Χρόνος Σταθεροποίησης: Τι είναι; (Τύπος και Πώς να τον βρείτε στο MATLAB)

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

Τι είναι Χρόνος Σταθεροποίησης;

Ο χρόνος σταθεροποίησης ενός δυναμικού συστήματος ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για την έξοδο να φτάσει και να σταθεροποιηθεί μέσα σε μια δεδομένη ζώνη αποδοχής. Συμβολίζεται ως Ts. Ο χρόνος σταθεροποίησης περιλαμβάνει την υστέρηση διάδοσης και τον χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στην περιοχή της τελικής τιμής. Περιλαμβάνει επίσης τον χρόνο ανάκαμψης από την υπερφόρτωση, συνδυασμένη με την ταχύτητα και τη σταθερότητα κοντά στη ζώνη αποδοχής.

Η ζώνη αποδοχής είναι η μέγιστη επιτρεπτή περιοχή στην οποία η έξοδος μπορεί να σταθεροποιηθεί. Γενικά, οι ζώνες αποδοχής είναι 2% ή 5%.

Ο χρόνος σταθεροποίησης στην απόκριση βήματος ενός δευτεροβάθμιου συστήματος είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χρόνος Σταθεροποίησης

Τύπος Χρόνου Σταθεροποίησης

Ο χρόνος σταθεροποίησης εξαρτάται από τη φυσική συχνότητα και την απόκριση του συστήματος. Ο γενικός τύπος του χρόνου σταθεροποίησης είναι;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Η απόκριση βήματος δευτεροβάθμιου συστήματος εκφράζεται ως;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Αυτή η εξίσωση χωρίζεται σε δύο μέρη

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Για τον υπολογισμό του χρόνου σταθεροποίησης, χρειάζεται μόνο το εκθετικό μέρος, καθώς ακυρώνει το ταλαντώδες μέρος του συνημιτόνου. Και η κλάση αποδοχής είναι ίση με το εκθετικό μέρος.

$Κλάση ανοχής = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Κλάση ανοχής \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Κλάση ανοχής \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Πώς να υπολογίσετε τον Χρόνο Σταθεροποίησης

Για τον υπολογισμό του χρόνου σταθεροποίησης, θεωρούμε ένα σύστημα πρώτης τάξης με απόκριση βήματος μονάδας.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Για την απόκριση βήματος μονάδας,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Άρα,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Τώρα, υπολογίστε τις τιμές για A1 και A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Υποθέστε ότι s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Υποθέστε ότι s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Για σφάλμα 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Αυτή η εξίσωση δίνει τον χρόνο σταθεροποίησης για ένα σύστημα πρώτης τάξης με είσοδο μοναδιαίου βήματος.

Για ένα σύστημα δεύτερης τάξης, πρέπει να λάβουμε υπόψη την παρακάτω εξίσωση;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Σε αυτή την εξίσωση, ο εκθετικός όρος είναι σημαντικός για την εύρεση της τιμής του χρόνου σταθεροποίησης.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Τώρα, θεωρούμε σφάλμα 2%. Συνεπώς, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Η τιμή του συντελεστή απόσβεσης (ξ) εξαρτάται από τον τύπο του δευτεροβάθμιου συστήματος. Εδώ, θεωρούμε ένα υποσβεντικό δευτεροβάθμιο σύστημα. Και η τιμή του ξ βρίσκεται μεταξύ 0 και 1.

Άρα, ο παρονομαστής της παραπάνω εξίσωσης είναι περίπου ίσος με 1. Για να κάνουμε μια εύκολη υπολογισμό, μπορούμε να τον αγνοήσουμε.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Αυτή η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για την περίπτωση 2% σφάλμα και υπερβαρύ δεύτερης τάξης σύστημα.

Παρόμοια, για 5% σφάλμα; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Για ένα σύστημα δευτέρου βαθμού, πριν υπολογίσουμε τον χρόνο εδραίωσης, πρέπει να υπολογίσουμε τον συντελεστή απόσβεσης.

Χρόνος Σταθεροποίησης του Διαγράμματος Ρίζων

Ο χρόνος σταθεροποίησης μπορεί να υπολογιστεί με τη μέθοδο του διαγράμματος ρίζων. Ο χρόνος σταθεροποίησης εξαρτάται από το πηνίο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα.

Αυτές οι μεγέθη μπορούν να προκύψουν με τη βοήθεια της μεθόδου του διαγράμματος ρίζων. Και μπορούμε να βρούμε τον χρόνο σταθεροποίησης.

