कैसे एक स्थानांतरण फंक्शनको डीसी गेन पाउनुहोस् (उदाहरणहरू समावेश)

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ट्रान्सफर फंक्शन क्या है

ट्रान्सफर फंक्शन नियंत्रण प्रणाली के इनपुट सिग्नल और आउटपुट सिग्नल के बीच के संबंध को वर्णित करता है। एक ब्लॉक डायग्राम नियंत्रण प्रणाली का दृश्यीकरण है जो ट्रान्सफर फंक्शन को दर्शाने के लिए ब्लॉकों का उपयोग करता है और अलग-अलग इनपुट और आउटपुट सिग्नलों को दर्शाने के लिए तीरों का उपयोग करता है।

ट्रान्सफर फंक्शन रैखिक समय-निरपेक्ष गतिशील प्रणाली का सुविधाजनक प्रतिनिधित्व है। गणितीय रूप से ट्रान्सफर फंक्शन जटिल चरों का फ़ंक्शन है

किसी भी नियंत्रण प्रणाली के लिए, एक संदर्भ इनपुट होता है जिसे उत्तेजन या कारण के रूप में जाना जाता है, जो एक ट्रान्सफर फंक्शन के माध्यम से संचालित होकर एक प्रभाव उत्पन्न करता है जिससे नियंत्रित आउटपुट या प्रतिक्रिया प्राप्त होती है।

इस प्रकार, आउटपुट और इनपुट के बीच का कारण और प्रभाव का संबंध एक ट्रान्सफर फंक्शन के माध्यम से जुड़ा रहता है। लाप्लास रूपांतरण में, यदि इनपुट $R(s)$ द्वारा दर्शाया जाता है और आउटपुट $C(s)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

नियंत्रण प्रणाली ट्रान्सफर फंक्शन को आउटपुट चर के लाप्लास रूपांतरण और इनपुट चर के लाप्लास रूपांतरण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, यह मानते हुए कि सभी प्रारंभिक स्थितियाँ शून्य हैं।

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

DC लाभ क्या है?

संकलन फलन कई उपयोगी भौतिक व्याख्याएँ होती हैं। प्रणाली का स्थिर-अवस्था लाभ सिर्फ स्थिर-अवस्था में आउटपुट और इनपुट के अनुपात को दर्शाता है, जो ऋणात्मक अनंत और धनात्मक अनंत के बीच एक वास्तविक संख्या होती है।

जब एक स्थिर नियंत्रण प्रणाली को एक स्टेप इनपुट से प्रेरित किया जाता है, तो स्थिर-अवस्था में प्रतिक्रिया एक निरंतर स्तर तक पहुंचती है।

शब्द DC लाभ को स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया और स्टेप इनपुट के बीच अम्प्लिट्यूड के अनुपात के रूप में वर्णित किया जाता है।

DC लाभ स्थिर-अवस्था स्टेप के प्रतिक्रिया के अम्प्लिट्यूड और स्टेप इनपुट के अम्प्लिट्यूड के अनुपात है। अंतिम मान प्रमेय दर्शाता है कि DC लाभ स्थिर संकलन फलनों के लिए 0 पर संकलन फलन का मान होता है।

पहले क्रम की प्रणालियों का समय प्रतिक्रिया

डायनेमिक प्रणालीको क्रम उसको शासनीय अवकल समीकरणको सबैभन्दा उच्च अवकलजको क्रम हुन्छ। पहिलो-क्रमका प्रणालीहरू सामान्यतया विश्लेषण गर्न सबैभन्दा सजिलो डायनेमिक प्रणालीहरू हुन्छन्।

स्थिरावस्था लाभ वा डीसी लाभको अवधारणालाई समझ्नको लागि एउटा सामान्य पहिलो-क्रमको ट्रान्सफर फंक्सन लिनुहोस्।

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ यसको रूपमा लेख्न सकिन्छ

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

यहाँ,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ ले टाइम कन्स्टेन्ट भनिन्छ। K ले DC गेन वा स्थिरावस्था गेन भनिन्छ

