Vrijeme usporedbe: Što je to? (Formula i kako ga pronaći u MATLAB-u)

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što je vremenski interval stabilizacije?

Vremenski interval stabilizacije dinamičkog sustava definira se kao vrijeme potrebno izlazu da dosegnut i stabiliziraju se unutar zadane tolerancijske zonu. Oznaka za to je Ts. Vremenski interval stabilizacije uključuje propagačni odaziv i vrijeme potrebno da se dostigne regija konačne vrijednosti. Uključuje vrijeme potrebno da se oporaviti od stanja preopterećenja uključujući brzinu promjene i stabilizaciju blizu tolerancijske zone.

Tolerancijska zona je maksimalni dopušteni raspon u kojem se izlaz može stabilizirati. Obično su tolerancijske zone 2% ili 5%.

Vremenski interval stabilizacije u korak-odgovoru drugeg reda sustava prikazan je na sljedećoj slici.

Vremenski interval stabilizacije

Formula vremenskog intervala stabilizacije

Vremenski interval stabilizacije ovisi o prirodnom frekvenciji i odgovoru sustava. Opća formula vremenskog intervala stabilizacije je;

$T_S = \frac{ln(tolerance \, fraction)}{damping \, ratio \times Natural \, frequency}$

Jedinica korak-odgovora sustava drugog reda izražena je kao;

$C(t) = 1 - \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right) sin(\omega_d t + \theta)$

Ova jednadžba dijeli se na dvije dijelove;

$exponential \, component = \left( \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \right)$

$sinusoidal \, component = sin(\omega_d t + \theta)$

Za izračun vremena usmirenja potreban je samo eksponencijalni dio jer otklanja oscilatorni dio sinusnog komponenta. Tolerancijski omjer jednak je eksponencijalnom dijelu.

$Tolerance \, fraction = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$t = T_S$

$Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} = e^{-\zeta \omega_n T_S}$

$ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right) = -\zeta \omega_n T_S$

$T_S = - \frac{ ln \left( Tolerance \, fraction \times \sqrt{1-\zeta^2} \right)}{\zeta \omega_n}$

Kako izračunati vrijeme usmirevanja

Za izračun vrijeme usmirevanja razmatramo sustav prvog reda s odgovorom na jedinični korak.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}}}$

Za odgovor na jedinični korak,

$R(s) = \frac{1}{s}$

Stoga,

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}}$

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada izračunajte vrijednost za A1 i A2.

$\frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}} = \frac{A_1(s+\frac{1}{T}) + A_2s}{s(s+\frac{1}{T})}$

$\frac{1}{T} = A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s$

Pretpostavimo s = 0;

$\frac{1}{T} = A_1( 0 + \frac{1}{T}) + A_2 (0)$

$\frac{1}{T} = A_1 \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pretpostavimo s = -1/T;

$\frac{1}{T} = A_1 (0) + A_2 (\frac{-1}{T})$

$\frac{1}{T} = -A_2 \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

$C(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{T}}$

$C(t) = L^{-1} C(s)$

$C(t) = 1 - e^{\frac{-t}{T}}$

$e^{\frac{-t}{T}} = 1 - C(t)$

Za pogrešku od 2%, 1-C(t) = 0,02;

$e^{\frac{-t_s}{T}} = 0.02$

$\frac{-t_s}{T} = ln(0.02)$

$\frac{-t_s}{T} = -3.9$

$t_s = 3.9T$

$t_s \approx 4T$

Ova jednadžba daje vrijeme uspajanja za sustav prvog reda s jediničnim korakom ulaza.

Za sustav drugog reda, moramo uzeti u obzir sljedeću jednadžbu;

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t+\phi)$

U ovoj jednadžbi, eksponencijalni izraz je važan za određivanje vrijednosti vremena uspajanja.

$C(t) = 1 - \frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}$

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 1 - C(t)$

Sada razmatramo grešku od 2%. Stoga, 1 – C(t) = 0.02;

$\frac{e^{- \zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.02$

Vrijednost omjera prigušenja (ξ) ovisi o vrsti sustava drugog reda. Ovdje razmatramo podprigušeni sustav drugog reda. Vrijednost ξ leži između 0 i 1.

Stoga, nazivnik gornje jednadžbe je približno jednak 1. Za lakše računanje, možemo ga zanemariti.

$e^{- \zeta \omega_n t_s} = 0.02$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.02)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3.9$

$t_s = \frac{3.9}{\zeta \omega_n}$

$t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$

Ova jednadžba može se koristiti samo za pogrešku od 2% i podistovareni sustav drugog reda.

Slično, za pogrešku od 5%; 1 – C(t) = 0.05;

$e^(- \zeta \omega_n t_s) = 0.05$

$- \zeta \omega_n t_s = ln(0.05)$

$- \zeta \omega_n t_s = -3$

$t_s \approx \frac{3}{\zeta \omega_n}$

Pri sustavu drugog reda, prije određivanja vremena usidrenja, potrebno je izračunati omjer prigušenja.

Vrijeme usmirenja u metodi polovišta

Vrijeme usmirenja može se izračunati pomoću metode polovišta. Vrijeme usmirenja ovisi o omjeru prigušenja i prirodnoj frekvenciji.

Te veličine mogu se izvesti s pomoću metode polovišta. I možemo naći vrijeme usmirenja.

Razumijemo to na primjeru.

$G(s) = \frac{K}{(s+1)(s+2)(s+3)}$

A pretresak = 20%

$damping \, ratio \, \zeta = \frac{-ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + ln^2(\%OS/100)}}$

$\zeta = \frac{-ln(0.2)}{ \sqrt{\pi^2 + ln^2(0.2)}}$

$\zeta = \frac{1.609}{ \sqrt{\pi^2 + 2.59}}$

$\zeta = \frac{1.609}{3.529}$

$\zeta = 0.4559$

Iz dijagrama korenske lokusne metode možete pronaći dominantne polove;

$P = -0.866 \pm j 1.691 = \sigma \pm j \omega_d$

$\omega_d = 1.691$

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$1.691 = \omega_n \sqrt{1-0.207}$

$\omega_n = \frac{1.691}{\sqrt{0.793}}$

$\omega_n = \frac{1.691}{0.890}$

$\omega_n = 1.9 \, rad/sec$

Sada imamo vrijednosti za ξ i ωn,

$vrijeme stabilizacije t_s = \frac{4}{\zeta \omega_m}$

$t_s = \frac{4}{0.455 \times 1.9}$

$t_s = 4.62 sek$

Dijagram korijena izveden je iz MATLAB-a. Za to se koristi “sisotool”. Ovdje možete dodati ograničenje za postotak pretjerivanja od 20%. I lako dobivaju dominantne polove.

Sljedeća slika prikazuje dijagram korijena iz MATLAB-a.

Primjer mješovitog položaja

Vrijeme postizanja možemo pronaći pomoću MATLABa. Jedinični odziv ovog sustava prikazan je na sljedećoj slici.

Vrijeme postizanja u MATLABu

Kako smanjiti vrijeme postizanja

Vrijeme postizanja je vrijeme potrebno za postizanje cilja. Za bilo koji kontrolni sustav, vrijeme postizanja mora biti minimalno.

Smanjenje vremena postizanja nije laka zadaća. Moramo dizajnirati regulator za smanjenje vremena postizanja.

Kao što znamo, postoje tri regulatora; proporcionalni (P), integralni (I), derivativni (D). S kombinacijom ovih regulatora, možemo postići zahtjeve sustava.

Dobit regulatora (KP, KI, KD) odabire se prema zahtjevima sustava.

Povećanje proporcionalne dobite KP, rezultira malom promjenom vremena postizanja. Povećanje integralne dobite KI, povećava vrijeme postizanja. I povećanje derivativne dobite KD, smanjuje vrijeme postizanja.

Stoga, dobit derivacije povećava kako bi se smanjilo vrijeme postavljanja. Pri odabiru vrijednosti dobiti PID kontrolera, to može utjecati i na druge veličine poput vrijeme uspona, pretjerivanja i statičke greške.

Kako pronaći vrijeme postavljanja u MATLAB-u

U MATLAB-u, vrijeme postavljanja može se pronaći koristeći funkciju stupnja. Shvatimo to kroz primjer.

$G(s) = \frac{25}{s^2 + 6s + 25}$

Prvo, izračunajmo vrijeme postavljanja koristeći jednadžbu. Za to, uporedite ovu prenosnu funkciju s općom prenosnom funkcijom sustava drugog reda.

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

Stoga,

$2 \zeta \omega_n = 6$

$\zeta \omega_n = 3$

$settling \, time \, (t_s) = \frac{4}{\zeta \omega_n}$

$t_s = \frac{4}{3}$

$t_s = 1.33 sec$

Ova vrijednost je približna vrijednost jer smo uključili neke pretpostavke prilikom izračuna jednadžbe vremena usporedbe. Međutim, u MATLAB-u dobivamo točnu vrijednost vremena usporedbe. Stoga se ova vrijednost može malo razlikovati u oba slučaja.

