Як знайти статичний коефіцієнт передачі передавальної функції (з прикладами)

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке передавальна функція

Що таке передавальна функція?

Передавальна функція описує зв'язок між вихідним сигналом системи керування та вхідним сигналом. Блок-схема — це візуалізація системи керування, у якій блоки представляють передавальну функцію, а стрілки — різні вхідні та вихідні сигнали.

Передавальна функція — це зручне представлення лінійної стаціонарної динамічної системи. Математично передавальна функція є функцією комплексних змінних

Для будь-якої системи керування існує опорний вхід, відомий як збудження або причина, який діє через передавальну функцію для отримання ефекту у вигляді контрольованого виходу або реакції.

Отже, причинно-наслідковий зв'язок між виходом і входом пов'язаний один з одним через передавальну функцію. У перетворенні Лапласа, якщо вхід позначено як $R(s)$ , а вихід позначено як $C(s)$ .

Передавальну функцію системи керування визначають як відношення перетворення Лапласа вихідної змінної до перетворення Лапласа вхідної змінної за умови, що всі початкові умови дорівнюють нулю.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Що таке постійна складова (DC) виграш?

Передаточна функція має багато корисних фізичних інтерпретацій. Статичний виграш системи — це просто співвідношення між виходом та входом в стаціонарному стані, яке представляється дійсним числом між від'ємною нескінченністю та додатною нескінченністю.

Коли стабільну систему керування стимулюють за допомогою ступінчастого входу, відповідь в стаціонарному стані досягає постійного рівня.

Термін постійна складова (DC) виграш описується як співвідношення амплітуди між відповіддю в стаціонарному стані та ступінчастим входом.

Постійна складова (DC) виграш — це співвідношення між величиною відповіді на ступінчастий вход у стаціонарному стані та величиною ступінчастого входу. Теорема про кінцеве значення демонструє, що постійна складова (DC) виграш — це значення передаточної функції, оцінене при 0 для стабільних передатових функцій.

Часова відповідь першого порядку систем

Порядок динамічної системи — це порядок найвищої похідної її керувальної диференціального рівняння. Системи першого порядку є найпростішими динамічними системами для аналізу.

Щоб зрозуміти концепцію стаціонарного приросту або DC-приросту, розглянемо загальну передавальну функцію першого порядку.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ також може бути записано як

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Тут,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ називається часовим константом. K називається постійною приросту або стаціонарним коефіцієнтом

Як знайти постійну приросту передавальної функції

Постійна приросту - це співвідношення стаціонарного виходу системи до її постійного входу, тобто стаціонарного відгуку на одиничний крок.

Для знаходження постійної приросту передавальної функції розглянемо як неперервні, так і дискретні лінійні обернені (LTI) системи.

Неперервна LTI система задається як

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Дискретна LTI система задається як

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Використовуйте теорему про кінцеве значення для обчислення стаціонарного відгуку на одиничний крок.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ є стабільним і всі полюси розташовані на лівій півплощині

Тому,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Формула теореми про кінцеве значення для неперервної ЛІС

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Формула теореми про кінцеве значення для дискретної ЛІС

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

У обох випадках, якщо система має інтеграцію, результат буде $\infty$ .

Постійна частина (DC) приросту є співвідношенням між стаціонарним входом та похідною стаціонарного виходу, яке можна отримати через диференціювання отриманого виходу. Це практично однаково для неперервних та дискретних систем.

Диференціювання в неперервній області

У неперервній системі або області 's' рівняння (1) диференціюється множенням рівняння на 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

де $\dot{Y(s)}$ — це перетворення Лапласа $\dot{y(t)}$

Диференціювання в дискретній області

Похідна в дискретній області може бути отримана за допомогою першої різниці.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Таким чином, щоб диференціювати в дискретній області, нам потрібно помножити $\frac{z-1}{T_{z}}$

Числові приклади для знаходження постійної складової (DC) коефіцієнту підсилення

Приклад 1

Розглянемо неперервну передавальну функцію,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Для знаходження постійної складової (DC) коефіцієнту підсилення цієї передавальної функції, застосуйте теорему про кінцеве значення

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Тепер постійна складова визначається як співвідношення стаціонарного значення до застосованого одиничного кроку вхідного сигналу.

Постійна складова = $\frac{2}{1}=2$

Отже, важливо зазначити, що поняття постійної складової застосовне лише до тих систем, які є стабільними за природою.

Приклад 2

Визначте постійну складову для рівняння

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Крокова реакція на вищенаведене передавальне рівняння є

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Тепер, застосуйте теорему про кінцеве значення, щоб знайти DC-збільшення.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Заява: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, у разі порушення авторських прав зверніться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China

Рекомендоване

Більше

Помилки та способи їх усунення при однофазному заземленні на лініях електропередач 10 кВ

Характеристики та пристрої виявлення однофазних замикань на землю1. Характеристики однофазних замикань на землюЦентральні аварійні сигнали:Спрацьовує попереджувальний дзвінок, і загоряється індикаторна лампочка з написом «Замикання на землю на шинному відсіку [X] кВ, секція [Y]». У системах із заземленням нейтралі через котушку Петерсена (котушку гашення дуги) також загоряється індикатор «Котушка Петерсена увімкнена».Показання вольтметра контролю ізоляції:Напруга пошкодженої фази знижується (у р

Rockwill

01/30/2026

Нейтральний точка заземлення режим роботи для трансформаторів електромережі 110кВ～220кВ

Розташування режимів заземлення нейтральних точок трансформаторів електромережі 110кВ-220кВ повинно відповідати вимогам стійкості ізоляції нейтральних точок трансформаторів, а також зберігати нульовий послідовний імпеданс підстанцій практично незмінним, забезпечуючи, що сумарний нульовий імпеданс у будь-якій точці короткого замикання системи не перевищує тричі величину сумарного додатного послідовного імпедансу.Для новобудованих та технічно оновлених трансформаторів 220кВ та 110кВ, їхні режими з

Vziman

01/29/2026

Чому підстанції використовують камінь гравій галузdrok та дрібний щебінь

Чому на підстанціях використовують каміння, гравій, гальку та дроблену породу?На підстанціях таке обладнання, як силові та розподільні трансформатори, лінії електропередачі, трансформатори напруги, трансформатори струму та роз’єднувачі, потребує заземлення. Крім заземлення, тепер ми детально розглянемо, чому гравій та дроблена порода широко використовуються на підстанціях. Хоча вони виглядають звичайними, ці камені відіграють критичну роль у забезпеченні безпеки та функціональності.У проектуванн

Echo

01/29/2026

HECI GCB для генераторів – швидкий SF₆ вимикач

1.Визначення та функції1.1 Роль вимикача генератораВимикач генератора (GCB) — це контролюваний точка відключення, розташована між генератором і підвищувальним трансформатором, який служить інтерфейсом між генератором і електромережею. Його основні функції включають ізоляцію аварійних ситуацій на стороні генератора та забезпечення операційного контролю під час синхронізації генератора та з'єднання з мережею. Принцип роботи GCB не значно відрізняється від стандартного вимикача; однак через високу

Garca

01/06/2026