Doba ustálení: Co to je? (Vzorec a jak ji najít v MATLABu)

Electrical4u

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je čas ustálení?

Čas ustálení dynamického systému je definován jako doba potřebná k tomu, aby výstup dosáhl a ustálil se uvnitř dané tolerance. Označuje se jako Ts. Čas ustálení zahrnuje propagační zpoždění a dobu potřebnou k dosažení oblasti své konečné hodnoty. Zahrnuje také dobu potřebnou k odstranění přetížení spojené s rychlostí změny a ustálením blízko tolerance.

Tolerance je maximální povolený rozsah, ve kterém se může výstup ustát. Obvykle jsou toleranční pásmo 2% nebo 5%.

Čas ustálení v krokové odezvě druhohodného systému je znázorněn na následujícím obrázku.

Čas ustálení

Vzorec pro čas ustálení

Čas ustálení závisí na přirozené frekvenci a odezvě systému. Obecná rovnice pro čas ustálení je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jednotková kroková odezva druhohodného systému je vyjádřena jako;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Tato rovnice se dělí na dvě části;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Pro výpočet doby ustálení potřebujeme pouze exponenciální komponentu, protože zruší oscilatorní část sinusové komponenty. A toleranční zlomek je roven exponenciální komponentě.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Jak vypočítat dobu vyrovnávání

Pro výpočet doby vyrovnávání zvažujeme soustavu prvního řádu s odezvou na jednotkový skok.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Pro odezvu na jednotkový skok,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tedy,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyní spočítejte hodnoty pro A1 a A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Předpokládejme, že s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Předpokládejme, že s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Pro 2% chybu, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Tato rovnice dává dobu ustálení pro systém prvního řádu s jednotkovým skokovým vstupem.

Pro systém druhého řádu musíme zohlednit následující rovnici;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

V této rovnici je exponenciální člen důležitý pro určení doby ustálení.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nyní zvažujeme 2% chybu. Tedy 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Hodnota tlumení (ξ) závisí na typu systému druhého řádu. Zde zvažujeme podtlumený systém druhého řádu. A hodnota ξ leží mezi 0 a 1.

Takže jmenovatel výše uvedené rovnice je téměř roven 1. A pro snadnější výpočet jej můžeme zanedbat.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Tato rovnice může být použita pouze pro 2% toleranční pásmo a podtlačený systém druhého řádu.

Podobně pro 5% toleranční pásmo; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pro systém druhého řádu je třeba před výpočtem doby ustálení zjistit poměr tlumení.

Čas ustálení kořenového místa

Čas ustálení lze vypočítat pomocí metody kořenového místa. Čas ustálení závisí na poměru tlumení a přirozené frekvenci.

Tyto hodnoty lze odvodit s pomocí metody kořenového místa. A můžeme najít čas ustálení.

Pojďme to porozumět na příkladu.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A přetlak = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Z grafu kořenového lokusu můžete najít dominantní póly;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nyní máme hodnoty ξ a ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Graf lokusů kořenů je odvozen z MATLABu. Pro to použijte „sisotool“. Zde můžete přidat omezení pro procento překročení rovné 20 %. A snadno získat dominantní póly.

Níže uvedený obrázek ukazuje graf lokusů kořenů z MATLABu.

Příklad kořenového místa

Dobovou konstantu můžeme najít pomocí MATLABu. Jednotková kroková odezva tohoto systému je znázorněna na následujícím obrázku.

Dobová konstanta v MATLABu

Jak snížit dobovou konstantu

Dobová konstanta je čas potřebný k dosažení cíle. Pro jakýkoli řídicí systém musí být dobová konstanta udržována co nejmenší.

Snížení dobové konstanty není snadnou úlohou. Potřebujeme navrhnout regulátor pro snížení dobové konstanty.

Jak víme, existuje tři regulátory; proporcionální (P), integrační (I), derivací (D). S kombinací těchto regulátorů můžeme splnit požadavky našeho systému.

Zisk regulátorů (KP, KI, KD) je zvolen podle požadavků systému.

Zvýšení proporcionálního zisku KP má za následek malou změnu v dobové konstantě. Zvýšení integračního zisku KI zvyšuje dobovou konstantu. A zvýšení derivacího zisku KD snižuje dobovou konstantu.

Proto se zvýší zisk derivace, aby se snížil čas nastavení. Při výběru hodnot zisku PID regulátoru může to ovlivnit i jiné veličiny, jako jsou čas vzestupu, přechodové přetlačení a stacionární chybu.