Ας το κατανοήσουμε με ένα παράδειγμα.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Και η Υπερβολή = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Από το διάγραμμα ρίζων, μπορείτε να βρείτε τα κυρίαρχα πόλους

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Τώρα, έχουμε τις τιμές των ξ και ωn,

$χρόνος σταθεροποίησης t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 δευτερόλεπτα$

Το διάγραμμα ριζών προέρχεται από το MATLAB. Για αυτό, χρησιμοποιήστε το "sisotool". Εδώ, μπορείτε να προσθέσετε μια περιοριστική συνθήκη ώστε το ποσοστό υπερβολής να είναι ίσο με 20%. Και να λάβετε εύκολα τους κυρίαρχους πόλους.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το διάγραμμα ριζών από το MATLAB.

Παράδειγμα ρίζας θέσης

Μπορούμε να βρούμε τον χρόνο σταθεροποίησης με τη βοήθεια του MATLAB. Η απόκριση μοναδιαίου βήματος αυτού του συστήματος είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χρόνος σταθεροποίησης στο MATLAB

Πώς να μειώσετε τον χρόνο σταθεροποίησης

Ο χρόνος σταθεροποίησης είναι ο χρόνος που απαιτείται για να επιτευχθεί το στόχο. Για κάθε σύστημα ελέγχου, ο χρόνος σταθεροποίησης πρέπει να παραμείνει ελάχιστος.

Η μείωση του χρόνου σταθεροποίησης δεν είναι εύκολη διαδικασία. Χρειάζεται να σχεδιάσουμε έναν ελεγκτή για να μειώσουμε τον χρόνο σταθεροποίησης.

Όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν τρεις ελεγκτές: αναλογικός (P), ολοκληρωτικός (I), παραγωγικός (D). Με συνδυασμό αυτών των ελεγκτών, μπορούμε να επιτύχουμε τις απαιτήσεις του συστήματος.

Η απόδοση των ελεγκτών (KP, KI, KD) επιλέγεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του συστήματος.

Η αύξηση της αναλογικής απόδοσης KP, έχει ως αποτέλεσμα μια μικρή αλλαγή στον χρόνο σταθεροποίησης. Η αύξηση της ολοκληρωτικής απόδοσης KI, αυξάνει τον χρόνο σταθεροποίησης. Η αύξηση της παραγωγικής απόδοσης KD, μειώνει τον χρόνο σταθεροποίησης.

Επομένως, το παράγωγο κέρδος αυξάνεται για να μειώσει το χρόνο επίτευξης της θέσης. Κατά την επιλογή των τιμών κέρδους του ελεγκτή PID, μπορεί να επηρεάσει και άλλες ποσότητες, όπως το χρόνο ανόδου, την υπερβολή και το σταθερότατο σφάλμα.

Πώς να βρείτε τον χρόνο επίτευξης της θέσης στο MATLAB

Στο MATLAB, ο χρόνος επίτευξης της θέσης μπορεί να βρεθεί με τη χρήση μιας συνάρτησης βήματος. Ας το κατανοήσουμε μέσω ενός παραδείγματος.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Πρώτα, υπολογίζουμε τον χρόνο επίτευξης της θέσης με την εξίσωση. Γι' αυτό, συγκρίνουμε αυτή τη συνάρτηση μεταφοράς με τη γενική συνάρτηση μεταφοράς δευτεροβάθμιου συστήματος.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Επομένως,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Αυτή η τιμή είναι προσεγγιστική, καθώς έχουμε υποθέσει στην προσέγγιση της εξίσωσης του χρόνου σταθεροποίησης. Ωστόσο, στο MATLAB, παίρνουμε την ακριβή τιμή του χρόνου σταθεροποίησης. Έτσι, αυτή η τιμή μπορεί να διαφέρει λίγο στις δύο περιπτώσεις.

Τώρα, για να υπολογίσουμε τον χρόνο σταθεροποίησης στο MATLAB, χρησιμοποιούμε την συνάρτηση step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Και παίρνετε ένα γράφημα απόκρισης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Υπολογισμός χρόνου σταθεροποίησης στο MATLAB

Στο MATLAB, η προεπιλεγμένη ζώνη σφάλματος είναι 2%. Μπορείτε να αλλάξετε αυτή την τιμή στο γράφημα για διαφορετική ζώνη σφάλματος. Γι' αυτό, κάντε δεξί κλικ στο γράφημα > properties > options > "show settling time within ___ %".

Επεξεργαστής Ιδιοτήτων MATLAB

Άλλος τρόπος εύρεσης του χρόνου σταθεροποίησης μέσω της εκτέλεσης ενός βρόχου. Όπως γνωρίζουμε, για την περίοχη λάθους 2%, θεωρούμε την απόκριση μεταξύ 0.98 και 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Δήλωση: Σεβαστείτε το αρχικό, καλά άρθρα αξίζει να μοιραζόμαστε, εάν υπάρχει παραβίαση πνευματικών δικαιωμάτων παρακαλώ επικοινωνήστε για διαγραφή.

