Como atopar o ganho en corrente continua dunha función de transferencia (inclúense exemplos)

Campo: Electrónica Básica

China

Que é unha Función de Transmisión

A función de transmisión describe a relación entre a sinal de saída dun sistema de control e a sinal de entrada. Un diagrama en bloques é unha visualización do sistema de control que utiliza bloques para representar a función de transmisión e frechas para representar as diferentes sinais de entrada e saída.

A función de transmisión é unha representación conveniente dun sistema dinámico linear e invariante no tempo. Matematicamente, a función de transmisión é unha función de variables complexas

Para calquera sistema de control, hai unha entrada de referencia coñecida como excitación ou causa que opera a través dunha función de transmisión para producir un efecto que resulta nunha saída controlada ou resposta.

Así, a relación de causa e efecto entre a saída e a entrada está ligada a través dunha función de transmisión. No Transformada de Laplace, se a entrada está representada por $R(s)$ e a saída está representada por $C(s)$ .

A función de transmisión do sistema de control está definida como a razón da transformada de Laplace da variable de saída á transformada de Laplace da variable de entrada, supondo que todas as condicións iniciais son cero.

$\begin{align*} G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\end{align*}$

Que é o ganho DC?

A función de transferencia ten moitas interpretacións físicas útiles. O ganho en estado estacionario dun sistema é simplemente a relación entre a saída e a entrada no estado estacionario, representada por un número real entre menos infinito e máis infinito.

Cando un sistema de control estable se estimula cunha entrada de paso, a resposta no estado estacionario alcanza un nivel constante.

O termo ganho DC describe a relación entre a amplitude da resposta no estado estacionario e a entrada de paso.

O ganho DC é a relación entre a magnitude da resposta ao paso no estado estacionario e a magnitude da entrada de paso. O teorema do valor final demostra que o ganho DC é o valor da función de transferencia avaliada en 0 para funcións de transferencia estables.

Resposta temporal dos sistemas de primeiro orden

A orde dun sistema dinámico é a orde da derivada máis alta da súa ecuación diferencial gobernant. Os sistemas de primeira orde son os sistemas dinámicos máis sinxelos de analizar.

Para entender o concepto de ganancia en estado estacionario ou ganancia DC, considera unha función de transferencia xeral de primeira orde.

$\begin{align*}G(s)=\frac{G(s)}{R(s)} = \frac{b_{0}}{s+ a_{0}}\end{align*}$

$G(s)$ tamén pode escribirse como

$\begin{align*}\frac{K}{\tau s+1} = \frac{b_{0}}{s+a_{0}}\end{align*}$

Aquí,

$\begin{align*} a {0}=\frac{1}{\tau} \; \; \; \; b {0}=\frac{K}{\tau} \end{align*}$

$\tau$ chámase constante de tempo. K chámase ganancia DC ou ganancia no estado estacionario

Como atopar a ganancia DC dunha función de transferencia

A ganancia DC é a relación entre a saída no estado estacionario do sistema e a súa entrada constante, é dicir, o estado estacionario da resposta ao paso unitario.

Para atopar a ganancia DC dunha función de transferencia, consideremos tanto sistemas lineais invariantes no tempo (LTI) continuos como discretos.

O sistema LTI continuo dáse como

(1) $\begin{equation*} G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\end{equation*}$

O sistema LTI discreto dáse como

$\begin{equation*} G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}\end{equation*}$

Emprega o teorema do valor final para calcular o estado estacionario da resposta ao paso unitario.

(3) $\begin{equation*} L\left ( y_{step(t)} \right )=G(s)\frac{1}{s}\end{equation*}$

(4) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{t\rightarrow \infty }y_{step(t)}\end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\frac{1}{s} \right ]\end{equation*}$

$G(s)$ é estable e todos os polos están no lado esquerdo

Por tanto,

(6) $\begin{equation*}DC\; \; Gain = \lim_{s\rightarrow 0 }s\left [ G(s)\right ]\end{equation*}$

A fórmula do teorema do valor final utilizada para un sistema LTI continuo é

(7) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(s)_{s=0}=G(0)\end{equation*}$

A fórmula do teorema do valor final utilizada para un sistema LTI discreto é

(8) $\begin{equation*}\frac{y(\infty)}{u(\infty)} = G(z)_{z=1}=G(1)\end{equation*}$

En ambos casos, se o sistema ten unha integración, o resultado será $\infty$ .

A ganancia en corrente continua é a relación entre a entrada estacionaria e a derivada estacionaria da saída, que pode obterse mediante a diferenciación da saída obtida. É case a mesma para sistemas continuos e discretos.

Diferenciación no dominio continuo

No sistema continuo ou dominio ‘s’, a ecuación (1) é diferenciada multiplicando a ecuación por ‘s’.