Jak najít čas uvolnění v MATLABu

V MATLABu lze čas uvolnění najít pomocí funkce step. Ukážeme si to na příkladu.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Nejprve spočítáme čas uvolnění pomocí rovnice. Pro to porovnejte tuto přenosovou funkci s obecnou přenosovou funkcí druhého řádu.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Tedy,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Tato hodnota je přibližná, protože jsme při výpočtu rovnice času dosažení ustáleného stavu učinili některé předpoklady. V MATLABu získáváme přesnou hodnotu času dosažení ustáleného stavu. Proto může být tato hodnota v obou případech mírně odlišná.

Nyní pro výpočet času dosažení ustáleného stavu v MATLABu použijeme funkci step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Výstup:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

A získáte graf odpovědi, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Výpočet času dosažení ustáleného stavu v MATLABu

Ve výchozím nastavení MATLABu je procento chyby 2 %. Toto můžete změnit v grafu pro různé pásma chyb. Pro to klikněte pravým tlačítkem myši na graf > vlastnosti > možnosti > „zobrazit čas dosažení ustáleného stavu v rámci ___ %“.

Editor vlastností MATLAB

Další způsob, jak najít doba ustálení je spuštěním smyčky. Jak víme, pro pás chyb 2 % bereme v úvahu odpověď mezi 0,98 a 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
doba_ustaleni = (S-1)*0.005

Výstup:

doba_ustaleni = 1.1886

Prohlášení: Respektujte původ, dobrej články stojí za sdílení, pokud je porušeno autorské právo, kontaktujte nás pro odstranění.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Energetické systémy

Řídicí systémy

O odbornících

Electrical4u

China

Doporučeno

Více

Jaké jsou bezpečnostní opatření a pokyny pro používání střídavých zátěžových baterií?

Stroje pro zátěž střídavým proudem jsou elektrické zařízení používaná k simulaci skutečných zátěží a jsou široce používána v elektrických systémech, komunikačních systémech, systémech automatického řízení a dalších oblastech. Aby byla během použití zajištěna bezpečnost osob a vybavení, musí být dodržena následující bezpečnostní opatření a pokyny:Vyberte vhodný stroj pro zátěž střídavým proudem: Zvolte stroj pro zátěž střídavým proudem, který splňuje skutečné požadavky, a ujistěte se, že jeho kap

Echo

11/06/2025

Co je třeba pozorovat při instalaci teplovodivé dvojice typu K?

Pozornost při instalaci teplovodivých dvojic typu K je klíčová pro zajištění přesnosti měření a prodloužení životnosti. Níže naleznete pokyny pro instalaci teplovodivých dvojic typu K, shromážděné z velmi autoritativních zdrojů:1. Výběr a kontrola Vyberte vhodný typ teplovodivé dvojice: Zvolte správnou teplovodivou dvojici na základě rozsahu teplot, vlastností média a požadované přesnosti měření. Teplovodivé dvojice typu K jsou vhodné pro teploty od -200°C do 1372°C a lze je použít ve různých pr

James

11/06/2025

Příčiny a prevence požárů a výbuchů v olejových vypínačích

Příčiny požárů a výbuchů v olejových spínačích Když hladina oleje v olejovém spínači je příliš nízká, vrstva oleje pokrývající kontakty se stane příliš tenká. Pod vlivem elektrického oblouku se olej rozkládá a uvolňuje hořlavé plyny. Tyto plyny se akumulují ve prostoru pod horní krytkou, míchají se s vzduchem a tvoří hořlavou směs, která může zapálit nebo explodovat za vysoké teploty. Pokud je hladina oleje uvnitř nádrže příliš vysoká, má uvolněné plynové omezený prostor pro expanzi, což vede k

Felix Spark

11/06/2025

Chybové standardy měření THD pro elektrické systémy

Tolerancia chyb celkové harmonické deformace (THD): Komplexní analýza založená na scénářích použití, přesnosti zařízení a průmyslových normáchPřijatelný rozsah chyb pro celkovou harmonickou deformaci (THD) musí být vyhodnocen na základě specifických kontextů použití, přesnosti měřicího zařízení a platných průmyslových norem. Níže je detailní analýza klíčových ukazatelů výkonnosti v elektrických systémech, průmyslovém zařízení a obecných měřicích aplikacích.1. Normy chyb harmonik v elektrických s

Edwiin

11/03/2025

Druhá řádová soustava	Koeficient tlumení (ξ)	Nastavní čas (TS)
Podtlumený	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Netlumený	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kriticky tlumený	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Přetlumený	ξ > 1	Závisí na dominantním pólu