Hur man hittar den direkta effekten av en överföringsfunktion (Exempel inkluderade)

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är en överföringsfunktion

Vad är en överföringsfunktion?

En överföringsfunktion beskriver förhållandet mellan utgångssignalen från ett reglersystem och ingångssignalen. En blockdiagram är en visualisering av reglersystemet som använder block för att representera överföringsfunktionen och pilar för att representera de olika ingångs- och utgångssignalerna.

Överföringsfunktionen är en bekväm representation av ett linjärt tidsinvariant dynamiskt system. Matematiskt sett är överföringsfunktionen en funktion av komplexa variabler.

För varje reglersystem finns det en referensingång känd som excitation eller orsak som verkar genom en överföringsfunktion för att producera en effekt som resulterar i en kontrollerad utgång eller respons.

Således är sambandet mellan orsak och effekt mellan utgång och ingång länkat till varandra genom en överföringsfunktion. I en Laplace-transform, om ingången representeras av $R(s)$ och utgången representeras av $C(s)$ .

Överföringsfunktionen för reglersystemet definieras som Laplace-transformkvoten mellan den utgående variabeln och Laplace-transformen av den inkommande variabeln, med antagande att alla initiala villkor är noll.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Vad är DC-förstärkning?

Överföringsfunktionen har många användbara fysiska tolkningar. Systemets stillastående förstärkning är enkelt sett förhållandet mellan utgången och ingången i stillastående, representerat av ett reellt tal mellan negativ oändlighet och positiv oändlighet.

När ett stabilt styrsystem stimuleras med ett steginmatningsignal når svaret i stillaståendet ett konstant nivå.

Terminen DC-förstärkning beskrivs som förhållandet mellan amplituden av svaret i stillastående och steginmatningen.

DC-förstärkning är förhållandet mellan magnituden av svaret i stillastående till steginmatningen och magnituden av steginmatningen. Slutvärdesteoremet visar att DC-förstärkning är värdet av överföringsfunktionen bedömt vid 0 för stabila överföringsfunktioner.

Tidsrespons för första ordningens system

Ordningen av ett dynamiskt system är ordningen av den högsta derivatan i dess styrende differentialekvation. Förstgradssystem är de enklaste dynamiska systemen att analysera.

För att förstå konceptet om stabilt tillstånd eller DC-gain, överväg en generell förstgradsoverföringsfunktion.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ kan också skrivas som

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Här,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ kallas tidskonstant. K kallas för DC-förstärkning eller stillastående förstärkning

Hur man hittar DC-förstärkningen av en överföringsfunktion

DC-förstärkning är kvoten mellan systemets stillastående utgång och dess konstanta inmatning, dvs. stillaståendet av enhetens stegsvar.

För att hitta DC-förstärkningen av en överföringsfunktion, låt oss överväga både kontinuerliga och diskreta linjära transform invers (LTI) system.

Kontinuerligt LTI-system ges som

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Diskret LTI-system ges som

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Använd slutvärdesatsen för att beräkna det stillastående värdet av enhetens stegsvar.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ är stabil och alla poler ligger på vänster sida

Därför,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Formeln för slutvärdesteorin som används för ett kontinuerligt LTI-system är

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Formeln för slutvärdesteorin som används för ett diskret LTI-system är

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

I båda fallen, om systemet har en integration kommer resultatet att vara $\infty$ .

DC-förstärkningen är förhållandet mellan den stationära inmatningen och den stationära derivatan av utmatningen som kan erhållas genom derivering av den erhållna utmatningen. Den är nästan densamma för både kontinuerliga och diskreta system.

Derivering i det kontinuerliga domänet

I det kontinuerliga systemet eller 's'-domänet deriveras ekvation (1) genom att multiplicera ekvationen med 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

där $\dot{Y(s)}$ är Laplace-transformen av $\dot{y(t)}$

Derivering i det diskreta domänet

Derivatan i det diskreta domänet kan erhållas genom en första differens.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

För att differentiera i det diskreta domänet måste vi multiplicera $\frac{z-1}{T_{z}}$

Numeriska exempel för att hitta DC-förstärkning

Exempel 1

Överväg den kontinuerliga överföringsfunktionen,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

För att hitta DC-förstärkningen (steady-state gain) av ovanstående överföringsfunktion, tillämpa slutvärdesteorin

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Nu definieras DC-gain som förhållandet mellan det stationära värdet och den tillämpade enhetsstegsinmatningen.

DC-Gain = $\frac{2}{1}=2$

Det är därför viktigt att notera att begreppet DC-gain endast är tillämpligt på system som är stabila i sin natur.

Exempel 2

Bestäm DC-gain för ekvationen

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Stegsvar för ovanstående överföringsfunktion är

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Använd nu slutvärdesteorin för att hitta DC-förstärkningen.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Uttryck: Respektera det ursprungliga innehållet, bra artiklar är värda att dela, om upphovsrätt sker kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Energisystem

Styrningssystem

Om experter

Electrical4u

China

Rekommenderad

Mer

Högtspänningsbushingvalstandarder för strömförädlingstransformator

1. Buskings strukturformer och klassificeringBuskings strukturformer och klassificering visas i tabellen nedan: Serienummer Klassificeringsfunktion Kategori 1 Huvudisoleringssystem Kapacitiv typResinimpregnerat papperOljeimpregnerat papper Ickekapacitiv typGasisoleringVätskeisoleringGjutmassaKompositisolering 2 Yttre isoleringsmaterial PorcelänSilikonkautschuk 3 Fyllningsmaterial mellan kondensatorkärna och yttre isoleringsmåne Oljeutfyllt typGasutfyllt t

James

12/20/2025

Stor strömförstärkarens installations- och hanteringsförfaranden guide

1. Mekanisk direkt dragning av stora krafttransformatorerNär stora krafttransformatorer transporteras med mekanisk direkt dragning, skall följande arbete utföras ordentligt:Undersök strukturen, bredden, lutningen, gradienten, svängvinklarna och bärförmågan hos vägar, broar, rörsystem, dike mm. längs rutt; förstärk dem vid behov.Granska hinder ovanför marken längs rutt, som el- och kommunikationsledningar.Under lastning, lossning och transport av transformatorer skall allvarliga stötar eller vibr

Vziman

12/20/2025

5 felplaceringstekniker för stora krafttransformatorer

Transformerfel diagnosmetoder1. Förhållande metod för löst gasanalysFör de flesta oljebärgade strömförstärkare produceras vissa brännbara gaser i förstärkarkärnan under termisk och elektrisk spänning. De brännbara gaserna som är upplösta i oljan kan användas för att bestämma den termiska nedbrytningskaraktären av transformerolje-papperisoleringssystemet baserat på deras specifika gasinnehåll och förhållanden. Denna teknik användes först för fel-diagnos i oljebärgade transformer. Senare föreslog

Vziman

12/20/2025

17 Vanliga Frågor Om Strömförstärkare

1 Varför måste transformatorernas kärna vara jordad?Under normal drift av strömförädlingstransformatorer måste kärnan ha en pålitlig jordningskoppling. Utan jordning skulle ett flytande spänning mellan kärnan och jorden orsaka intermittenta brytningsutsläpp. Enpunktsjordning eliminerar möjligheten till flytande potential i kärnan. När det finns två eller flera jordningspunkter skapar ojämna potentialer mellan kärnsektioner cirkulerande strömmar mellan jordningspunkter, vilket orsakar uppvärmning

Vziman

12/20/2025