Hoe de gelijkstroomversterking van een overdrachtsfunctie vinden (met voorbeelden)

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is een overdrachtsfunctie

Wat is een overdrachtsfunctie?

Een overdrachtsfunctie beschrijft het verband tussen het uitgangssignaal van een regelstelsel en het ingangssignaal. Een blokschema is een visualisatie van het regelstelsel dat blokken gebruikt om de overdrachtsfunctie weer te geven en pijlen om de verschillende ingangs- en uitgangssignalen te representeren.

De overdrachtsfunctie is een handige weergave van een lineair tijdsonafhankelijk dynamisch systeem. Wiskundig gezien is de overdrachtsfunctie een functie van complexe variabelen.

Voor elk regelstelsel is er een referentie-ingang bekend als opwekking of oorzaak die via een overdrachtsfunctie werkt om een effect te produceren dat resulteert in een gereguleerde uitgang of respons.

Dus, het verband tussen oorzaak en gevolg tussen uitgang en ingang wordt met elkaar verbonden door middel van een overdrachtsfunctie. In een Laplace-transformatie, als de ingang wordt weergegeven door $R(s)$ en de uitgang wordt weergegeven door $C(s)$ .

De overdrachtsfunctie van het regelstelsel wordt gedefinieerd als het Laplace-getransformeerde quotiënt van de uitvoeringsvariabele tot het Laplace-getransformeerde van de invoervariabele, waarbij wordt aangenomen dat alle beginvoorwaarden nul zijn.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Wat is DC-gain?

De overdrachtsfunctie heeft veel nuttige fysische interpretaties. De stationaire winst van een systeem is eenvoudigweg het verhouding tussen de uitvoer en de invoer in stationair toestand, weergegeven door een reëel getal tussen negatief oneindig en positief oneindig.

Wanneer een stabiel regelsysteem wordt gestimuleerd met een stapinvoer, bereikt de respons in stationair toestand een constante waarde.

De term DC-gain wordt omschreven als het verhouding tussen de amplitude van de respons in stationair toestand en de stapinvoer.

DC-gain is het verhouding tussen de grootte van de respons op de stationaire stap en de grootte van de stapinvoer. De eindwaardestelling laat zien dat DC-gain de waarde is van de overdrachtsfunctie beoordeeld bij 0 voor stabiele overdrachtsfuncties.

Tijdrespons van eerste orde systemen

De orde van een dynamisch systeem is de orde van de hoogste afgeleide van de differentiaalvergelijking die het systeem beheerst. Eerste-orde systemen zijn de eenvoudigste dynamische systemen om te analyseren.

Om het concept van stationair versterkingsfactor of DC-versterkingsfactor te begrijpen, overweeg dan een algemene eerste-orde overdrachtsfunctie.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ kan ook worden geschreven als

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Hierin,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ wordt de tijdconstante genoemd. K wordt de gelijkstroomversterking of stationaire versterking genoemd

Hoe de gelijkstroomversterking van een overdrachtsfunctie te vinden

De gelijkstroomversterking is de verhouding van de stationaire uitgang van een systeem tot zijn constante ingang, dat wil zeggen de stationaire waarde van de staprespons.

Om de gelijkstroomversterking van een overdrachtsfunctie te vinden, beschouwen we zowel continue als discrete lineaire tijdinvariante (LTI) systemen.

Een continu LTI-systeem wordt gegeven als

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

Een discreet LTI-systeem wordt gegeven als

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Gebruik het eindwaardestelling om de stationaire toestand van de staprespons te berekenen.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ is stabiel en alle polen liggen aan de linkerkant

Dus,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

De formule van de eindwaardestelling die voor een continu LTI-systeem wordt gebruikt is

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

De formule van de eindwaardestelling die voor een discreet LTI-systeem wordt gebruikt is

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

In beide gevallen zal het resultaat $\infty$ zijn als het systeem een integratie heeft.

De DC-gain is het verhouding tussen de stabiele toestand van de invoer en de afgeleide van de uitvoer in de stabiele toestand, die kan worden verkregen via differentiatie van de verkregen uitvoer. Het is bijna hetzelfde voor zowel continue als discrete systemen.

Differentiatie in het Continue Domein

In het continue systeem of 's' domein wordt vergelijking (1) gedifferentieerd door de vergelijking te vermenigvuldigen met 's'.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

waarbij $\dot{Y(s)}$ de Laplace-transformatie is van $\dot{y(t)}$

Differentiatie in het Discrete Domein

De afgeleide in het discrete domein kan worden verkregen door middel van een eerste verschil.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Om te differentiëren in het discrete domein, moeten we vermenigvuldigen met $\frac{z-1}{T_{z}}$

Numerieke voorbeelden om DC-versterking te vinden

Voorbeeld 1

Overweeg de continue overdrachtsfunctie,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Om de DC-versterking (steady-state gain) van de bovenstaande overdrachtsfunctie te vinden, pas de eindwaardestelling toe

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

De DC-gain wordt gedefinieerd als het verhouding van de stationaire waarde tot de toegepaste eenheidstap invoer.

DC Gain = $\frac{2}{1}=2$

Het is daarom belangrijk op te merken dat het concept van DC-gain alleen van toepassing is op systemen die van nature stabiel zijn.

Voorbeeld 2

Bepaal de DC-gain voor de vergelijking

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

De staprespons van de bovenstaande overdrachtsgelijktijdigheid is

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Pas nu de eindwaarde stelling toe om de DC-versterking te vinden.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Verklaring: Eerbiedig het origineel, goede artikelen zijn de moeite waard om te delen, indien er sprake is van inbreuk neem dan contact op voor verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Energiesystemen

Besturingssystemen

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607