Doba ustálení: Co to je? (Vzorec a jak ji najít v MATLABu)

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je čas ustálení?

Čas ustálení dynamického systému je definován jako doba potřebná k tomu, aby výstup dosáhl a ustálil se uvnitř dané tolerance. Označuje se jako Ts. Čas ustálení zahrnuje propagační zpoždění a dobu potřebnou k dosažení oblasti své konečné hodnoty. Zahrnuje také dobu potřebnou k odstranění přetížení spojené s rychlostí změny a ustálením blízko tolerance.

Tolerance je maximální povolený rozsah, ve kterém se může výstup ustát. Obvykle jsou toleranční pásmo 2% nebo 5%.

Čas ustálení v krokové odezvě druhohodného systému je znázorněn na následujícím obrázku.

Čas ustálení

Vzorec pro čas ustálení

Čas ustálení závisí na přirozené frekvenci a odezvě systému. Obecná rovnice pro čas ustálení je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jednotková kroková odezva druhohodného systému je vyjádřena jako;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Tato rovnice se dělí na dvě části;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Pro výpočet doby ustálení potřebujeme pouze exponenciální komponentu, protože zruší oscilatorní část sinusové komponenty. A toleranční zlomek je roven exponenciální komponentě.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Jak vypočítat dobu vyrovnávání

Pro výpočet doby vyrovnávání zvažujeme soustavu prvního řádu s odezvou na jednotkový skok.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Pro odezvu na jednotkový skok,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tedy,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nyní spočítejte hodnoty pro A1 a A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Předpokládejme, že s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Předpokládejme, že s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Pro 2% chybu, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Tato rovnice dává dobu ustálení pro systém prvního řádu s jednotkovým skokovým vstupem.

Pro systém druhého řádu musíme zohlednit následující rovnici;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

V této rovnici je exponenciální člen důležitý pro určení doby ustálení.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Nyní zvažujeme 2% chybu. Tedy 1 – C(t) = 0,02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Hodnota tlumení (ξ) závisí na typu systému druhého řádu. Zde zvažujeme podtlumený systém druhého řádu. A hodnota ξ leží mezi 0 a 1.

Takže jmenovatel výše uvedené rovnice je téměř roven 1. A pro snadnější výpočet jej můžeme zanedbat.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Tato rovnice může být použita pouze pro 2% toleranční pásmo a podtlačený systém druhého řádu.

Podobně pro 5% toleranční pásmo; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pro systém druhého řádu je třeba před výpočtem doby ustálení zjistit poměr tlumení.

Čas ustálení kořenového místa

Čas ustálení lze vypočítat pomocí metody kořenového místa. Čas ustálení závisí na poměru tlumení a přirozené frekvenci.

Tyto hodnoty lze odvodit s pomocí metody kořenového místa. A můžeme najít čas ustálení.

Pojďme to porozumět na příkladu.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A přetlak = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Z grafu kořenového lokusu můžete najít dominantní póly;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Nyní máme hodnoty ξ a ωn,

$settling \, time \, t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sec$

Graf lokusů kořenů je odvozen z MATLABu. Pro to použijte „sisotool“. Zde můžete přidat omezení pro procento překročení rovné 20 %. A snadno získat dominantní póly.

Níže uvedený obrázek ukazuje graf lokusů kořenů z MATLABu.

Příklad kořenového místa

Dobovou konstantu můžeme najít pomocí MATLABu. Jednotková kroková odezva tohoto systému je znázorněna na následujícím obrázku.

Dobová konstanta v MATLABu

Jak snížit dobovou konstantu

Dobová konstanta je čas potřebný k dosažení cíle. Pro jakýkoli řídicí systém musí být dobová konstanta udržována co nejmenší.

Snížení dobové konstanty není snadnou úlohou. Potřebujeme navrhnout regulátor pro snížení dobové konstanty.

Jak víme, existuje tři regulátory; proporcionální (P), integrační (I), derivací (D). S kombinací těchto regulátorů můžeme splnit požadavky našeho systému.

Zisk regulátorů (KP, KI, KD) je zvolen podle požadavků systému.

Zvýšení proporcionálního zisku KP má za následek malou změnu v dobové konstantě. Zvýšení integračního zisku KI zvyšuje dobovou konstantu. A zvýšení derivacího zisku KD snižuje dobovou konstantu.

Proto se zvýší zisk derivace, aby se snížil čas nastavení. Při výběru hodnot zisku PID regulátoru může to ovlivnit i jiné veličiny, jako jsou čas vzestupu, přechodové přetlačení a stacionární chybu.

Jak najít čas uvolnění v MATLABu

V MATLABu lze čas uvolnění najít pomocí funkce step. Ukážeme si to na příkladu.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Nejprve spočítáme čas uvolnění pomocí rovnice. Pro to porovnejte tuto přenosovou funkci s obecnou přenosovou funkcí druhého řádu.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Tedy,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Tato hodnota je přibližná, protože jsme při výpočtu rovnice času dosažení ustáleného stavu učinili některé předpoklady. V MATLABu získáváme přesnou hodnotu času dosažení ustáleného stavu. Proto může být tato hodnota v obou případech mírně odlišná.

Nyní pro výpočet času dosažení ustáleného stavu v MATLABu použijeme funkci step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Výstup:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

A získáte graf odpovědi, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Výpočet času dosažení ustáleného stavu v MATLABu

Ve výchozím nastavení MATLABu je procento chyby 2 %. Toto můžete změnit v grafu pro různé pásma chyb. Pro to klikněte pravým tlačítkem myši na graf > vlastnosti > možnosti > „zobrazit čas dosažení ustáleného stavu v rámci ___ %“.

Editor vlastností MATLAB

Další způsob, jak najít doba ustálení je spuštěním smyčky. Jak víme, pro pás chyb 2 % bereme v úvahu odpověď mezi 0,98 a 1,02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
doba_ustaleni = (S-1)*0.005

Výstup:

doba_ustaleni = 1.1886

Prohlášení: Respektujte původ, dobrej články stojí za sdílení, pokud je porušeno autorské právo, kontaktujte nás pro odstranění.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Energetické systémy

Řídicí systémy

O odbornících

Electrical4u

China

Doporučeno

Více

Příčiny a řešení jednofázového zemění v distribučních článcích 10kV

Charakteristika a detekční zařízení pro jednofázové zemní vady1. Charakteristika jednofázových zemních vadCentrální alarmové signály:Zazní poplach a rozsvítí se kontrolka označená “Zemní vada na [X] kV sběrnici [Y]”. V systémech s Petersenovou cívkou (odtlačnou cívkou) zapojenou na neutrální bod, rozsvítí se také kontrolka “Petersenova cívka v provozu”.Ukazatele izolačního měřiče napětí:Napětí poškozené fáze klesne (při neúplné zemnici) nebo padne na nulu (při pevné zemni

Rockwill

01/30/2026

Režim zapojení neutrálního bodu transformátorů elektrické sítě 110kV～220kV

Uspořádání režimů zemnění středního vedení transformátorů pro síť 110kV～220kV musí splňovat požadavky na výdrž izolace středních vedení transformátorů a také se snažit udržet nulovou impedanci podstanic téměř nezměněnou, zatímco se zajistí, aby nulová komplexní impedancia v libovolném místě krátkého spojení v systému nepřekročila třikrát větší hodnotu než pozitivní komplexní impedancia.Pro transformátory 220kV a 110kV v novostavbách a technických úpravách musí jejich režimy zemnění středního ved

Vziman

01/29/2026

Proč podstanice používají kameny štěrkové kameny a drobený kámen

Proč používají rozvodny kameny, štěrk, oblázky a drti?V rozvodnách vyžadují uzemnění zařízení, jako jsou silové a distribuční transformátory, vedení, napěťové transformátory, proudové transformátory a odpojovače. Kromě uzemnění nyní podrobně prozkoumáme, proč se v rozvodnách běžně používá štěrk a drcený kámen. Ačkoli vypadají obyčejně, tyto kameny plní zásadní bezpečnostní a funkční roli.Při návrhu uzemnění rozvodny – zejména při použití více metod uzemnění – se štěrk nebo drcený kámen rozkládá

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – Rychlá obvodová přerušovačka SF₆

1. Definice a funkce1.1 Role vypínače generátoruVypínač generátoru (GCB) je řiditelný odpojovací bod mezi generátorem a stupňovacím transformátorem, který slouží jako rozhraní mezi generátorem a elektrickou sítí. Jeho hlavní funkce zahrnují izolaci poruch na straně generátoru a umožnění operačního řízení během synchronizace generátoru a připojení k síti. Princip fungování GCB se neliší zásadně od principu standardního vypínače; avšak vzhledem k vysokému stejnosměrnému složku v proudě poruchy gen

Garca

01/06/2026

Druhá řádová soustava	Koeficient tlumení (ξ)	Nastavní čas (TS)
Podtlumený	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Netlumený	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kriticky tlumený	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Přetlumený	ξ > 1	Závisí na dominantním pólu