Cách Tìm Hệ Số Cảm Động DC của Hàm Chuyển (Bao Gồm Ví Dụ)

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

China

Hàm Chuyển Mạch Là Gì

Hàm chuyển mạch mô tả mối quan hệ giữa tín hiệu đầu ra của hệ thống điều khiển và tín hiệu đầu vào. Sơ đồ khối là sự trực quan hóa của hệ thống điều khiển sử dụng các khối để biểu diễn hàm chuyển mạch và các mũi tên biểu diễn các tín hiệu đầu vào và đầu ra khác nhau.

Hàm chuyển mạch là một cách biểu diễn thuận tiện cho hệ thống động học tuyến tính không đổi theo thời gian. Về mặt toán học, hàm chuyển mạch là một hàm của biến phức.

Đối với bất kỳ hệ thống điều khiển nào, có một tín hiệu đầu vào tham chiếu được gọi là kích thích hoặc nguyên nhân hoạt động thông qua hàm chuyển mạch để tạo ra kết quả dẫn đến tín hiệu đầu ra được kiểm soát hoặc phản hồi.

Do đó, mối quan hệ nguyên nhân và kết quả giữa đầu ra và đầu vào được liên kết với nhau thông qua hàm chuyển mạch. Trong biến đổi Laplace, nếu đầu vào được biểu diễn bằng $R(s)$ và đầu ra được biểu diễn bằng $C(s)$ .

Hàm chuyển mạch của hệ thống điều khiển được định nghĩa là tỷ lệ biến đổi Laplace của biến đầu ra so với biến đổi Laplace của biến đầu vào, giả định rằng tất cả các điều kiện ban đầu đều bằng không.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Điều gì là DC Gain?

Hàm chuyển có nhiều ý nghĩa vật lý hữu ích. Tỷ số tăng ổn định của hệ thống đơn giản là tỷ lệ giữa đầu ra và đầu vào ở trạng thái ổn định được biểu diễn bằng một số thực nằm trong khoảng từ âm vô cùng đến dương vô cùng.

Khi một hệ thống điều khiển ổn định được kích thích bởi tín hiệu bước, phản ứng ở trạng thái ổn định đạt đến mức độ không đổi.

Thuật ngữ DC gain được mô tả là tỷ lệ giữa biên độ của phản ứng ở trạng thái ổn định và tín hiệu bước.

Tăng DC là tỷ lệ giữa biên độ của phản ứng ở trạng thái ổn định đối với tín hiệu bước so với biên độ của tín hiệu bước. Định lý giá trị cuối cùng chứng minh rằng tăng DC là giá trị của hàm chuyển được đánh giá tại 0 cho các hàm chuyển ổn định.

Phản ứng theo thời gian của Hệ thống bậc nhất

Bậc của hệ thống động là bậc của đạo hàm cao nhất trong phương trình vi phân điều khiển nó. Hệ thống bậc nhất là các hệ thống động đơn giản nhất để phân tích.

Để hiểu về khái niệm lợi ích trạng thái ổn định hoặc lợi ích DC, hãy xem xét một hàm chuyển đổi bậc nhất tổng quát.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ cũng có thể được viết dưới dạng

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Ở đây,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ được gọi là hằng số thời gian. K được gọi là hệ số tăng lợi DC hoặc hệ số tăng lợi trạng thái ổn định

Cách tìm hệ số tăng lợi DC của hàm truyền

Hệ số tăng lợi DC là tỷ lệ giữa đầu ra trạng thái ổn định của hệ thống so với đầu vào hằng số, tức là trạng thái ổn định của phản ứng bước đơn vị.

Để tìm hệ số tăng lợi DC của hàm truyền, hãy xem xét cả hệ thống tuyến tính không đổi (LTI) liên tục và rời rạc.

Hệ thống LTI liên tục được cho bởi

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Hệ thống LTI rời rạc được cho bởi

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Sử dụng định lý giá trị cuối cùng để tính toán trạng thái ổn định của phản ứng bước đơn vị.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ ổn định và tất cả các cực nằm ở bên trái

Do đó,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Công thức định lý giá trị cuối cùng được sử dụng cho hệ thống LTI liên tục là

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Công thức định lý giá trị cuối cùng được sử dụng cho hệ thống LTI rời rạc là

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

Trong cả hai trường hợp, nếu hệ thống có tích hợp thì kết quả sẽ là $\infty$ .

Hệ số khuếch đại DC là tỷ số giữa đầu vào trạng thái ổn định và đạo hàm trạng thái ổn định của đầu ra, có thể thu được thông qua phép lấy vi phân đầu ra đã nhận được. Giá trị này gần như giống nhau đối với cả hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc.