Jak najít střední zisk přenosové funkce (s příklady)

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je přenosová funkce

Přenosová funkce popisuje vztah mezi výstupním signálem řídicího systému a vstupním signálem. Blokový diagram je vizualizace řídicího systému, která používá bloky k reprezentaci přenosové funkce a šipky k reprezentaci různých vstupních a výstupních signálů.

Přenosová funkce je pohodlnou reprezentací lineárního časově invariantního dynamického systému. Matematicky je přenosová funkce funkcí komplexních proměnných.

Pro jakýkoli řídicí systém existuje referenční vstup známý jako vzrušení nebo příčina, která působí prostřednictvím přenosové funkce a vyvolává efekt vedoucí k řízenému výstupu nebo odpovědi.

Takže vztah příčiny a následku mezi výstupem a vstupem je propojen prostřednictvím přenosové funkce. V Laplacově transformaci, pokud je vstup reprezentován $R(s)$ a výstup je reprezentován $C(s)$ .

Přenosová funkce řídicího systému je definována jako poměr Laplaceovy transformace výstupní proměnné k Laplaceově transformaci vstupní proměnné, za předpokladu, že jsou všechny počáteční podmínky nulové.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Co je DC zisk?

Přenosová funkce má mnoho užitečných fyzikálních interpretací. Stacionární zisk systému je jednoduše poměr výstupu a vstupu ve stacionárním stavu vyjádřený reálným číslem mezi minus nekonečno a plus nekonečno.

Když je stabilní řídicí systém stimulován krokovým vstupem, dosáhne odpověď ve stacionárním stavu konstantní úrovně.

Termín DC zisk je popsán jako poměr amplitudy mezi odpovědí ve stacionárním stavu a krokovým vstupem.

DC zisk je poměr velikosti odpovědi na stacionární krok k velikosti krokového vstupu. Věta o konečné hodnotě ukazuje, že DC zisk je hodnota přenosové funkce vyhodnocená v nule pro stabilní přenosové funkce.

Časová odezva prvního řádu systémů

Řád dynamického systému je řád nejvyšší derivace jeho řídící diferenciální rovnice. Systémy prvního řádu jsou nejjednodušší dynamické systémy k analýze.

Chcete-li pochopit koncept stacionárního zisku nebo DC zisku, zvažte obecnou přenosovou funkci prvního řádu.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ lze také zapsat jako

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Zde platí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ se nazývá časová konstanta. K se nazývá statický zisk nebo stacionární zisk

Jak najít statický zisk přenosové funkce

Statický zisk je poměr stacionárního výstupu systému k jeho konstantnímu vstupu, tedy stacionární stav odpovědi na jednotkový skok.

Abychom našli statický zisk přenosové funkce, zvažme jak spojité, tak diskrétní lineární inverzní transformační (LTI) systémy.

Spojitý LTI systém je daný jako

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Diskrétní LTI systém je daný jako

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Použijte větu o konečné hodnotě pro výpočet stacionárního stavu odpovědi na jednotkový skok.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ je stabilní a všechny póly se nacházejí na levé straně

Tedy,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

Vzorec konečné hodnoty používaný pro spojitý LTI systém je

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

Vzorec konečné hodnoty používaný pro diskrétní LTI systém je

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

V obou případech, pokud má systém integraci, bude výsledek $\infty$ .

DC zisk je poměr mezi ustáleným vstupem a ustálenou derivací výstupu, který lze získat diferenciací získaného výstupu. Je téměř stejný pro spojité i diskrétní systémy.

Diferenciace v kontinuálním prostoru

V kontinuálním systému nebo v 's' doméně se rovnice (1) diferencuje násobením rovnice 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

kde $\dot{Y(s)}$ je Laplaceova transformace $\dot{y(t)}$

Diferenciace v diskrétním prostoru

Derivace v diskrétním prostoru lze získat první diferencí.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Pro derivaci v diskrétním oboru je tedy nutné násobit $\frac{z-1}{T_{z}}$

Příklady pro výpočet stálého zisku (DC gain)

Příklad 1

Uvažujme spojitou přenosovou funkci,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Pro nalezení stálého zisku (DC gain) uvedené přenosové funkce použijte větu o konečné hodnotě

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Nyní je DC zisk definován jako poměr stacionární hodnoty k použité jednotkové skokové vstupní hodnotě.

DC zisk = $\frac{2}{1}=2$

Je tedy důležité si uvědomit, že koncept DC zisku je aplikovatelný pouze na systémy, které jsou stabilní podstatně.

Příklad 2

Určete DC zisk pro rovnici

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

Kroková odezva uvedeného přenosového vztahu je

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Nyní použijte větu o konečné hodnotě k nalezení DC zisku.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Prohlášení: Respektujte originál, dobré články stojí za sdílení, pokud dojde k porušení autorských práv, obraťte se na nás pro odstranění.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Energetické systémy

Řídicí systémy

O odbornících

Electrical4u

China

Doporučeno

Více

Příčiny a řešení jednofázového zemění v distribučních článcích 10kV

Charakteristika a detekční zařízení pro jednofázové zemní vady1. Charakteristika jednofázových zemních vadCentrální alarmové signály:Zazní poplach a rozsvítí se kontrolka označená “Zemní vada na [X] kV sběrnici [Y]”. V systémech s Petersenovou cívkou (odtlačnou cívkou) zapojenou na neutrální bod, rozsvítí se také kontrolka “Petersenova cívka v provozu”.Ukazatele izolačního měřiče napětí:Napětí poškozené fáze klesne (při neúplné zemnici) nebo padne na nulu (při pevné zemni

Rockwill

01/30/2026

Režim zapojení neutrálního bodu transformátorů elektrické sítě 110kV～220kV

Uspořádání režimů zemnění středního vedení transformátorů pro síť 110kV～220kV musí splňovat požadavky na výdrž izolace středních vedení transformátorů a také se snažit udržet nulovou impedanci podstanic téměř nezměněnou, zatímco se zajistí, aby nulová komplexní impedancia v libovolném místě krátkého spojení v systému nepřekročila třikrát větší hodnotu než pozitivní komplexní impedancia.Pro transformátory 220kV a 110kV v novostavbách a technických úpravách musí jejich režimy zemnění středního ved

Vziman

01/29/2026

Proč podstanice používají kameny štěrkové kameny a drobený kámen

Proč používají rozvodny kameny, štěrk, oblázky a drti?V rozvodnách vyžadují uzemnění zařízení, jako jsou silové a distribuční transformátory, vedení, napěťové transformátory, proudové transformátory a odpojovače. Kromě uzemnění nyní podrobně prozkoumáme, proč se v rozvodnách běžně používá štěrk a drcený kámen. Ačkoli vypadají obyčejně, tyto kameny plní zásadní bezpečnostní a funkční roli.Při návrhu uzemnění rozvodny – zejména při použití více metod uzemnění – se štěrk nebo drcený kámen rozkládá

Echo

01/29/2026

HECI GCB for Generators – Rychlá obvodová přerušovačka SF₆

1. Definice a funkce1.1 Role vypínače generátoruVypínač generátoru (GCB) je řiditelný odpojovací bod mezi generátorem a stupňovacím transformátorem, který slouží jako rozhraní mezi generátorem a elektrickou sítí. Jeho hlavní funkce zahrnují izolaci poruch na straně generátoru a umožnění operačního řízení během synchronizace generátoru a připojení k síti. Princip fungování GCB se neliší zásadně od principu standardního vypínače; avšak vzhledem k vysokému stejnosměrnému složku v proudě poruchy gen

Garca

01/06/2026