(9) $\begin{equation*}\frac{\dot{Y(s)}}{U(s)}= sG(s)\end{equation*}$

onde $\dot{Y(s)}$ é a transformada de Laplace de $\dot{y(t)}$

Diferenciación no dominio discreto

A derivada no dominio discreto pode obterse mediante unha primeira diferenza.

(10) $\begin{equation*}\dot{y(k)}=\frac{y_{k}-y_{k-1}}{T}\end{equation*}$

(11) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=\frac{Y(z)-z^{-1}Y(z)}{T}\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{ ^{1-z^{-1}}}{T} \right ]\end{equation*}$

(13) $\begin{equation*}\dot{Y(z)}=Y(z)\left [\frac{z-1}{T_{z}} \right ]\end{equation*}$

Así, para diferenciar no dominio discreto, necesitamos multiplicar $\frac{z-1}{T_{z}}$

Exemplos numéricos para atopar o ganho DC

Exemplo 1

Consideremos a función de transferencia continua,

$\begin{align*} H(s) =\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

Para atopar o ganho DC (ganho en estado estacionario) da función de transferencia anterior, aplícase o teorema do valor final

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{(s+2)(s+10)}\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_{t\rightarrow \infty}y(t)= \lim_{s\rightarrow 0}s\times \frac{12}{2\times 3}=2\end{align*}$

Agora, o ganho DC define-se como a razón do valor estacionario ao paso unitario aplicado.

Ganho DC = $\frac{2}{1}=2$

É importante notar que o concepto de ganho DC só é aplicable a sistemas que son estable por natureza.

Exemplo 2

Determina o ganho DC para a ecuación

$\begin{align*}G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\end{align*}$

A resposta ao degrau da ecuación de transmisión anterior é

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [\frac{K}{(\tau s+1)s} \right ]\end{align*}$

$\begin{align*}y_{step}(t)=L^{-1}\left [ K\left ( \frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1} \right ) \right ]\end{align*}$

Agora, aplique o teorema do valor final para atopar o ganho DC.

$\begin{align*}y_{ss}=\lim_{t\rightarrow \infty }y_{step}(t)= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{K}{(\tau s+1)s}s = K\end{align*}$

Declaración: Respetar o original, artigos bóns merécen ser compartidos, se hai algún incumprimento por favor contacta para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Sistemas de enerxía

Sistemas de control

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607

Recomendado

Máis

Normas de selección de aisladores de alta tensión para transformadores de potencia

1. Estructuras e clasificación dos forrosAs formas de estrutura e a clasificación dos forros amóstranse na táboa a continuación: Número de serie Característica de clasificación Categoría 1 Estrutura principal de aislamento Tipo capacitivoPapel impregnado con resinaPapel impregnado con óleo Tipo non capacitivoAislamento a gasAislamento líquidoResina de fundiciónAislamento compuesto 2 Material de aislamento externo PorcelanaCaucho de silicona 3 Material de re

James

12/20/2025

Guía de instalación e manexo de grandes transformadores de potencia

1. Tracción mecánica directa de grandes transformadores de potenciaCando se transportan grandes transformadores de potencia mediante tracción mecánica directa, debe completarse adecuadamente o seguinte traballo:Investigar a estrutura, ancho, pendente, inclinación, ángulos de xiro e capacidade de carga de estradas, puentes, alcantarillas, aceas, etc. ao longo da ruta; reforzálas cando sexa necesario.Levantar unha enquisa sobre obstáculos aéreos ao longo da ruta, como liñas eléctricas e de comunic

Vziman

12/20/2025

5 Técnicas de Diagnóstico de Fallos para Grandes Transformadores Eléctricos

Métodos de diagnóstico de fallos en transformadores1. Método de razón para o análise de gases disueltosPara a maioría dos transformadores de potencia de aceite, ba tensión térmica e eléctrica, prodúcese unha cantidade determinada de gases combustibles no tanque do transformador. Os gases combustibles disueltos no aceite poden utilizarse para determinar as características de descomposición térmica do sistema de aislamento de aceite e papel do transformador, baseándose na súa composición específic

Vziman

12/20/2025

17 Preguntas Comúns Sobre Transformadores Eléctricos

1 Por que o núcleo do transformador debe estar aterrado?Durante a operación normal dos transformadores de potencia, o núcleo debe ter unha conexión a terra fiable. Sen aterramento, unha tensión flotante entre o núcleo e a terra causaría descargas intermitentes por ruptura. O aterramento en un único punto elimina a posibilidade de potencial flotante no núcleo. No entanto, cando existen dous ou máis puntos de aterramento, os potenciais desiguais entre as seccións do núcleo crean correntes circulan

Vziman

12/20/2025