Δώστε μια δωροδοσία και ενθαρρύνετε τον συγγραφέα

Θέματα:

Συστήματα Ενέργειας

Συστήματα Έλεγχου

Σχετικά με τους εμπειρογνώμονες

Electrical4u

China

Προτεινόμενα

Περισσότερα

Κυρίως Συμβάντα σε Μετατροπείς και Προβλήματα Λειψήρου Gas Operation Issues

1. Καταγραφή Ατυχήματος (19 Μαρτίου 2019)Στις 16:13 της 19ης Μαρτίου 2019, το σύστημα παρακολούθησης ανέφερε ενεργοποίηση ελαφρού αερίου στον κύριο μετασχηματιστή αριθ. 3. Σύμφωνα με τον Κώδικα Λειτουργίας Ηλεκτρικών Μετασχηματιστών (DL/T572-2010), το προσωπικό λειτουργίας και συντήρησης (O&M) επέτρεψε επιθεώρηση της κατάστασης του κύριου μετασχηματιστή αριθ. 3 επί τόπου.Επιβεβαίωση επί τόπου: Η μη ηλεκτρική πινακίδα προστασίας WBH του κύριου μετασχηματιστή αριθ. 3 ανέφερε ενεργοποίηση ελαφρ

Leon

02/05/2026

Ηλεκτρικές Ανωμαλίες και Επεξεργασία Μονοφασικής Παραγώγου σε Γραμμές Διανομής 10kV

Χαρακτηριστικά και συσκευές ανίχνευσης μονοφασικών βραχυκυκλωμάτων προς γη1. Χαρακτηριστικά των μονοφασικών βραχυκυκλωμάτων προς γηΚεντρικά σήματα συναγερμού:Χτυπά το κουδούνι προειδοποίησης και ανάβει η ενδεικτική λυχνία με την ένδειξη «Βραχυκύκλωμα προς γη στην τάση [X] kV, τμήμα λεωφόρου [Y]». Σε συστήματα με γείωση του ουδέτερου σημείου μέσω πηνίου Petersen (πηνίου σβεστήρα τόξου), ανάβει επίσης η ενδεικτική λυχνία «Λειτουργία πηνίου Petersen».Ενδείξεις του βολτόμετρου παρακολούθησης μόνωσης

Rockwill

01/30/2026

Λειτουργικός τρόπος σύνδεσης του ουδέτερου σημείου για μετατροπείς δικτύων υψηλής ενέργειας 110kV～220kV

Η διάταξη των λειτουργικών καθεστώτων σύνδεσης στο ημιτελές των μετατροπέων πλέγματος ρεύματος 110kV～220kV πρέπει να εκπληρώνει τις απαιτήσεις αντοχής της απομόνωσης του ημιτελούς των μετατροπέων, και πρέπει επίσης να προσπαθεί να διατηρεί την αντίσταση μηδενικής ακολουθίας των υποσταθμίων ουσιαστικά αμετάβλητη, ενώ εξασφαλίζει ότι η συνδυασμένη αντίσταση μηδενικής ακολουθίας σε οποιοδήποτε σημείο σύνδεσης στο σύστημα δεν υπερβαίνει τρεις φορές τη συνδυασμένη αντίσταση θετικής ακολουθίας.Για του

Vziman

01/29/2026

Γιατί οι Υποσταθμοί Χρησιμοποιούν Πέτρες, Σκάλα, Ψηλόφωλα και Συντρίμμια Πέτρας;

Γιατί οι υποσταθμοί χρησιμοποιούν πέτρες, βράχια, πεζούλες και συντριμμένο πέτρωμα;Στους υποσταθμούς, εξοπλισμός όπως μετατροπείς ενέργειας και διανομής, γραμμές μεταφοράς, μετατροπείς τάσης, μετατροπείς ρεύματος και αποδιαστολείς ρεύματος απαιτούν αρδότηση. Πέρα από την αρδότηση, θα εξερευνήσουμε τώρα λεπτομερώς γιατί τα βράχια και το συντριμμένο πέτρωμα χρησιμοποιούνται συχνά σε υποσταθμούς. Αν και φαίνονται συνηθισμένα, αυτά τα βράχια παίζουν κρίσιμο ρόλο ασφάλειας και λειτουργικότητας.Στη σχ

Echo

01/29/2026

Δεύτερης τάξης σύστημα	Συντελεστής απόσβεσης (ξ)	Χρόνος ρύθμισης (TS)
Υποδαμπισμένο	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Αδαμπισμένο	ξ = 0	$T_S = \infty$
Κρίσιμα δαμπισμένο	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Υπερδαμπισμένο	ξ > 1	Εξαρτάται από το κυρίαρχο πόλο