То се означава с Ts. Времето за стабилизиране включва временна забава и времето, необходимо за достигане до областта на окончателната стойност. Включва времето за преодоляване на условията на прекомерна натовареност, свързани с бързо променящото се напрежение и стабилизиране близо до допустимата толерантност.

Допустимата толерантност е максимално позволеният диапазон, в който изходът може да се стабилизира. Обикновено допустимите толерантности са 2% или 5%.

Времето за стабилизиране в стъпковия отговор на второредна система е показано на следната фигура.

Време за стабилизиране

Формула за време за стабилизиране

Времето за стабилизиране зависи от природната честота и отговора на системата. Общата формула за време за стабилизиране е;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Единичният стъпков отговор на второредна система се изразява като;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Тази формула се дели на две части;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

За изчисляване на времето за установяване, ни е необходима само експоненциалната компонента, тъй като тя отменя осцилаторната част на синусоидалната компонента. И дробта на допустимостта е равна на експоненциалната компонента.

$Толерантностна фракция = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Толерантностна фракция \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Толерантностна фракция \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Как да изчислим времето за стабилизиране

За да изчислим времето за стабилизиране, разглеждаме система от първи ред с единичен стъпков отговор.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

За единичен стъпков отговор,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Следователно,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега, изчислете стойността за A1 и A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Приемете, че s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Приемете, че s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

За грешка от 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Тази формула дава времето за настаняване за първи ред системи с единичен стъпков вход.

За втори ред системи, трябва да вземем предвид следната формула;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

В тази формула, експоненциалният член е важен за намирането на времето за настаняване.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Сега разглеждаме грешка от 2%. Следователно, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Стойността на коефициента на демпфирование (ξ) зависи от типа второредова система. Тук разглеждаме недемпфирани второредови системи. И стойността на ξ се намира между 0 и 1.

Следователно, знаменателят на горното уравнение е почти равен на 1. За да направим лесни изчисления, можем да го пренебрегнем.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Тази формула може да се използва само за лента на грешка от 2% и недопълнена система от втори ред.

По същия начин, за лента на грешка от 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

За втора ред система, преди да намерим времето за установяване, трябва да изчислим коефициента на демпфирование.

Време на стабилизиране по метода на кореновата локуса

Времето на стабилизиране може да бъде изчислена чрез метода на кореновата локуса. Времето на стабилизиране зависи от кофициента на демпфирование и естествената честота.

Тези величини могат да бъдат изведени с помощта на метода на кореновата локуса. И ние можем да намерим времето на стабилизиране.

Нека разберем с пример.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

И Превишаване = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

От диаграмата на корените можете да намерите доминантните полюси;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Сега, имаме стойността на ξ и ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Диаграмата на корените е изведена от MATLAB. За това използвайте „sisotool“. Тук можете да добавите ограничение за процентния прехлъп, равен на 20%. И лесно да получите доминиращи полюси.

Надолу е показана диаграмата на корените от MATLAB.

Пример на коренов локус

Можем да намерим времето за установяване с помощта на MATLAB. Единичният стъпков отговор на тази система е показан в следващата фигура.

Време за установяване в MATLAB

Как да намалим времето за установяване

Времето за установяване е времето, необходимо за достигане на целта. За всяка управляваща система, времето за установяване трябва да бъде държано на минимум.

Намаляването на времето за установяване не е лесна задача. Трябва да проектираме регулатор за намаляване на времето за установяване.

Както знаем, има три типа регулатори; пропорционален (P), интегрален (I), диференциален (D). С комбинация от тези регулатори, можем да постигнем нашите изисквания към системата.

Печатните коефициенти на регулаторите (KP, KI, KD) се избират според изискванията на системата.

Увеличаването на пропорционалния печат KP, води до малко изменение във времето за установяване. Увеличаването на интегралния печат KI, увеличава времето за установяване. И увеличаването на диференциалния печат KD, намалява времето за установяване.

Следователно, диференциалната печалба се увеличава, за да намали времето за настройка. При избора на стойностите на печалбата на ПИД контролера, това може да повлияе и на други величини като времето за нарастване, прекомерното отклонение и статичната грешка.

Как да намерите времето за установяване в MATLAB

В MATLAB, времето за установяване може да бъде намерено чрез функцията step. Нека разберем по пример.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Първо, ние пресмятаме времето за установяване чрез уравнение. За това, сравняваме тази предавателна функция с общата предавателна функция на системата от втори ред.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Следователно,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Тази стойност е приблизителна, тъй като сме направили някои предположения при изчисляването на уравнението за време на установяване. В MATLAB обаче получаваме точната стойност на времето на установяване. Следователно, тази стойност може леко да варира в двете случаи.

Сега, за да изчислим времето на установяване в MATLAB, използваме функцията step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Изход:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Получавате графиката на отговора, както е показано на следващата фигура.

Изчисление на времето на установяване в MATLAB

По подразбиране в MATLAB процентният диапазон на грешката е 2%. Можете да промените това в графика за различни диапазони на грешка. За това, десен клик върху графика > свойства > опции > „покажи време на установяване в рамките на ___ %“.

Редактор на свойства MATLAB

Друг начин за намиране на времето за установяване чрез изпълнение на цикъл. Както знаем, за границата на грешката от 2%, приемаме отговора между 0.98 и 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Изход:

settling_time = 1.1886

Заявление: Почитайте оригинала, добрия статии са стойни за споделяне, ако има нарушаване на правата върху авторската собственост, моля, свържете се за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Електрически системи

Управлени системи

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607

Препоръчано

Повече

Какви са мерките за безопасност и насоките за използване на акумулатори с постоянн ток?

AC натоварванията са електрически устройства, използвани за симулиране на реални натоварвания и широко прилагани в електроенергийни системи, комуникационни системи, системи за автоматично управление и други области. За да се гарантира безопасността на хората и оборудването по време на използване, следва да се спазват следните мерки за безопасност и указания:Изберете подходящ AC натоварвание: Изберете AC натоварвание, което отговаря на реалните изисквания, като осигурите, че неговата капацитет, н

Echo

11/06/2025

Какво трябва да се отбележи при монтажа на термопара от тип K?

Предпазните мерки при инсталирането на термопарата от тип K са критични за осигуряване на точността на измерванията и удължаване на срока на ползване. По-долу е представено въведение към указанията за инсталиране на термопари от тип K, съставени на базата на високо авторитетни източници:1. Избор и проверка Изберете подходящия тип термопара: Изберете правилната термопара в зависимост от диапазона на температурите, свойствата на средата и необходимата точност на измерването. Термопарите от тип K с

James

11/06/2025

Причини и превентивни мерки за пожар и експлозия в маслени прекъсвачи

Причини за пожар и експлозия в маслените прекъсвачи Когато нивото на масло в масления прекъсвач е твърде ниско, слоестата покривка над контактите става твърде тънка. Под влиянието на електрическата дъга, маслото се разпада и освобождава горивни газове. Тези газове се събират в пространството под горната капак, смесват се с въздуха и формират експлозивна смес, която може да запали или експлодира при висока температура. Ако нивото на масло в резервоара е твърде високо, свободното пространство за р

Felix Spark

11/06/2025

Стандарти за грешка на измерване на THD в електрическите системи

Толерантността към грешка на общата хармонична искаженост (THD): Комплексен анализ въз основа на сценарии за приложение, точност на оборудването и индустриални стандартиПриемливият диапазон на грешките за общата хармонична искаженост (THD) трябва да бъде оценен въз основа на специфични контексти на приложение, точност на измервателното оборудване и приложими индустриални стандарти. По-долу е представен подробен анализ на ключовите показатели за производителност в електроенергийните системи, инду

Edwiin

11/03/2025

Система от втори ред	Коефициент на демпфирование (ξ)	Време за настройка (TS)
Поддемпфирани	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Недемпфирани	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично демпфирани	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Предемпфирани	ξ > 1	Зависи от доминиращия полюс