ट्रान्सफर फंक्शनको DC गेन पत्ता लगाउने तरिका

DC गेन एउटा प्रणालीको स्थिरावस्था आउटपुट र त्यसको नियत इनपुटको अनुपात हो, यानी, एकाइ स्टेप प्रतिक्रियाको स्थिरावस्था।

ट्रान्सफर फंक्शनको DC गेन पत्ता लगाउन, चलाउँदै र डिस्क्रेट लिनियर ट्रान्सफार्म इन्वर्स (LTI) प्रणालीहरू दुवै ध्यानमा लिनुहोस्।

चलाउँदै LTI प्रणाली यस्तो दिइएको छ

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

डिस्क्रेट LTI प्रणाली यस्तो दिइएको छ

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

अन्तिम मान प्रमेय लाई प्रयोग गर्नुहोस् एकाइ स्टेप प्रतिक्रियाको स्थिरावस्था गणना गर्न।

(३) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(४) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(५) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ स्थिर छ र सबै पोलहरू बायाँ तरफ छन्

अतः,

(६) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

निरंतर LTI प्रणालीको लागि प्रयोग गरिने अंतिम मान प्रमेयको सूत्र

(७) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

डिस्क्रेट LTI प्रणालीको लागि प्रयोग गरिने अंतिम मान प्रमेयको सूत्र

(८) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

दुवै अवस्थामा पनि, यदि प्रणालीमा एकीकरण छ भने नतिजा हुनेछ $\infty$ ।

डीसी गेन स्थिर अवस्थाको इनपुट र आउटपुटको स्थिर अवस्थाको डेरिवेटिभको अनुपात हो जसलाई प्राप्त आउटपुटको डिफरेन्सिएशन द्वारा प्राप्त गर्न सकिन्छ। यो लगातार र डिस्क्रिट सिस्टेम दुवैमा लगभग एकै छ।

लगातार क्षेत्रमा डिफरेन्सिएशन

लगातार सिस्टेम वा 's' क्षेत्रमा, समीकरण (1) लाई 's' द्वारा गुणाकर डिफरेन्सिएट गरिन्छ।

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

यहाँ $\dot{Y(s)}$ लाप्लास ट्रान्सफार्म हो $\dot{y(t)}$

डिस्क्रिट क्षेत्रमा डिफरेन्सिएशन

डिस्क्रिट क्षेत्रमा डेरिवेटिभलाई पहिलो फरक द्वारा प्राप्त गर्न सकिन्छ।

(१०) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(११) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(१२) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(१३) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

यसरी डिस्क्रिट डोमेनमा विभेदन गर्न, हामीले $\frac{z-1}{T_{z}}$

डीसी गेन पाउनको लागि अंकगणितीय उदाहरणहरु

उदाहरण १

निरन्तर स्थानान्तरण फङ्क्सन लिन:

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

यस स्थानान्तरण फङ्क्सनको डीसी गेन (स्थिर अवस्था गेन) पाउन, अन्तिम मान प्रमेय लागू गर्नुहोस्

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

अब DC गेन को लगाएको इकाई स्टेप इनपुटको अनुपात मा परिभाषित गरिन्छ।

DC गेन = $\frac{2}{1}=2$

त्यसैले याद राख्नुहोस् कि DC गेन अवधारणा केवल स्थिर प्रकृतिको उनीहरूमा लागू हुन्छ।

उदाहरण २

निम्न अभिव्यक्तिको लागि DC गेन निर्धारण गर्नुहोस्:

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

यो ट्रान्सफर इक्वेशनको स्टेप रिस्पोन्स

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

अब, डीसी गेन पाउन लागि अंतिम मूल्य प्रमेय लागू गर्नुहोस्।

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

थपना: मूल सम्मान गर्नुहोस्, शेयर गर्ने योग्य राम्रो अनुकूलनहरू, यदि उत्पीडन छ भने सम्पर्क गर्नुहोस् मिटाउनको लागि।

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