Sada, kako bismo izračunali vrijeme usporedbe u MATLAB-u, koristimo funkciju step.

clc; clear all; close all;
num = [0 0 25];
den = [1 6 25];
t = 0:0.005:5;
sys = tf(num,den);
F = step(sys,t);
H = stepinfo(F,t)

step(sys,t);

Izlaz:

H =

RiseTime: 0.3708
SettlingTime: 1.1886
SettlingMin: 0.9071
SettlingMax: 1.0948
Overshoot: 9.4780
Undershoot: 0
Peak: 1.0948
PeakTime: 0.7850

I dobivate graf odziva kao što je prikazano na sljedećoj slici.

Vrijeme usporedbe u MATLAB-u

U MATLAB-u, zadan postotak pogreške je 2%. Možete promijeniti ovaj postotak na grafu za različite opsege pogreške. Za to desni klik na graf > svojstva > opcije > "prikaži vrijeme usporedbe unutar ___ %".

Uređivač svojstava MATLAB

Još jedan način pronalaska vremena uspokojevanja putem izvršavanja petlje. Kao što znamo, za grešku od 2%, uzimamo u obzir odgovor između 0.98 i 1.02.

clc; clear all; close all;

num = [0 0 25];
den = [1 6 25];

t = 0:0.005:5;

[y,x,t] = step(num,den,t);

S = 1001;
while y(S)>0.98 & y(S)<1.02;
    S=S-1;
end
vrijeme_uspokojevanja = (S-1)*0.005

Izlaz:

vrijeme_uspokojevanja = 1.1886

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijedi podijeliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo kontaktirajte za brisanje.

Daj nagradu i ohrabri autora

Teme:

Energetske sustave

Kontrolni sustavi

O stručnjacima

Electrical4u

China

Preporučeno

Više

Koje su sigurnosne mjere i smjernice za korištenje AC opterećenja?

AC opterećenja su električni uređaji koristeni za simulaciju stvarnih opterećenja i široko se primjenjuju u sustavima snage, komunikacijskim sustavima, automatiziranim kontrolnim sustavima i drugim područjima. Za osiguranje osobne i opreme sigurnosti tijekom uporabe, moraju se pridržavati sljedeće sigurnosne mjere i smjernice:Odaberite odgovarajuće AC opterećenje: Izaberite AC opterećenje koje ispunjava stvarne potrebe, osiguravajući da njegova kapacitet, nominalno napon i drugi parametri zadovo

Echo

11/06/2025

Što treba voditi računa prilikom instalacije termoelementa tipa K?

Prepreke za instalaciju termoparova tipa K su ključne za osiguranje točnosti mjerenja i proširenje vremena službe. Evo uputa za instalaciju termoparova tipa K, pripremljenih na temelju vrlo autoritativnih izvora:1. Odabir i pregled Odaberite odgovarajući tip termopara: Izaberite pravi termopar ovisno o rasponu temperature, svojstvima medija i potrebnoj točnosti okruženja mjerenja. Termopari tipa K su primjenjivi za temperature u rasponu od -200°C do 1372°C i mogu se koristiti u različitim okruže

James

11/06/2025

Uzroci i preventivne mjere požara i eksplozije u uljnim prekidačima

Uzroci požara i eksplozije u uljnim prekidačima Kada je razina ulja u uljnom prekidaču premala, sloj ulja koji pokriva kontakte postaje pretank. Pod utjecajem električne lukine, ulje se razlaže i oslobađa gorive plinove. Ovi plinovi se nagomilavaju u prostoru ispod gornje klopke, miješajući se s zrakom i stvarajući eksplozivnu smjesu, koja se može zapaliti ili ekspirirati na visokoj temperaturi. Ako je razina ulja unutar rezervoara previsoka, oslobađeni plinovi imaju ograničeno prostora za širen

Felix Spark

11/06/2025

Standardi grešaka mjerenja THD za sustave snage

Tolerancija pogreške ukupne harmonijske distorzije (THD): Kompletna analiza temeljena na scenarijima primjene, točnosti opreme i industrijskim standardimaPrihvatljiv raspon pogreške za ukupnu harmonijsku distorziju (THD) mora se procijeniti na temelju specifičnih konteksta primjene, točnosti mjernih uređaja i primjenjivih industrijskih standarda. U nastavku slijedi detaljna analiza ključnih pokazatelja uključenosti u električnim sustavima, industrijskoj opremi i općim primjenama mjerenja.1. Stan

Edwiin

11/03/2025

Sustav drugog reda	Otpornostni omjer (ξ)	Vrijeme postizanja (TS)
Pododgovarajuće prigušenje	0<ξ<1	$T_S = \frac{4}{\zeta \omega_n }$
Neprihvaćeno prigušenje	ξ = 0	$T_S = \infty$
Kritično prigušenje	ξ = 1	$T_S = \frac{6}{\omega_n}$
Preprigušenje	ξ > 1	Ovisi o dominantnom polu