Hogyan kaphatjuk meg a DC-nyereséget egy átadási függvény esetén (Példák tartoznak hozzá)

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi a tranzferfüggvény

A tranzferfüggvény leírja a kapcsolatot a vezérlőrendszer kimeneti jelének és a bemeneti jelének között. A blokkdiagram a vezérlőrendszert vizualizáló ábra, amely blokkokkal ábrázolja a tranzferfüggvényt, és nyilakkal a különböző bemeneti és kimeneti jeleket.

A tranzferfüggvény egy kényelmes reprezentáció a lineáris időinvariáns dinamikus rendszerek esetében. Matematikailag a tranzferfüggvény egy komplex változók függvénye.

Bármely vezérlőrendszer esetén van egy referencia bemenet, amit excitation vagy oknak nevezünk, ami a tranzferfüggvénnyel működve eredményez egy hatást, ami a vezérelt kimenetet vagy választ adja.

Így a kimenet és a bemenet közötti ok és hatás kapcsolat a tranzferfüggvénnyel van összekötve. A Laplace-transzformációban, ha a bemenetet $R(s)$ -vel, a kimenetet pedig $C(s)$ -vel szoktuk jelölni.

A vezérlőrendszer tranzferfüggvényét definiáljuk a kimeneti változó Laplace-transzformáltjának és a bemeneti változó Laplace-transzformáltjának arányaként, feltéve, hogy minden kezdeti feltétel nulla.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Mi az együttható?

A továbbítási függvénynek számos hasznos fizikai értelmezése van. A rendszer állapotban lévő nyeresége egyszerűen a kimeneti és bemeneti mennyiség aránya az állapotban, amely valós számot jelöl, ami negatív végtelen és pozitív végtelen között helyezkedik el.

Amikor egy stabil irányítási rendszert lépcsős bemenettel stimulálunk, a válasz az állapotban konstans szintre érkezik.

Az együttható fogalma a lépcsős bemenet és az állapotban lévő válasz amplitúdójának arányaként írható le.

Az együttható a lépcsős bemenet és az állapotban lévő válasz amplitúdójának aránya. A vegső érték tétel mutatja, hogy az együttható a továbbítási függvény értéke 0-ban, ha a továbbítási függvény stabil.

Elsőrendű rendszerek időbeli válasza

Egy dinamikus rendszer rendje a legmagasabb deriváltjának rendje a vezérlő differenciálegyenletében. Az elsőrendű rendszerek a legegyszerűbbek az elemzés szempontjából.

A tartós állapotú nyereség vagy DC-nyereség fogalmának megértéséhez vegyünk egy általános elsőrendű átmeneti függvényt.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ így is felírható

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Itt,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ az időállandó. K a DC erősítés vagy állapotállományi erősítés

Hogyan lehet meghatározni egy átviteli függvény DC erősítését

A DC erősítés a rendszer állapotállományi kimenetének és konstans bemenetének aránya, azaz a lépésválasz állapotállományi értéke.

Az átviteli függvény DC erősítésének meghatározásához vegyünk figyelembe mind a folyamatos, mind a diszkrét Lineáris Transzformált Inverz (LTI) rendszereket.

A folyamatos LTI rendszer a következőképpen adott:

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

A diszkrét LTI rendszer a következőképpen adott:

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Használja a végső érték tételt a lépésválasz állapotállományi értékének számításához.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ stabil és minden pólus a bal oldalon helyezkedik el

Tehát,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

A folyamatos LTI rendszerhez használt végső érték tétel képlete

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

A diszkrét LTI rendszerhez használt végső érték tétel képlete

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

Mindkét esetben, ha a rendszer integrálja, az eredmény lesz $\infty$ .

A DC-gazdaság a sebességállapotbeli bemenet és a kimenet sebességállapotbeli deriváltjának aránya, amelyet a kimenet differenciálásával lehet megszerezni. Szinte ugyanaz mind a folyamatos, mind a diszkrét rendszer esetén.

A folyamatos tartományban történő differenciálás

A folyamatos rendszerben vagy 's' tartományban az (1) egyenlet differenciálása úgy történik, hogy az egyenletet 's'-sel szorozzuk.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

ahol $\dot{Y(s)}$ a Laplace-transzformáltja $\dot{y(t)}$

A diszkrét tartományban történő differenciálás

A diszkrét tartományban a derivált első differenciával kapható meg.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Tehát a diszkrét tartományban való differenciáláshoz szükség van a következő szorzásra $\frac{z-1}{T_{z}}$

Numerikus példák a DC-gyárulási tényező meghatározásához

Példa 1

Vegyük az alábbi folyamatos átmeneti függvényt:

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

A fenti átmeneti függvény DC-gyárulási tényezőjének (állandó állapotú gyárulási tényező) meghatározásához alkalmazzuk a végső érték tételt

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

A mostol az egyenletben a DC-gain meghatározása a tartós állapot értékének és az alkalmazott egységugrás bemenet arányaként történik.

DC Gain = $\frac{2}{1}=2$

Ezért fontos megjegyezni, hogy a DC-gain fogalma csak olyan rendszerekre vonatkozik, amelyek természetesen stabilak.

Példa 2

Határozza meg a következő egyenlet DC-gain-jét:

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

A fenti átviteli egyenlet lépcsős válasza

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Most alkalmazzuk a végső érték tételt a DC erősítés meghatározására.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsa az eredeti tartalmat, a jó cikkek megosztásra méltók, ha jogellenes használatról van szó, lépjen kapcsolatba a törlés érdekében.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Energiaszerkezetek

Irányító rendszerek

Szakértők névjegye

Electrical4u

China