Χρόνος Σταθεροποίησης: Τι είναι; (Τύπος και Πώς να τον βρείτε στο MATLAB)

Electrical4u

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

Τι είναι Χρόνος Σταθεροποίησης;

Ο χρόνος σταθεροποίησης ενός δυναμικού συστήματος ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για την έξοδο να φτάσει και να σταθεροποιηθεί μέσα σε μια δεδομένη ζώνη αποδοχής. Συμβολίζεται ως Ts. Ο χρόνος σταθεροποίησης περιλαμβάνει την υστέρηση διάδοσης και τον χρόνο που απαιτείται για να φτάσει στην περιοχή της τελικής τιμής. Περιλαμβάνει επίσης τον χρόνο ανάκαμψης από την υπερφόρτωση, συνδυασμένη με την ταχύτητα και τη σταθερότητα κοντά στη ζώνη αποδοχής.

Η ζώνη αποδοχής είναι η μέγιστη επιτρεπτή περιοχή στην οποία η έξοδος μπορεί να σταθεροποιηθεί. Γενικά, οι ζώνες αποδοχής είναι 2% ή 5%.

Ο χρόνος σταθεροποίησης στην απόκριση βήματος ενός δευτεροβάθμιου συστήματος είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χρόνος Σταθεροποίησης

Τύπος Χρόνου Σταθεροποίησης

Ο χρόνος σταθεροποίησης εξαρτάται από τη φυσική συχνότητα και την απόκριση του συστήματος. Ο γενικός τύπος του χρόνου σταθεροποίησης είναι;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Η απόκριση βήματος δευτεροβάθμιου συστήματος εκφράζεται ως;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Αυτή η εξίσωση χωρίζεται σε δύο μέρη

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Για τον υπολογισμό του χρόνου σταθεροποίησης, χρειάζεται μόνο το εκθετικό μέρος, καθώς ακυρώνει το ταλαντώδες μέρος του συνημιτόνου. Και η κλάση αποδοχής είναι ίση με το εκθετικό μέρος.

$Κλάση ανοχής = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Κλάση ανοχής \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Κλάση ανοχής \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Πώς να υπολογίσετε τον Χρόνο Σταθεροποίησης

Για τον υπολογισμό του χρόνου σταθεροποίησης, θεωρούμε ένα σύστημα πρώτης τάξης με απόκριση βήματος μονάδας.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Για την απόκριση βήματος μονάδας,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Άρα,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Τώρα, υπολογίστε τις τιμές για A1 και A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Υποθέστε ότι s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Υποθέστε ότι s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Για σφάλμα 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Αυτή η εξίσωση δίνει τον χρόνο σταθεροποίησης για ένα σύστημα πρώτης τάξης με είσοδο μοναδιαίου βήματος.

Για ένα σύστημα δεύτερης τάξης, πρέπει να λάβουμε υπόψη την παρακάτω εξίσωση;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

Σε αυτή την εξίσωση, ο εκθετικός όρος είναι σημαντικός για την εύρεση της τιμής του χρόνου σταθεροποίησης.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Τώρα, θεωρούμε σφάλμα 2%. Συνεπώς, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Η τιμή του συντελεστή απόσβεσης (ξ) εξαρτάται από τον τύπο του δευτεροβάθμιου συστήματος. Εδώ, θεωρούμε ένα υποσβεντικό δευτεροβάθμιο σύστημα. Και η τιμή του ξ βρίσκεται μεταξύ 0 και 1.

Άρα, ο παρονομαστής της παραπάνω εξίσωσης είναι περίπου ίσος με 1. Για να κάνουμε μια εύκολη υπολογισμό, μπορούμε να τον αγνοήσουμε.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Αυτή η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για την περίπτωση 2% σφάλμα και υπερβαρύ δεύτερης τάξης σύστημα.

Παρόμοια, για 5% σφάλμα; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Για ένα σύστημα δευτέρου βαθμού, πριν υπολογίσουμε τον χρόνο εδραίωσης, πρέπει να υπολογίσουμε τον συντελεστή απόσβεσης.

Χρόνος Σταθεροποίησης του Διαγράμματος Ρίζων

Ο χρόνος σταθεροποίησης μπορεί να υπολογιστεί με τη μέθοδο του διαγράμματος ρίζων. Ο χρόνος σταθεροποίησης εξαρτάται από το πηνίο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα.

Αυτές οι μεγέθη μπορούν να προκύψουν με τη βοήθεια της μεθόδου του διαγράμματος ρίζων. Και μπορούμε να βρούμε τον χρόνο σταθεροποίησης.

