Час встановлення: що це? (Формула та як знайти його в MATLAB)

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке час встановлення?

Час встановлення динамічної системи визначається як час, необхідний для того, щоб вихідний сигнал досягнув і стабілізувався в заданому допусковому діапазоні. Він позначається як Ts. Час встановлення включає запізнення поширення та час, необхідний для досягнення області своєї кінцевої величини. Це включає час на відновлення перегрузки, пов'язаної з швидкістю нахилу та стабілізацією близько до допускового діапазону.

Допусковий діапазон - це максимальний дозволений діапазон, в якому може стабілізуватися вихідний сигнал. Зазвичай, допускові діапазони становлять 2% або 5%.

Час встановлення в імпульсній відповіді системи другого порядку показаний на нижньому малюнку.

Час встановлення

Формула часу встановлення

Час встановлення залежить від природної частоти та відгуку системи. Загальне рівняння часу встановлення має вигляд;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Імпульсна відповідь системи другого порядку виражається як;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Цей рівняння поділяється на дві частини;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Для обчислення часу встановлення нам потрібна лише експоненціальна компонента, оскільки вона знищує коливальну частину синусоїдальної компоненти. І дробова частина толерантності дорівнює експоненціальній компоненті.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Як розрахувати час установлювання

Для розрахунку часу установлювання ми розглядаємо систему першого порядку з відгуком на одиничний ступінчатий сигнал.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Для відгуку на одиничний ступінчатий сигнал,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Отже,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Тепер обчисліть значення для A1 та A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Припустимо, що s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Припустимо, що s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Для похибки 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Цей рівняння дає час встановлення для системи першого порядку з одиничним ступінчастим входом.

Для системи другого порядку ми повинні враховувати наступне рівняння;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

У цьому рівнянні експоненціальний член важливий для знаходження значення часу встановлення.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Зараз ми розглядаємо 2% похибку. Тому, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Значення коефіцієнта демпфування (ξ) залежить від типу системи другого порядку. Ось, ми розглядаємо недостатньо демпфовану систему другого порядку. І значення ξ лежить між 0 і 1.

Тому, знаменник вищезазначеного рівняння близький до 1. І для спрощення обчислень, ми можемо його знехтувати.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Цей рівняння можна використовувати лише для поясу помилки 2% та недостатньо загальновагованої системи другого порядку.

Подібно, для поясу помилки 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Для систем другого порядку, перед тим як знайти час встановлення, нам потрібно обчислити коефіцієнт демпфування.

Час встановлення кореневого місця

Час встановлення можна обчислити за допомогою методу кореневого місця. Час встановлення залежить від коефіцієнта демпфування та природної частоти.

Ці величини можна отримати за допомогою методу кореневого місця. І ми можемо знайти час встановлення.

Давайте розберемо це на прикладі.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

Перевищення = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

З графіка кореневого місця; ви можете знайти домінуючі полюси;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Тепер, ми маємо значення ξ та ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Діаграма кореневого місця отримана за допомогою MATLAB. Для цього використовуйте "sisotool". Тут ви можете додати обмеження для відсотка перевищення, яке дорівнює 20%. І легко отримати домінуючі полюси.

Нижче показано діаграму кореневого місця з MATLAB.

Приклад кореневого годографа

Ми можемо знайти час встановлення за допомогою MATLAB. Відгук системи на одиничний стрибок показано на рисунку нижче.

Час встановлення в MATLAB

Як зменшити час встановлення

Час встановлення — це час, необхідний для досягнення цільового значення. Для будь-якої системи керування час встановлення має бути мінімальним.

Зменшення часу встановлення — не просте завдання. Необхідно розробити регулятор, щоб зменшити час встановлення.

Як відомо, існує три типи регуляторів: пропорційний (P), інтегральний (I), диференціальний (D). Комбінуючи ці регулятори, ми можемо досягти потрібних характеристик системи.

Коефіцієнти регуляторів (KP, KI, KD) обираються залежно від вимог до системи.

Збільшення пропорційного коефіцієнта KP призводить до незначної зміни часу встановлення. Збільшення інтегрального коефіцієнта KI призводить до зростання часу встановлення. А збільшення диференціального коефіцієнта KD призводить до зменшення часу встановлення.

Тому коефіцієнт похідної збільшується, щоб скоротити час налаштування. Під час вибору значень коефіцієнтів PID-регулятора це може вплинути на інші величини, такі як час наростання, перевищення та статична похибка.

