Wie man den Gleichstromverstärkungsfaktor einer Übertragungsfunktion findet (mit Beispielen)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist eine Übertragungsfunktion

Was ist eine Übertragungsfunktion?

Eine Übertragungsfunktion beschreibt das Verhältnis zwischen dem Ausgangssignal eines Regelkreises und dem Eingangssignal. Ein Blockdiagramm ist eine Visualisierung des Regelkreises, die Blöcke verwendet, um die Übertragungsfunktion darzustellen, und Pfeile, um die verschiedenen Eingangs- und Ausgangssignale zu veranschaulichen.

Die Übertragungsfunktion ist eine bequeme Darstellung eines linearen zeitinvarianten dynamischen Systems. Mathematisch gesehen ist die Übertragungsfunktion eine Funktion komplexer Variablen.

Für jedes Regelkreissystem gibt es eine Referenzeingabe, die als Erregung oder Ursache bezeichnet wird und durch eine Übertragungsfunktion wirkt, um einen Effekt hervorzurufen, der in einem gesteuerten Ausgang oder einer Reaktion resultiert.

Daher ist das Verhältnis von Ursache und Wirkung zwischen Ausgang und Eingang durch eine Übertragungsfunktion miteinander verbunden. In einer Laplace-Transformation wird die Eingabe durch $R(s)$ und der Ausgang durch $C(s)$ dargestellt.

Die Übertragungsfunktion des Regelkreises wird definiert als das Verhältnis der Laplace-Transformation der Ausgangsvariable zur Laplace-Transformation der Eingangsvariable, unter der Annahme, dass alle Anfangsbedingungen null sind.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Was ist DC-Gewinn?

Die Übertragungsfunktion hat viele nützliche physikalische Interpretationen. Der stationäre Gewinn eines Systems ist einfach das Verhältnis von Ausgang und Eingang im stationären Zustand, dargestellt durch eine reelle Zahl zwischen minus unendlich und plus unendlich.

Wenn ein stabiles Regelungssystem mit einer Sprungantwort angeregt wird, erreicht die Antwort im stationären Zustand ein konstantes Niveau.

Der Begriff DC-Gewinn wird als das Verhältnis der Amplituden zwischen der Antwort im stationären Zustand und der Sprungeingabe beschrieben.

Der DC-Gewinn ist das Verhältnis der Amplitude der Antwort auf den stationären Sprung zur Amplitude der Sprungeingabe. Der Endwertesatz zeigt, dass der DC-Gewinn der Wert der Übertragungsfunktion bei 0 für stabile Übertragungsfunktionen ist.

Zeitverhalten erster Ordnungssysteme

Die Ordnung eines dynamischen Systems ist die Ordnung der höchsten Ableitung seiner zugehörigen Differentialgleichung. Erstordnungssysteme sind die einfachsten dynamischen Systeme zur Analyse.

Um das Konzept des stationären Verstärkungsfaktors oder DC-Verstärkungsfaktors zu verstehen, betrachten Sie eine allgemeine Übertragungsfunktion erster Ordnung.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ kann auch als

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Hier gilt:

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ wird als Zeitkonstante bezeichnet. K wird als Gleichstromverstärkung oder stationäre Verstärkung bezeichnet.

Wie man die Gleichstromverstärkung einer Übertragungsfunktion findet

Die Gleichstromverstärkung ist das Verhältnis der stationären Ausgabe eines Systems zu seiner konstanten Eingabe, d. h. der stationären Zustand der Einheitssprungantwort.

Um die Gleichstromverstärkung einer Übertragungsfunktion zu finden, betrachten wir sowohl kontinuierliche als auch diskrete lineare zeitinvariante (LTI) Systeme.

Ein kontinuierliches LTI-System ist gegeben durch

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Ein diskretes LTI-System ist gegeben durch

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Verwenden Sie den Endwertssatz, um den stationären Zustand der Einheitssprungantwort zu berechnen.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ ist stabil und alle Pole liegen auf der linken Seite

Daher,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Die Formel des Endwertesatzes für ein kontinuierliches LTI-System lautet

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Die Formel des Endwertesatzes für ein diskretes LTI-System lautet

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

In beiden Fällen ergibt sich, wenn das System eine Integration hat, $\infty$ .

Die Gleichstromverstärkung ist das Verhältnis zwischen der stationären Eingabe und der stationären Ableitung der Ausgabe, die durch Differenziation der erzielten Ausgabe erhalten werden kann. Sie ist fast identisch für kontinuierliche und diskrete Systeme.

Differenziation im Kontinuierlichen Bereich

Im kontinuierlichen System oder im 's'-Bereich wird die Gleichung (1) differenziert, indem sie mit 's' multipliziert wird.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

wobei $\dot{Y(s)}$ die Laplace-Transformation von $\dot{y(t)}$

Differenziation im Diskreten Bereich

Die Ableitung im diskreten Bereich kann durch eine erste Differenz erhalten werden.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Um in der diskreten Domäne zu differenzieren, müssen wir $\frac{z-1}{T_{z}}$

Numerische Beispiele zur Bestimmung des DC-Gewinns

Beispiel 1

Betrachten wir die kontinuierliche Übertragungsfunktion,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Um den DC-Gewinn (Festwertsverstärkung) der obigen Übertragungsfunktion zu bestimmen, wenden wir den Endwertesatz an

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Der Gleichstromverstärkungsfaktor wird definiert als das Verhältnis des stationären Wertes zur angewandten Einheitssprungfunktion.

Gleichstromverstärkung = $\frac{2}{1}=2$

Es ist wichtig zu beachten, dass der Begriff der Gleichstromverstärkung nur auf Systeme anwendbar ist, die stabil sind.

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Gleichstromverstärkungsfaktor für die Gleichung

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Die Sprungantwort der obigen Übertragungsfunktion ist

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Nun wende den Endwertssatz an, um die Gleichgewichtskonstante zu finden.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

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