Vrijeme usporedbe: Što je to? (Formula i kako ga pronaći u MATLAB-u)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što je vremenski interval stabilizacije?

Vremenski interval stabilizacije dinamičkog sustava definira se kao vrijeme potrebno izlazu da dosegnut i stabiliziraju se unutar zadane tolerancijske zonu. Oznaka za to je Ts. Vremenski interval stabilizacije uključuje propagačni odaziv i vrijeme potrebno da se dostigne regija konačne vrijednosti. Uključuje vrijeme potrebno da se oporaviti od stanja preopterećenja uključujući brzinu promjene i stabilizaciju blizu tolerancijske zone.

Tolerancijska zona je maksimalni dopušteni raspon u kojem se izlaz može stabilizirati. Obično su tolerancijske zone 2% ili 5%.

Vremenski interval stabilizacije u korak-odgovoru drugeg reda sustava prikazan je na sljedećoj slici.

Vremenski interval stabilizacije

Formula vremenskog intervala stabilizacije

Vremenski interval stabilizacije ovisi o prirodnom frekvenciji i odgovoru sustava. Opća formula vremenskog intervala stabilizacije je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jedinica korak-odgovora sustava drugog reda izražena je kao;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ova jednadžba dijeli se na dvije dijelove;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Za izračun vremena usmirenja potreban je samo eksponencijalni dio jer otklanja oscilatorni dio sinusnog komponenta. Tolerancijski omjer jednak je eksponencijalnom dijelu.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kako izračunati vrijeme usmirevanja

Za izračun vrijeme usmirevanja razmatramo sustav prvog reda s odgovorom na jedinični korak.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Za odgovor na jedinični korak,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stoga,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada izračunajte vrijednost za A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Pretpostavimo s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pretpostavimo s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Za pogrešku od 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ova jednadžba daje vrijeme uspajanja za sustav prvog reda s jediničnim korakom ulaza.

Za sustav drugog reda, moramo uzeti u obzir sljedeću jednadžbu;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

U ovoj jednadžbi, eksponencijalni izraz je važan za određivanje vrijednosti vremena uspajanja.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Sada razmatramo grešku od 2%. Stoga, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vrijednost omjera prigušenja (ξ) ovisi o vrsti sustava drugog reda. Ovdje razmatramo podprigušeni sustav drugog reda. Vrijednost ξ leži između 0 i 1.

Stoga, nazivnik gornje jednadžbe je približno jednak 1. Za lakše računanje, možemo ga zanemariti.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ova jednadžba može se koristiti samo za pogrešku od 2% i podistovareni sustav drugog reda.

Slično, za pogrešku od 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pri sustavu drugog reda, prije određivanja vremena usidrenja, potrebno je izračunati omjer prigušenja.

Vrijeme usmirenja u metodi polovišta

Vrijeme usmirenja može se izračunati pomoću metode polovišta. Vrijeme usmirenja ovisi o omjeru prigušenja i prirodnoj frekvenciji.

Te veličine mogu se izvesti s pomoću metode polovišta. I možemo naći vrijeme usmirenja.

Razumijemo to na primjeru.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A pretresak = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Iz dijagrama korenske lokusne metode možete pronaći dominantne polove;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sada imamo vrijednosti za ξ i ωn,

$vrijeme stabilizacije t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sek$

Dijagram korijena izveden je iz MATLAB-a. Za to se koristi “sisotool”. Ovdje možete dodati ograničenje za postotak pretjerivanja od 20%. I lako dobivaju dominantne polove.

Sljedeća slika prikazuje dijagram korijena iz MATLAB-a.

Primjer mješovitog položaja

Vrijeme postizanja možemo pronaći pomoću MATLABa. Jedinični odziv ovog sustava prikazan je na sljedećoj slici.

Vrijeme postizanja u MATLABu

Kako smanjiti vrijeme postizanja

Vrijeme postizanja je vrijeme potrebno za postizanje cilja. Za bilo koji kontrolni sustav, vrijeme postizanja mora biti minimalno.

Smanjenje vremena postizanja nije laka zadaća. Moramo dizajnirati regulator za smanjenje vremena postizanja.

Kao što znamo, postoje tri regulatora; proporcionalni (P), integralni (I), derivativni (D). S kombinacijom ovih regulatora, možemo postići zahtjeve sustava.

Dobit regulatora (KP, KI, KD) odabire se prema zahtjevima sustava.

Povećanje proporcionalne dobite KP, rezultira malom promjenom vremena postizanja. Povećanje integralne dobite KI, povećava vrijeme postizanja. I povećanje derivativne dobite KD, smanjuje vrijeme postizanja.

Stoga, dobit derivacije povećava kako bi se smanjilo vrijeme postavljanja. Pri odabiru vrijednosti dobiti PID kontrolera, to može utjecati i na druge veličine poput vrijeme uspona, pretjerivanja i statičke greške.