Як знайти час перехідного процесу в MATLAB

У MATLAB час перехідного процесу можна знайти за допомогою функції кроку. Розберемо це на прикладі.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Спочатку ми обчислюємо час перехідного процесу за формулою. Для цього, порівняйте цю передатальну функцію з загальною передатальною функцією системи другого порядку.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Тому,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ця величина є наближеною, оскільки ми зробили певні припущення при розрахунку рівняння часу встановлення. Але у MATLAB ми отримуємо точне значення часу встановлення. Тому ця величина може трохи відрізнятися у обох випадках.

Тепер, щоб розрахувати час встановлення в MATLAB, ми використовуємо функцію step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Результат:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

Ви отримаєте графік відгуку, як показано на нижньому малюнку.

Розрахунок часу встановлення в MATLAB

За замовчуванням, в MATLAB відсотковий діапазон похибки становить 2%. Ви можете змінити цей параметр на графіку для іншого діапазону похибки. Для цього натисніть правою кнопкою миші на графіку > властивості > опції > «показати час встановлення в межах ___ %».

Редактор властивостей MATLAB

Інший спосіб знаходження часу установлення шляхом запуску циклу. Як відомо, для 2% похибки ми розглядаємо відповідь між 0.98 і 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
settling_time = (S-1)*0.005

Результат:

settling_time = 1.1886

Заява: Поважайте оригінал, добрий матеріал вартий поділу, якщо є порушення авторських прав звертайтеся для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China

Рекомендоване

Більше

Помилки та способи їх усунення при однофазному заземленні на лініях електропередач 10 кВ

Характеристики та пристрої виявлення однофазних замикань на землю1. Характеристики однофазних замикань на землюЦентральні аварійні сигнали:Спрацьовує попереджувальний дзвінок, і загоряється індикаторна лампочка з написом «Замикання на землю на шинному відсіку [X] кВ, секція [Y]». У системах із заземленням нейтралі через котушку Петерсена (котушку гашення дуги) також загоряється індикатор «Котушка Петерсена увімкнена».Показання вольтметра контролю ізоляції:Напруга пошкодженої фази знижується (у р

Rockwill

01/30/2026

Нейтральний точка заземлення режим роботи для трансформаторів електромережі 110кВ～220кВ

Розташування режимів заземлення нейтральних точок трансформаторів електромережі 110кВ-220кВ повинно відповідати вимогам стійкості ізоляції нейтральних точок трансформаторів, а також зберігати нульовий послідовний імпеданс підстанцій практично незмінним, забезпечуючи, що сумарний нульовий імпеданс у будь-якій точці короткого замикання системи не перевищує тричі величину сумарного додатного послідовного імпедансу.Для новобудованих та технічно оновлених трансформаторів 220кВ та 110кВ, їхні режими з

Vziman

01/29/2026

Чому підстанції використовують камінь гравій галузdrok та дрібний щебінь

Чому на підстанціях використовують каміння, гравій, гальку та дроблену породу?На підстанціях таке обладнання, як силові та розподільні трансформатори, лінії електропередачі, трансформатори напруги, трансформатори струму та роз’єднувачі, потребує заземлення. Крім заземлення, тепер ми детально розглянемо, чому гравій та дроблена порода широко використовуються на підстанціях. Хоча вони виглядають звичайними, ці камені відіграють критичну роль у забезпеченні безпеки та функціональності.У проектуванн

Echo

01/29/2026

HECI GCB для генераторів – швидкий SF₆ вимикач

1.Визначення та функції1.1 Роль вимикача генератораВимикач генератора (GCB) — це контролюваний точка відключення, розташована між генератором і підвищувальним трансформатором, який служить інтерфейсом між генератором і електромережею. Його основні функції включають ізоляцію аварійних ситуацій на стороні генератора та забезпечення операційного контролю під час синхронізації генератора та з'єднання з мережею. Принцип роботи GCB не значно відрізняється від стандартного вимикача; однак через високу

Garca

01/06/2026

Система другого порядку	Коефіцієнт загасання (ξ)	Час налаштування (TS)
Недостатньо загасена	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Незагасена	ξ = 0	$T_S = \infty$
Критично загасена	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Перегасена	ξ > 1	Залежить від домінуючого полюсу