Ας το κατανοήσουμε με ένα παράδειγμα.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Και η Υπερβολή = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Από το διάγραμμα ρίζων, μπορείτε να βρείτε τα κυρίαρχα πόλους

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Τώρα, έχουμε τις τιμές των ξ και ωn,

$χρόνος σταθεροποίησης t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 δευτερόλεπτα$

Το διάγραμμα ριζών προέρχεται από το MATLAB. Για αυτό, χρησιμοποιήστε το "sisotool". Εδώ, μπορείτε να προσθέσετε μια περιοριστική συνθήκη ώστε το ποσοστό υπερβολής να είναι ίσο με 20%. Και να λάβετε εύκολα τους κυρίαρχους πόλους.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το διάγραμμα ριζών από το MATLAB.

Παράδειγμα ρίζας θέσης

Μπορούμε να βρούμε τον χρόνο σταθεροποίησης με τη βοήθεια του MATLAB. Η απόκριση μοναδιαίου βήματος αυτού του συστήματος είναι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Χρόνος σταθεροποίησης στο MATLAB

Πώς να μειώσετε τον χρόνο σταθεροποίησης

Ο χρόνος σταθεροποίησης είναι ο χρόνος που απαιτείται για να επιτευχθεί το στόχο. Για κάθε σύστημα ελέγχου, ο χρόνος σταθεροποίησης πρέπει να παραμείνει ελάχιστος.

Η μείωση του χρόνου σταθεροποίησης δεν είναι εύκολη διαδικασία. Χρειάζεται να σχεδιάσουμε έναν ελεγκτή για να μειώσουμε τον χρόνο σταθεροποίησης.

Όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν τρεις ελεγκτές: αναλογικός (P), ολοκληρωτικός (I), παραγωγικός (D). Με συνδυασμό αυτών των ελεγκτών, μπορούμε να επιτύχουμε τις απαιτήσεις του συστήματος.

Η απόδοση των ελεγκτών (KP, KI, KD) επιλέγεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις του συστήματος.

Η αύξηση της αναλογικής απόδοσης KP, έχει ως αποτέλεσμα μια μικρή αλλαγή στον χρόνο σταθεροποίησης. Η αύξηση της ολοκληρωτικής απόδοσης KI, αυξάνει τον χρόνο σταθεροποίησης. Η αύξηση της παραγωγικής απόδοσης KD, μειώνει τον χρόνο σταθεροποίησης.

Επομένως, το παράγωγο κέρδος αυξάνεται για να μειώσει το χρόνο επίτευξης της θέσης. Κατά την επιλογή των τιμών κέρδους του ελεγκτή PID, μπορεί να επηρεάσει και άλλες ποσότητες, όπως το χρόνο ανόδου, την υπερβολή και το σταθερότατο σφάλμα.

Πώς να βρείτε τον χρόνο επίτευξης της θέσης στο MATLAB

Στο MATLAB, ο χρόνος επίτευξης της θέσης μπορεί να βρεθεί με τη χρήση μιας συνάρτησης βήματος. Ας το κατανοήσουμε μέσω ενός παραδείγματος.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Πρώτα, υπολογίζουμε τον χρόνο επίτευξης της θέσης με την εξίσωση. Γι' αυτό, συγκρίνουμε αυτή τη συνάρτηση μεταφοράς με τη γενική συνάρτηση μεταφοράς δευτεροβάθμιου συστήματος.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Επομένως,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Αυτή η τιμή είναι προσεγγιστική, καθώς έχουμε υποθέσει στην προσέγγιση της εξίσωσης του χρόνου σταθεροποίησης. Ωστόσο, στο MATLAB, παίρνουμε την ακριβή τιμή του χρόνου σταθεροποίησης. Έτσι, αυτή η τιμή μπορεί να διαφέρει λίγο στις δύο περιπτώσεις.

Τώρα, για να υπολογίσουμε τον χρόνο σταθεροποίησης στο MATLAB, χρησιμοποιούμε την συνάρτηση step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Και παίρνετε ένα γράφημα απόκρισης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Υπολογισμός χρόνου σταθεροποίησης στο MATLAB

Στο MATLAB, η προεπιλεγμένη ζώνη σφάλματος είναι 2%. Μπορείτε να αλλάξετε αυτή την τιμή στο γράφημα για διαφορετική ζώνη σφάλματος. Γι' αυτό, κάντε δεξί κλικ στο γράφημα > properties > options > "show settling time within ___ %".

Επεξεργαστής Ιδιοτήτων MATLAB

Άλλος τρόπος εύρεσης του χρόνου σταθεροποίησης μέσω της εκτέλεσης ενός βρόχου. Όπως γνωρίζουμε, για την περίοχη λάθους 2%, θεωρούμε την απόκριση μεταξύ 0.98 και 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

Δήλωση: Σεβαστείτε το αρχικό, καλά άρθρα αξίζει να μοιραζόμαστε, εάν υπάρχει παραβίαση πνευματικών δικαιωμάτων παρακαλώ επικοινωνήστε για διαγραφή.

