Час встановлення: що це? (Формула та як знайти його в MATLAB)

Electrical4u

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке час встановлення?

Час встановлення динамічної системи визначається як час, необхідний для того, щоб вихідний сигнал досягнув і стабілізувався в заданому допусковому діапазоні. Він позначається як Ts. Час встановлення включає запізнення поширення та час, необхідний для досягнення області своєї кінцевої величини. Це включає час на відновлення перегрузки, пов'язаної з швидкістю нахилу та стабілізацією близько до допускового діапазону.

Допусковий діапазон - це максимальний дозволений діапазон, в якому може стабілізуватися вихідний сигнал. Зазвичай, допускові діапазони становлять 2% або 5%.

Час встановлення в імпульсній відповіді системи другого порядку показаний на нижньому малюнку.

Час встановлення

Формула часу встановлення

Час встановлення залежить від природної частоти та відгуку системи. Загальне рівняння часу встановлення має вигляд;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Імпульсна відповідь системи другого порядку виражається як;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Цей рівняння поділяється на дві частини;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Для обчислення часу встановлення нам потрібна лише експоненціальна компонента, оскільки вона знищує коливальну частину синусоїдальної компоненти. І дробова частина толерантності дорівнює експоненціальній компоненті.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Як розрахувати час установлювання

Для розрахунку часу установлювання ми розглядаємо систему першого порядку з відгуком на одиничний ступінчатий сигнал.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Для відгуку на одиничний ступінчатий сигнал,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Отже,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Тепер обчисліть значення для A1 та A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Припустимо, що s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Припустимо, що s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Для похибки 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Цей рівняння дає час встановлення для системи першого порядку з одиничним ступінчастим входом.

Для системи другого порядку ми повинні враховувати наступне рівняння;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

У цьому рівнянні експоненціальний член важливий для знаходження значення часу встановлення.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Зараз ми розглядаємо 2% похибку. Тому, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Значення коефіцієнта демпфування (ξ) залежить від типу системи другого порядку. Ось, ми розглядаємо недостатньо демпфовану систему другого порядку. І значення ξ лежить між 0 і 1.

Тому, знаменник вищезазначеного рівняння близький до 1. І для спрощення обчислень, ми можемо його знехтувати.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Цей рівняння можна використовувати лише для поясу помилки 2% та недостатньо загальновагованої системи другого порядку.

Подібно, для поясу помилки 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Для систем другого порядку, перед тим як знайти час встановлення, нам потрібно обчислити коефіцієнт демпфування.

Час встановлення кореневого місця

Час встановлення можна обчислити за допомогою методу кореневого місця. Час встановлення залежить від коефіцієнта демпфування та природної частоти.

Ці величини можна отримати за допомогою методу кореневого місця. І ми можемо знайти час встановлення.

Давайте розберемо це на прикладі.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Перевищення = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

З графіка кореневого місця; ви можете знайти домінуючі полюси;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Тепер, ми маємо значення ξ та ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Діаграма кореневого місця отримана за допомогою MATLAB. Для цього використовуйте "sisotool". Тут ви можете додати обмеження для відсотка перевищення, яке дорівнює 20%. І легко отримати домінуючі полюси.

Нижче показано діаграму кореневого місця з MATLAB.

Приклад кореневого годографа

Ми можемо знайти час встановлення за допомогою MATLAB. Відгук системи на одиничний стрибок показано на рисунку нижче.

Час встановлення в MATLAB

Як зменшити час встановлення

Час встановлення — це час, необхідний для досягнення цільового значення. Для будь-якої системи керування час встановлення має бути мінімальним.

Зменшення часу встановлення — не просте завдання. Необхідно розробити регулятор, щоб зменшити час встановлення.

Як відомо, існує три типи регуляторів: пропорційний (P), інтегральний (I), диференціальний (D). Комбінуючи ці регулятори, ми можемо досягти потрібних характеристик системи.

Коефіцієнти регуляторів (KP, KI, KD) обираються залежно від вимог до системи.

Збільшення пропорційного коефіцієнта KP призводить до незначної зміни часу встановлення. Збільшення інтегрального коефіцієнта KI призводить до зростання часу встановлення. А збільшення диференціального коефіцієнта KD призводить до зменшення часу встановлення.

