Як знайти статичний коефіцієнт передачі передавальної функції (з прикладами)

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке передавальна функція

Що таке передавальна функція?

Передавальна функція описує зв'язок між вихідним сигналом системи керування та вхідним сигналом. Блок-схема — це візуалізація системи керування, у якій блоки представляють передавальну функцію, а стрілки — різні вхідні та вихідні сигнали.

Передавальна функція — це зручне представлення лінійної стаціонарної динамічної системи. Математично передавальна функція є функцією комплексних змінних

Для будь-якої системи керування існує опорний вхід, відомий як збудження або причина, який діє через передавальну функцію для отримання ефекту у вигляді контрольованого виходу або реакції.

Отже, причинно-наслідковий зв'язок між виходом і входом пов'язаний один з одним через передавальну функцію. У перетворенні Лапласа, якщо вхід позначено як $R(s)$ , а вихід позначено як $C(s)$ .

Передавальну функцію системи керування визначають як відношення перетворення Лапласа вихідної змінної до перетворення Лапласа вхідної змінної за умови, що всі початкові умови дорівнюють нулю.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Що таке постійна складова (DC) виграш?

Передаточна функція має багато корисних фізичних інтерпретацій. Статичний виграш системи — це просто співвідношення між виходом та входом в стаціонарному стані, яке представляється дійсним числом між від'ємною нескінченністю та додатною нескінченністю.

Коли стабільну систему керування стимулюють за допомогою ступінчастого входу, відповідь в стаціонарному стані досягає постійного рівня.

Термін постійна складова (DC) виграш описується як співвідношення амплітуди між відповіддю в стаціонарному стані та ступінчастим входом.

Постійна складова (DC) виграш — це співвідношення між величиною відповіді на ступінчастий вход у стаціонарному стані та величиною ступінчастого входу. Теорема про кінцеве значення демонструє, що постійна складова (DC) виграш — це значення передаточної функції, оцінене при 0 для стабільних передатових функцій.

Часова відповідь першого порядку систем

Порядок динамічної системи — це порядок найвищої похідної її керувальної диференціального рівняння. Системи першого порядку є найпростішими динамічними системами для аналізу.

Щоб зрозуміти концепцію стаціонарного приросту або DC-приросту, розглянемо загальну передавальну функцію першого порядку.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ також може бути записано як

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Тут,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ називається часовим константом. K називається постійною приросту або стаціонарним коефіцієнтом

Як знайти постійну приросту передавальної функції

Постійна приросту - це співвідношення стаціонарного виходу системи до її постійного входу, тобто стаціонарного відгуку на одиничний крок.

Для знаходження постійної приросту передавальної функції розглянемо як неперервні, так і дискретні лінійні обернені (LTI) системи.

Неперервна LTI система задається як

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Дискретна LTI система задається як

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Використовуйте теорему про кінцеве значення для обчислення стаціонарного відгуку на одиничний крок.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ є стабільним і всі полюси розташовані на лівій півплощині

Тому,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Формула теореми про кінцеве значення для неперервної ЛІС

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Формула теореми про кінцеве значення для дискретної ЛІС

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

У обох випадках, якщо система має інтеграцію, результат буде $\infty$ .

Постійна частина (DC) приросту є співвідношенням між стаціонарним входом та похідною стаціонарного виходу, яке можна отримати через диференціювання отриманого виходу. Це практично однаково для неперервних та дискретних систем.

Диференціювання в неперервній області

У неперервній системі або області 's' рівняння (1) диференціюється множенням рівняння на 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

де $\dot{Y(s)}$ — це перетворення Лапласа $\dot{y(t)}$

Диференціювання в дискретній області

Похідна в дискретній області може бути отримана за допомогою першої різниці.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Таким чином, щоб диференціювати в дискретній області, нам потрібно помножити $\frac{z-1}{T_{z}}$

Числові приклади для знаходження постійної складової (DC) коефіцієнту підсилення

Приклад 1

Розглянемо неперервну передавальну функцію,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Для знаходження постійної складової (DC) коефіцієнту підсилення цієї передавальної функції, застосуйте теорему про кінцеве значення

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Тепер постійна складова визначається як співвідношення стаціонарного значення до застосованого одиничного кроку вхідного сигналу.

Постійна складова = $\frac{2}{1}=2$

Отже, важливо зазначити, що поняття постійної складової застосовне лише до тих систем, які є стабільними за природою.

Приклад 2

Визначте постійну складову для рівняння

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Крокова реакція на вищенаведене передавальне рівняння є

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Тепер, застосуйте теорему про кінцеве значення, щоб знайти DC-збільшення.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Заява: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, у разі порушення авторських прав зверніться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China

Рекомендоване

Більше

Високовольтні стандарти вибору вводів для силового трансформатора

1. Структура і класифікація втулокСтруктура і класифікація втулок показані в таблиці нижче: Порядковий номер Класифікаційна характеристика Категорія 1 Основна ізоляційна конструкція Електролітний типМасляний тип Немасляний типГазова ізоляціяРідкова ізоляціяЛитий полімерКомпозитна ізоляція Неелектролітний тип Газова ізоляціяРідкова ізоляціяЛитий полімерКомпозитна ізоляція 2 Зовнішній матеріал ізоляції ФарфорСиліконовий каучук 3 Матеріал заповнення мі

James

12/20/2025

Керівництво з встановлення та обслуговування великих електроперетворювачів

1. Механічне прямолінійне тягнення великих електроперетворювачівПри транспортуванні великих електроперетворювачів за допомогою механічного прямолінійного тягнення слід правильно виконати наступні роботи:Дослідити конструкцію, ширину, нахил, ухил, кут повороту та несучість доріг, мостів, труб, канав і т.д. вздовж маршруту; підсилювати їх при необхідності.Огляд перешкод над землею вздовж маршруту, таких як лінії електропередачі та засоби зв'язку.Під час завантаження, розвантаження та транспортуван

Vziman

12/20/2025

5 Технік діагностики вад для великих електроперетворювачів

Методи діагностики вад трансформаторів1. Метод співвідношення для аналізу розчинених газівДля більшості маслонаповнених електропередавальних трансформаторів при термічному і електричному напруженнях у баку трансформатора виробляються певні горючі гази. Горючі гази, розчинені в олії, можна використовувати для визначення характеристик термічного розкладу системи ізоляції трансформатора на основі їх специфічного змісту газів і співвідношень. Ця технологія вперше була використана для діагностики вад

Vziman

12/20/2025

17 поширених запитань про трансформатори електроенергії

1 Чому ядро трансформатора повинно бути заземленим?Під час нормальної роботи електропередавальних трансформаторів ядро має мати одну надійну точку заземлення. Без заземлення плавучий напруг між ядром і землею може спричинити періодичні пробої та розряди. Одноточкове заземлення усуває можливість плавучого потенціалу в ядрі. Проте, коли існує два або більше точок заземлення, нерівномірні потенціали між частинами ядра створюють циркуляційні струми між точками заземлення, що призводить до перегріву

Vziman

12/20/2025