Kako pronaći vrijeme postavljanja u MATLAB-u

U MATLAB-u, vrijeme postavljanja može se pronaći koristeći funkciju stupnja. Shvatimo to kroz primjer.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Prvo, izračunajmo vrijeme postavljanja koristeći jednadžbu. Za to, uporedite ovu prenosnu funkciju s općom prenosnom funkcijom sustava drugog reda.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Stoga,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ova vrijednost je približna vrijednost jer smo uključili neke pretpostavke prilikom izračuna jednadžbe vremena usporedbe. Međutim, u MATLAB-u dobivamo točnu vrijednost vremena usporedbe. Stoga se ova vrijednost može malo razlikovati u oba slučaja.

Sada, kako bismo izračunali vrijeme usporedbe u MATLAB-u, koristimo funkciju step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Izlaz:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

I dobivate graf odziva kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Vrijeme usporedbe u MATLAB-u

U MATLAB-u, zadan postotak pogreške je 2%. Možete promijeniti ovaj postotak na grafu za različite opsege pogreške. Za to desni klik na graf > svojstva > opcije > "prikaži vrijeme usporedbe unutar ___ %".

Uređivač svojstava MATLAB

Još jedan način pronalaska vremena uspokojevanja putem izvršavanja petlje. Kao što znamo, za grešku od 2%, uzimamo u obzir odgovor između 0.98 i 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
vrijeme_uspokojevanja = (S-1)*0.005

Izlaz:

vrijeme_uspokojevanja = 1.1886

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijedi podijeliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo kontaktirajte za brisanje.

Daj nagradu i ohrabri autora

Teme:

Energetske sustave

Kontrolni sustavi

O stručnjacima

Electrical4u

China

Preporučeno

Više

Kvarovi i otklanjanje kvarova u jednofaznom zemljanju na distribucijskim crtamа od 10kV

Karakteristike i uređaji za otkrivanje jednofaznih zemljnih kvarova1. Karakteristike jednofaznih zemljnih kvarovaCentralni signalni alarmi:Zvoni upozornjenja i upaljuje se indikatorska lampica s natpisom „Zemljni kvar na [X] kV sabirnici odjeljka [Y]“. U sustavima s uzemljenjem neutralne točke pomoću Petersenove zavojnice (zavojnice za gašenje luka), također se upaljuje indikator „Petersenova zavojnica u radu“.Indikacije voltmetra za nadzor izolacije:Napon kvarne faze smanjuje se (u slučaju nepo

Rockwill

01/30/2026

Neutralni način rada zemljanja središnje točke transformatora za mreže od 110kV～220kV

Raspored operativnih načina zemljanja neutralne točke transformatora za mrežu od 110kV do 220kV treba zadovoljiti zahtjeve održivosti izolacije neutralne točke transformatora, te se treba pokušati održati nultu rednu impedanciju pretvorbe gotovo nepromijenjenu, osiguravajući da ukupna nulta redna impedancija u bilo kojoj točki prekida u sustavu ne prelazi tri puta ukupnu pozitivnu rednu impedanciju.Za transformatore od 220kV i 110kV u novim građevinama i projektima tehničke rekonstrukcije, njiho

Vziman

01/29/2026

Zašto se u pretvorima koriste kamenje šljunak kamenčići i drobljen stijena

Zašto se u pretvorima koriste kamenje, šljunk, kamenčići i drobljeni kamen?U pretvorima, oprema poput transformatora snage i distribucije, prijenosnih linija, transformatora napona, transformatora struje i prekidača za odjednom sve zahtijevaju zemljanje. Osim zemljanja, sada ćemo detaljnije istražiti zašto se u pretvorima često koristi šljunk i drobljeni kamen. Iako oni izgledaju obično, ovi kameni igraju ključnu ulogu u pitanju sigurnosti i funkcionalnosti.U dizajnu zemljanja u pretvorima - pos

Echo

01/29/2026

HECI GCB za generatori – Brzi prekidač s šestfluoridom ugljičnim (SF₆)

1. Definicija i funkcija1.1 Uloga prekidača generatoraPrekidač generatora (GCB) je kontrolirana točka odjedinstvenja između generatora i transformatora za povećanje napona, koja služi kao sučelje između generatora i električne mreže. Njegova glavna funkcija uključuje izolaciju grešaka na strani generatora i omogućavanje operativnog kontrole tijekom sinkronizacije generatora i povezivanja s mrežom. Način rada GCB-a nije značajno različit od standardnog prekidača; međutim, zbog visokog DC komponen

Garca

01/06/2026

Sustav drugog reda	Otpornostni omjer (ξ)	Vrijeme postizanja (TS)
Pododgovarajuće prigušenje	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Neprihvaćeno prigušenje	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritično prigušenje	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Preprigušenje	ξ > 1	Ovisi o dominantnom polu