Тому коефіцієнт похідної збільшується, щоб скоротити час налаштування. Під час вибору значень коефіцієнтів PID-регулятора це може вплинути на інші величини, такі як час наростання, перевищення та статична похибка.

Як знайти час перехідного процесу в MATLAB

У MATLAB час перехідного процесу можна знайти за допомогою функції кроку. Розберемо це на прикладі.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Спочатку ми обчислюємо час перехідного процесу за формулою. Для цього, порівняйте цю передатальну функцію з загальною передатальною функцією системи другого порядку.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Тому,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ця величина є наближеною, оскільки ми зробили певні припущення при розрахунку рівняння часу встановлення. Але у MATLAB ми отримуємо точне значення часу встановлення. Тому ця величина може трохи відрізнятися у обох випадках.

Тепер, щоб розрахувати час встановлення в MATLAB, ми використовуємо функцію step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Результат:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ви отримаєте графік відгуку, як показано на нижньому малюнку.

Розрахунок часу встановлення в MATLAB

За замовчуванням, в MATLAB відсотковий діапазон похибки становить 2%. Ви можете змінити цей параметр на графіку для іншого діапазону похибки. Для цього натисніть правою кнопкою миші на графіку > властивості > опції > «показати час встановлення в межах ___ %».

Редактор властивостей MATLAB

Інший спосіб знаходження часу установлення шляхом запуску циклу. Як відомо, для 2% похибки ми розглядаємо відповідь між 0.98 і 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Результат:

settling_time = 1.1886

Заява: Поважайте оригінал, добрий матеріал вартий поділу, якщо є порушення авторських прав звертайтеся для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China

Рекомендоване

Більше

Які заходи безпеки та рекомендації для використання AC навантажувачів?

AC-навантаження — це електричні пристрої, які використовуються для імітації реальних навантажень та широко застосовуються в енергетичних системах, системах зв'язку, системах автоматизованого керування та інших галузях. Для забезпечення безпеки людей та обладнання під час використання необхідно дотримуватися наступних правил безпеки та рекомендацій:Виберіть відповідне AC-навантаження: Оберіть AC-навантаження, яке відповідає реальним потребам, переконавшись, що його потужність, напруга та інші пар

Echo

11/06/2025

Що слід звернути увагу під час встановлення термопари типу K?

Увага до встановлення термопар типу K є критично важливою для забезпечення точності вимірювань та продовження строку служби. Нижче наведено вказівки щодо встановлення термопар типу K, складені на основі даних надзвичайно авторитетних джерел:1. Вибір та перевірка Виберіть правильний тип термопари: оберіть потрібну термопару залежно від температурного діапазону, властивостей середовища та необхідної точності вимірювання. Термопари типу K прийнятні для температур від -200°C до 1372°C і можуть бути

James

11/06/2025

Причини та запобіжні заходи пожежі та вибуху в маслоналивних вимикачах

Причини відкриття пожежі та вибуху в масляних вимикачах Коли рівень масла в масляному вимикачу занадто низький, шар масла, що покриває контакти, стає надто тонким. Під впливом електричної дуги масло розкладається і виділяє горючі гази. Ці гази накопичуються у просторі під верхньою кришкою, змішуються з повітрям, утворюючи вибухову суміш, яка може загорітися або вибухнути при високій температурі. Якщо рівень масла всередині бака занадто високий, виділені гази мають обмежене місце для розширення,

Felix Spark

11/06/2025

Помилки вимірювання THD для електроенергетичних систем

Толерантність до Помилок Сумарної Гармонічної Деструкції (THD): Комплексний Аналіз на Основі Сценаріїв Застосування, Точності Обладнання та Промислових СтандартівДопустимий діапазон помилок для сумарної гармонічної деструкції (THD) повинен оцінюватися на основі конкретних контекстів застосування, точності вимірювального обладнання та прив'язаних до цього промислових стандартів. Нижче наведено детальний аналіз ключових показників продуктивності в енергетичних системах, промисловому обладнанні та

Edwiin

11/03/2025

Система другого порядку	Коефіцієнт загасання (ξ)	Час налаштування (TS)
Недостатньо загасена	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Незагасена	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично загасена	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Перегасена	ξ > 1	Залежить від домінуючого полюсу