Tempo di Stabilizzazione: Cos'è? (Formula e Come Trovarlo in MATLAB)

Campo: Elettricità di base

China

Cos'è il tempo di stabilizzazione?

Il tempo di stabilizzazione di un sistema dinamico è definito come il tempo necessario affinché l'uscita raggiunga e si stabilizzi all'interno di una banda di tolleranza specificata. È indicato come Ts. Il tempo di stabilizzazione comprende il ritardo di propagazione e il tempo necessario per raggiungere la regione del valore finale. Include anche il tempo necessario per riprendersi da una condizione di sovraccarico, incorporando slittamento e stabilizzazione vicino alla banda di tolleranza.

La banda di tolleranza è la gamma massima consentita in cui l'uscita può stabilizzarsi. Generalmente, le bande di tolleranza sono del 2% o del 5%.

Il tempo di stabilizzazione nella risposta al gradino di un sistema del secondo ordine è mostrato nella figura sottostante.

Tempo di stabilizzazione

Formula del tempo di stabilizzazione

Il tempo di stabilizzazione dipende dalla frequenza naturale e dalla risposta del sistema. L'equazione generale del tempo di stabilizzazione è;

$T_S = \frac{ln(frazione \, di \, tolleranza)}{rapporto \, di \, smorzamento \times Frequenza \, naturale}$

La risposta al gradino di un sistema del secondo ordine è espressa come;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Questa equazione si divide in due parti;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Per calcolare il tempo di insediamento, abbiamo bisogno solo del componente esponenziale poiché annulla la parte oscillatoria del componente sinusoidale. E la frazione di tolleranza è uguale al componente esponenziale.

$Frazione di tolleranza = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Frazione di tolleranza \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Frazione di tolleranza \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Come calcolare il tempo di assestamento

Per calcolare il tempo di assestamento, consideriamo un sistema del primo ordine con risposta al gradino unitario.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Per la risposta al gradino unitario,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dunque,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ora, calcola il valore per A1 e A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Si assuma s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Si assuma s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Per un errore del 2%, 1-C(t) = 0.02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Questa equazione fornisce il tempo di assestamento per un sistema del primo ordine con ingresso a gradino unitario.

Per un sistema del secondo ordine, dobbiamo considerare la seguente equazione;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

In questa equazione, il termine esponenziale è importante per trovare il valore del tempo di assestamento.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Ora, consideriamo un errore del 2%. Pertanto, 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Il valore del rapporto di smorzamento (ξ) dipende dal tipo di sistema del secondo ordine. Qui, consideriamo un sistema del secondo ordine sottosmorzato. E il valore di ξ si trova tra 0 e 1.

Quindi, il denominatore dell'equazione sopra è quasi uguale a 1. E per facilitare i calcoli, possiamo trascurarlo.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Questa equazione può essere utilizzata solo per una fascia di errore del 2% e un sistema del secondo ordine sottosmorzato.

Analogamente, per una fascia di errore del 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Per un sistema di secondo ordine, prima di calcolare il tempo di assestamento, è necessario calcolare il rapporto di smorzamento.

Tempo di Stabilizzazione del Locus delle Radici

Il tempo di stabilizzazione può essere calcolato con il metodo del locus delle radici. Il tempo di stabilizzazione dipende dal rapporto di smorzamento e dalla frequenza naturale.

Queste quantità possono essere derivate con l'aiuto del metodo del locus delle radici. E possiamo trovare il tempo di stabilizzazione.

Cerchiamo di capire con un esempio.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

E Overshoot = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Dal grafico del luogo delle radici, è possibile trovare i poli dominanti;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Ora, abbiamo il valore di ξ e ωn,

$tempo \, di \, insediamento \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Il grafico delle loci radice è derivato da MATLAB. Per questo utilizzare “sisotool”. Qui, è possibile aggiungere un vincolo per il sovraccarico percentuale pari al 20%. E ottenere facilmente i poli dominanti.

La figura sottostante mostra il grafico delle loci radice da MATLAB.

Esempio di luogo delle radici

Possiamo trovare il tempo di assestamento con l'aiuto di MATLAB. La risposta all'impulso unitario di questo sistema è mostrata nella figura sottostante.

Tempo di assestamento in MATLAB

Come ridurre il tempo di assestamento

Il tempo di assestamento è il tempo necessario per raggiungere l'obiettivo. Per qualsiasi sistema di controllo, il tempo di assestamento deve essere mantenuto al minimo.

Ridurre il tempo di assestamento non è un compito facile. Dobbiamo progettare un controllore per ridurre il tempo di assestamento.

Come sappiamo, esistono tre controllori: proporzionale (P), integrale (I), derivativo (D). Con una combinazione di questi controllori, possiamo soddisfare i requisiti del sistema.

Il guadagno dei controllori (KP, KI, KD) viene scelto in base ai requisiti del sistema.

Aumentare il guadagno proporzionale KP comporta una piccola variazione nel tempo di assestamento. Aumentare il guadagno integrale KI aumenta il tempo di assestamento. E aumentare il guadagno derivativo KD riduce il tempo di assestamento.

Pertanto, il guadagno derivativo aumenta per ridurre il tempo di assestamento. Durante la selezione dei valori del guadagno del regolatore PID, ciò può influire anche su altre quantità come il tempo di salita, l'overshoot e l'errore a stato stazionario.

Come trovare il tempo di assestamento in MATLAB

In MATLAB, il tempo di assestamento può essere trovato utilizzando una funzione a gradino. Comprendiamo con un esempio.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Prima calcoliamo il tempo di assestamento tramite l'equazione. Per farlo, confrontiamo questa funzione di trasferimento con la funzione di trasferimento generale di un sistema del secondo ordine.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Pertanto,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$tempo di stabilizzazione \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Questo valore è un valore approssimativo poiché abbiamo fatto delle ipotesi durante il calcolo dell'equazione del tempo di assestamento. Tuttavia, in MATLAB otteniamo il valore esatto del tempo di assestamento. Quindi, questo valore potrebbe essere leggermente diverso nei due casi.

Ora, per calcolare il tempo di assestamento in MATLAB, utilizziamo la funzione step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Output:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

E si ottiene un grafico della risposta come mostrato nella figura sottostante.

Calcolo del tempo di assestamento in MATLAB

In MATLAB, per impostazione predefinita, la fascia percentuale di errore è del 2%. È possibile modificare questa impostazione nel grafico per una fascia di errore diversa. A tal fine, fare clic con il pulsante destro del mouse sul grafico > proprietà > opzioni > “mostra il tempo di assestamento entro ___ %”.

Editor di proprietà MATLAB

Un altro modo per trovare il tempo di assestamento eseguendo un ciclo. Come sappiamo, per la banda di errore del 2%, consideriamo la risposta tra 0,98 e 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Output:

settling_time = 1.1886

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Argomenti:

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Sistema del secondo ordine	Rapporto di smorzamento (ξ)	Tempo di assestamento (TS)
Sottosmorzato	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Non smorzato	ξ = 0	$T_S = \infty$
Smorzamento critico	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Ipersmorzato	ξ > 1	Dipende dal polo dominante