Jak najít střední zisk přenosové funkce (s příklady)

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je přenosová funkce

Přenosová funkce popisuje vztah mezi výstupním signálem řídicího systému a vstupním signálem. Blokový diagram je vizualizace řídicího systému, která používá bloky k reprezentaci přenosové funkce a šipky k reprezentaci různých vstupních a výstupních signálů.

Přenosová funkce je pohodlnou reprezentací lineárního časově invariantního dynamického systému. Matematicky je přenosová funkce funkcí komplexních proměnných.

Pro jakýkoli řídicí systém existuje referenční vstup známý jako vzrušení nebo příčina, která působí prostřednictvím přenosové funkce a vyvolává efekt vedoucí k řízenému výstupu nebo odpovědi.

Takže vztah příčiny a následku mezi výstupem a vstupem je propojen prostřednictvím přenosové funkce. V Laplacově transformaci, pokud je vstup reprezentován $R(s)$ a výstup je reprezentován $C(s)$ .

Přenosová funkce řídicího systému je definována jako poměr Laplaceovy transformace výstupní proměnné k Laplaceově transformaci vstupní proměnné, za předpokladu, že jsou všechny počáteční podmínky nulové.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Co je DC zisk?

Přenosová funkce má mnoho užitečných fyzikálních interpretací. Stacionární zisk systému je jednoduše poměr výstupu a vstupu ve stacionárním stavu vyjádřený reálným číslem mezi minus nekonečno a plus nekonečno.

Když je stabilní řídicí systém stimulován krokovým vstupem, dosáhne odpověď ve stacionárním stavu konstantní úrovně.

Termín DC zisk je popsán jako poměr amplitudy mezi odpovědí ve stacionárním stavu a krokovým vstupem.

DC zisk je poměr velikosti odpovědi na stacionární krok k velikosti krokového vstupu. Věta o konečné hodnotě ukazuje, že DC zisk je hodnota přenosové funkce vyhodnocená v nule pro stabilní přenosové funkce.

Časová odezva prvního řádu systémů

Řád dynamického systému je řád nejvyšší derivace jeho řídící diferenciální rovnice. Systémy prvního řádu jsou nejjednodušší dynamické systémy k analýze.

Chcete-li pochopit koncept stacionárního zisku nebo DC zisku, zvažte obecnou přenosovou funkci prvního řádu.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ lze také zapsat jako

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Zde platí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ se nazývá časová konstanta. K se nazývá statický zisk nebo stacionární zisk

Jak najít statický zisk přenosové funkce

Statický zisk je poměr stacionárního výstupu systému k jeho konstantnímu vstupu, tedy stacionární stav odpovědi na jednotkový skok.

Abychom našli statický zisk přenosové funkce, zvažme jak spojité, tak diskrétní lineární inverzní transformační (LTI) systémy.

Spojitý LTI systém je daný jako

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Diskrétní LTI systém je daný jako

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Použijte větu o konečné hodnotě pro výpočet stacionárního stavu odpovědi na jednotkový skok.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ je stabilní a všechny póly se nacházejí na levé straně

Tedy,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Vzorec konečné hodnoty používaný pro spojitý LTI systém je

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Vzorec konečné hodnoty používaný pro diskrétní LTI systém je

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

V obou případech, pokud má systém integraci, bude výsledek $\infty$ .

DC zisk je poměr mezi ustáleným vstupem a ustálenou derivací výstupu, který lze získat diferenciací získaného výstupu. Je téměř stejný pro spojité i diskrétní systémy.

Diferenciace v kontinuálním prostoru

V kontinuálním systému nebo v 's' doméně se rovnice (1) diferencuje násobením rovnice 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

kde $\dot{Y(s)}$ je Laplaceova transformace $\dot{y(t)}$

Diferenciace v diskrétním prostoru

Derivace v diskrétním prostoru lze získat první diferencí.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Pro derivaci v diskrétním oboru je tedy nutné násobit $\frac{z-1}{T_{z}}$

Příklady pro výpočet stálého zisku (DC gain)

Příklad 1

Uvažujme spojitou přenosovou funkci,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Pro nalezení stálého zisku (DC gain) uvedené přenosové funkce použijte větu o konečné hodnotě

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Nyní je DC zisk definován jako poměr stacionární hodnoty k použité jednotkové skokové vstupní hodnotě.

DC zisk = $\frac{2}{1}=2$

Je tedy důležité si uvědomit, že koncept DC zisku je aplikovatelný pouze na systémy, které jsou stabilní podstatně.

Příklad 2

Určete DC zisk pro rovnici

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Kroková odezva uvedeného přenosového vztahu je

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Nyní použijte větu o konečné hodnotě k nalezení DC zisku.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Prohlášení: Respektujte originál, dobré články stojí za sdílení, pokud dojde k porušení autorských práv, obraťte se na nás pro odstranění.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Energetické systémy

Řídicí systémy

O odbornících

Electrical4u

China

Doporučeno

Více

Výběrové standardy pro vysokonapěťové trubičky transformátorů

1. Struktura a klasifikace vložekStruktura a klasifikace vložek jsou uvedeny v níže uvedené tabulce: Sériové číslo Klasifikační rys Kategorie 1 Hlavní izolační struktura Kondenzátorský typDutiny impregnované pryskyřicíDutiny impregnované olejem Nekondenzátorský typ Plynová izolaceKapalná izolaceLejné pryskyřiceKompozitní izolace 2 Externí izolační materiál PorcelánSilikónový kaučuk 3 Plnící materiál mezi jádrem kondenzátoru a externím izolačním rukáve

James

12/20/2025

Průvodce pro instalaci a obsluhu velkých transformátorů

1. Mechanické přímé tažení velkých transformátorůPři přepravě velkých transformátorů mechanickým přímým tažením je třeba následující práce řádně provést:Prozkoumat strukturu, šířku, sklon, svahy, odchylky, zatáčkové úhly a nosnost cest, mostů, vodních cest, příkopů atd. podél trasy; pokud je to nutné, je třeba je posílit.Prověřit překážky nad cestou, jako jsou elektrické a komunikační vedení.Při nakládání, vykládání a přepravě transformátorů se má vyhnout silným otřesům nebo vibracím. Při použit

Vziman

12/20/2025

5 technik diagnostiky výkonových transformátorů

Metody diagnostiky poruch transformátorů1. Metoda poměrů pro analýzu rozpustných plynůU většiny olejově zalitých elektrických transformátorů se v nádrži transformátoru při tepelném a elektrickém namáhání tvoří určité hořlavé plyny. Hořlavé plyny rozpustené v oleji lze použít k určení termálních dekompozičních charakteristik systému izolace transformátoru olej-papír na základě jejich specifického obsahu a poměru plynů. Tato technologie byla poprvé použita pro diagnostiku poruch u olejově zalitých

Vziman

12/20/2025

17 běžných otázek o elektrických transformátorech

1 Proč musí být jádro transformátoru zazemleno?Během normálního provozu elektrických transformátorů musí mít jádro jedno spolehlivé zazemlení. Bez zazemlení by plovoucí napětí mezi jádrem a zemí způsobilo přerušované propadací výboje. Jednobodové zazemlení eliminuje možnost plovoucího potenciálu v jádře. Pokud však existují dva nebo více zazemlovacích bodů, nerovnoměrné potenciály mezi částmi jádra vytvářejí proudy cirkulující mezi těmito body, což způsobuje vznik hřejivých poruch způsobených ví

Vziman

12/20/2025