Δώστε μια δωροδοσία και ενθαρρύνετε τον συγγραφέα

Θέματα:

Συστήματα Ενέργειας

Συστήματα Έλεγχου

Σχετικά με τους εμπειρογνώμονες

Electrical4u

China

Προτεινόμενα

Περισσότερα

Τι είναι τα μέτρα ασφάλειας και οι οδηγίες για τη χρήση φορτίων εναλλακτικού ρεύματος;

Οι φορτίες AC είναι ηλεκτρονικά συστήματα που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση πραγματικών φορτίων και εφαρμόζονται ευρέως σε συστήματα ενέργειας, συστήματα επικοινωνίας, συστήματα αυτόματης ελέγχου και άλλους τομείς. Για να διασφαλιστεί η ασφάλεια των ατόμων και των εξοπλισμών κατά τη χρήση, πρέπει να τηρούνται οι παρακάτω μέτρα ασφαλείας και οδηγίες:Επιλέξτε κατάλληλη φορτία AC: Επιλέξτε φορτία AC που ανταποκρίνονται στις πραγματικές ανάγκες, διασφαλίζοντας ότι η δυνατότητα, η επίπεδος τάσ

Echo

11/06/2025

Τι πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά την εγκατάσταση θερμοζευγού τύπου K; 【Προσοχή】 - να ακολουθείται αυστηρά η οδηγία για την εγκατάσταση - να ελέγχεται η θερμοκρασία περιβάλλοντος κατά την εγκατάσταση - να επιλέγεται σωστή μήκος καλώδιου για τη συνδεσιμότητα - να αποφεύγεται η εκτέλεση του θερμοζευγού σε περιοχές με ηλεκτρομαγνητικές επιρροές - να ελέγχεται το υλικό στο οποίο εγκαθίσταται ο θερμοζευγός - να προσέχεται η κατάλληλη θέση κατά την εγκατάσταση για ακριβή μέτρηση

Οι προσοχές κατά την εγκατάσταση θερμοπαραγωγών τύπου K είναι κρίσιμες για τη διασφάλιση της ακρίβειας της μέτρησης και την επέκταση της χρήσιμης ζωής. Υπόθεση είναι οι κατευθυντήριες γραμμές εγκατάστασης για θερμοπαραγωγούς τύπου K, συνταγμένες από εξαιρετικά αξιόπιστες πηγές:1.Επιλογή και Έλεγχος Επιλέξτε το κατάλληλο τύπο θερμοπαραγωγού: Επιλέξτε τον κατάλληλο θερμοπαραγωγό βάσει του πεδίου θερμοκρασίας, των ιδιοτήτων του μέσου και της απαιτούμενης ακρίβειας του περιβάλλοντος μέτρησης. Οι θερ

James

11/06/2025

Αιτίες και Προληπτικά Μέτρα για Πυρκαγιά και Έκρηξη σε Ολικότροπους Διαχωριστές

Αιτίες πυρκαγιών και εκρήξεων σε υδραυλικούς διαχωριστές Όταν το επίπεδο λάδιου σε έναν υδραυλικό διαχωριστή είναι πολύ χαμηλό, το στρώμα λαδιού που καλύπτει τα επαφές γίνεται πολύ λεπτό. Υπό την επίδραση του ηλεκτρικού τόξου, το λάδι αναλύεται και απελευθερώνει καυσίμα αέρια. Αυτά τα αέρια συσσωρεύονται στο χώρο κάτω από τον κάτω φθέγγων, μείγνυνται με τον αέρα για να σχηματίσουν μια εκρηκτική μίγνυση, η οποία μπορεί να εναπωθεί ή να εκραγεί σε υψηλή θερμοκρασία. Εάν το επίπεδο λαδιού μέσα στην

Felix Spark

11/06/2025

Πρότυπα Λάθους Μέτρησης THD για Συστήματα Ρεύματος

Ανεχτικότητα σφάλματος της Συνολικής Αρμονικής Διαστροφής (THD): Μια Πλήρης Ανάλυση Με βάση Σενάρια Εφαρμογών, Ακρίβεια Εξοπλισμού και Βιομηχανικές ΠροδιαγραφέςΗ αποδεκτή εύρεση σφάλματος για τη Συνολική Αρμονική Διαστροφή (THD) πρέπει να εκτιμηθεί με βάση συγκεκριμένα σενάρια εφαρμογών, ακρίβεια μέτρησης του εξοπλισμού και εφαρμόσιμες βιομηχανικές προδιαγραφές. Υπόκειται μια λεπτομερής ανάλυση των βασικών δεικτών επιδόσεων σε συστήματα ενέργειας, βιομηχανικό εξοπλισμό και γενικές εφαρμογές μέτρ

Edwiin

11/03/2025

Δεύτερης τάξης σύστημα	Συντελεστής απόσβεσης (ξ)	Χρόνος ρύθμισης (TS)
Υποδαμπισμένο	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Αδαμπισμένο	ξ = 0	$T_S = \infty$
Κρίσιμα δαμπισμένο	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Υπερδαμπισμένο	ξ > 1	Εξαρτάται από το κυρίαρχο πόλο